肖鴻民， 王占魁， 劉月娣

（西北師范大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，甘肅蘭州730070）

近年來(lái)，在對(duì)經(jīng)典模型的各種改進(jìn)中，延遲風(fēng)險(xiǎn)模型是更貼近保險(xiǎn)實(shí)際的一類(lèi)風(fēng)險(xiǎn)模型，也是保險(xiǎn)公司在索賠過(guò)程中常常會(huì)遇到的一種情況：在主索賠發(fā)生后的某個(gè)不定時(shí)間，還會(huì)由此引起附加索賠，即延遲索賠.例如：當(dāng)一起車(chē)禍發(fā)生后，擔(dān)保人不僅要賠付車(chē)的損失，如買(mǎi)了第三方保險(xiǎn)，擔(dān)保者在一段時(shí)間后還要為第三方賠付.針對(duì)這類(lèi)情況，Waters等［1］提出了帶延遲索賠的風(fēng)險(xiǎn)模型.國(guó)內(nèi)外許多學(xué)者對(duì)此產(chǎn)生了濃厚的興趣.Yuen等［2］運(yùn)用鞅的方法研究了延遲風(fēng)險(xiǎn)模型的最終破產(chǎn)概率；Xie等［3］討論了隨機(jī)利率下延遲索賠風(fēng)險(xiǎn)模型總股息的期望貼現(xiàn)；最近，肖鴻民等［4］又研究了相依賠付帶投資的延遲風(fēng)險(xiǎn)模型的極限性質(zhì).

而在現(xiàn)實(shí)生活中，意外巨災(zāi)頻繁發(fā)生所引起的巨大索賠使保險(xiǎn)公司損失嚴(yán)重，而再保險(xiǎn)是防范和化解巨額風(fēng)險(xiǎn)的重要手段.因此，關(guān)于再保險(xiǎn)的研究逐漸得到保險(xiǎn)公司的重視，對(duì)再保險(xiǎn)的理論操作也日益增多.而再保險(xiǎn)中最關(guān)鍵的問(wèn)題是最優(yōu)再保險(xiǎn)，即考慮以何種形式分保及具體分保的額度.為此，保險(xiǎn)人需要在風(fēng)險(xiǎn)與收益之間進(jìn)行平衡并盡可能做出最為合理的決策.實(shí)際上，最優(yōu)再保險(xiǎn)也一直是精算學(xué)主要的研究?jī)?nèi)容之一.Schmidli［5］研究了最優(yōu)比例再保險(xiǎn)問(wèn)題；Hipp等［6］研究了非比例再保險(xiǎn)控制問(wèn)題；Cao等［7］研究了破產(chǎn)概率最小的最優(yōu)再保險(xiǎn)與最優(yōu)投資問(wèn)題；張茂軍等［8］研究了再保險(xiǎn)與有限時(shí)間破產(chǎn)概率問(wèn)題；Yang等［9］假定風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)價(jià)格滿(mǎn)足跳擴(kuò)散模型，考慮了最終財(cái)富效用最大化的最優(yōu)投資問(wèn)題；林祥等［10］在 Yang等［9］模型的基礎(chǔ)上假定保險(xiǎn)公司還可以投資再保險(xiǎn)業(yè)務(wù)，研究了在風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)價(jià)格滿(mǎn)足跳擴(kuò)散模型下保險(xiǎn)公司的最優(yōu)投資和最優(yōu)再保險(xiǎn)策略；Centeno［11］在最大化期望指數(shù)效用和調(diào)節(jié)系數(shù)的優(yōu)化標(biāo)準(zhǔn)下研究了相依雙險(xiǎn)種模型超額賠款再保險(xiǎn)的最優(yōu)自留限額；Bai等［12］通過(guò)擴(kuò)散逼近，在期望值保費(fèi)原則下研究了最小破產(chǎn)概率的最優(yōu)再保險(xiǎn)形式及其自留額；Liang等［13］則在方差保費(fèi)原則和最大化終期財(cái)富期望指數(shù)效用的優(yōu)化準(zhǔn)則下，分別研究了跳躍模型和擴(kuò)散逼近模型的最優(yōu)比例再保險(xiǎn)；Yuen等［14］采用相同的優(yōu)化準(zhǔn)則，但將相依雙險(xiǎn)種模型推廣到更貼近實(shí)際的相依多險(xiǎn)種模型，并采用期望值分保費(fèi)原則分別給出了跳躍模型和擴(kuò)散逼近情形下的最優(yōu)結(jié)果；最近，張節(jié)松等［15］研究了方差分保費(fèi)原則下相依多險(xiǎn)種模型的最優(yōu)再保險(xiǎn).

本文將文獻(xiàn)［15］中方差分保費(fèi)的思想應(yīng)用到延遲索賠風(fēng)險(xiǎn)模型中，以最小化破產(chǎn)概率為優(yōu)化準(zhǔn)則，當(dāng)索賠次數(shù)是齊次Poisson過(guò)程時(shí)，通過(guò)擴(kuò)散逼近并運(yùn)用動(dòng)態(tài)規(guī)劃原理，得到了最優(yōu)的自留風(fēng)險(xiǎn)水平及最小破產(chǎn)概率的顯式表達(dá)式.結(jié)合數(shù)值模擬很好的驗(yàn)證了本文的結(jié)論，這對(duì)保險(xiǎn)公司分散風(fēng)險(xiǎn)和財(cái)務(wù)穩(wěn)定有重要的參考價(jià)值.

1 模型假設(shè)與擴(kuò)散逼近

對(duì)于延遲索賠模型，Ut表示保險(xiǎn)公司在t時(shí)刻的盈余過(guò)程：

其中，

（i）u為初始資金，c為單位時(shí)間收取的保費(fèi).

（ii）Xi為第i次主索賠的索賠額，Si是發(fā)生第i次主索賠的時(shí)刻.

（iii）Yi為延遲索賠額.Ti為延遲賠付間隔.

為了刻畫(huà)索賠之間的相依性，設(shè)遵循的相依結(jié)構(gòu)為

據(jù)此，盈余過(guò)程Ut可表示為

對(duì)于本文的研究，作如下基本假設(shè).

1）主索賠序列｛Xi，i＝1，2，…｝獨(dú)立同分布于X，它們的共同分布為F，其一階矩和二階矩存在，分別記延遲索賠序列｛Yi，i＝1，2，…｝獨(dú)立同分布于Y，它們的共同分布為G，其一階矩和二階矩存在，分別記.

2）延遲賠付間隔｛Ti，i＝1，2，…｝獨(dú)立同分布于T，它們的共同分布為H.

3）索賠額X和Y相互獨(dú)立.計(jì)數(shù)過(guò)程N(yùn)1（t）是強(qiáng)度為λ的齊次Poisson過(guò)程并且

其中，p（t）＝p ｛U ＋T≤t｝，U 為（0，1）上的均勻分布.

為了保障巨額損失，保險(xiǎn)公司安排了t時(shí)刻自留風(fēng)險(xiǎn)水平為ft的再保險(xiǎn)策略.對(duì)于ft，約定0≤ft（x）≤x，且在（0，∞）上單調(diào)遞增.假設(shè)分保費(fèi)按照方差分保費(fèi)原則計(jì)算，安全負(fù)載為θ＞0，記M＝X-ft（X），N＝Y(jié)-ft（Y）.則

假定π為所有的可行策略，則原保險(xiǎn)公司t時(shí)刻的凈保費(fèi)收入率為

于是，原保險(xiǎn)公司的盈余過(guò)程為

針對(duì)延遲索賠風(fēng)險(xiǎn)模型，一般要獲得破產(chǎn)概率最小時(shí)的最優(yōu)再保險(xiǎn)策略的顯式解是很困難的，為使問(wèn)題可處理并獲得顯式解，采用擴(kuò)散逼近的形式.為此，先給出經(jīng)典風(fēng)險(xiǎn)模型的擴(kuò)散逼近結(jié)果.

引理 1［16］設(shè)｛ζi，i≥1｝獨(dú)立同分布，ζ的一階矩和二階矩存在，N（t）服從強(qiáng)度為γ的Poisson分布，則復(fù)合Poisson過(guò)程可擴(kuò)散逼近為其中 B（t）表示標(biāo)準(zhǔn) Brown 運(yùn)動(dòng).

由引理1知，在再保險(xiǎn)策略π的安排下，盈余過(guò)程Uπ（t）可擴(kuò)散逼近為

其中

Bt為標(biāo)準(zhǔn)Brown運(yùn)動(dòng).不妨記

為索賠計(jì)數(shù)過(guò)程之間的相關(guān)性強(qiáng)度.則盈余過(guò)程變?yōu)?/p>

2 最優(yōu)再保險(xiǎn)策略

（2）式的擴(kuò)散逼近為研究最優(yōu)再保險(xiǎn)決策問(wèn)題并獲得顯式解奠定了基礎(chǔ).下面假定保險(xiǎn)人為應(yīng)付巨額的損失，在t時(shí)刻安排了自留風(fēng)險(xiǎn)比例為q（t）的再保險(xiǎn)業(yè)務(wù)，0≤q（t）≤1，令 ft（x）＝q（t）x.由于采用的是方差分保費(fèi)原則，根據(jù)Hipp等［6］命題7，此時(shí)的最優(yōu)再保險(xiǎn)形式為比例再保險(xiǎn).在再保險(xiǎn)策略 q（t）下，盈余過(guò)程（t）滿(mǎn)足隨機(jī)微分方程

即破產(chǎn)概率達(dá)到最小，記為ψ（u）.

為解決優(yōu)化問(wèn)題，采用動(dòng)態(tài)規(guī)劃方法［17］和HJB方程，通過(guò)標(biāo)準(zhǔn)論證可知，如果最優(yōu)值函數(shù)ψ（u）二階連續(xù)可微，則 ψ（u）必然滿(mǎn)足下面 HJB方程

根據(jù)文獻(xiàn)［18］的識(shí)別定理，說(shuō)明由HJB方程（4）的二次連續(xù)可微解即可得到優(yōu)化問(wèn)題（3）的唯一解.下面是本文的主要結(jié)果.

定理1設(shè)v（u）為上述HJB方程（4）的解且二次連續(xù)可微，則 ψ（u）即為 v（u），并且如果對(duì)所有的u＞0有

則π*＝q*（t）∈Π 最優(yōu)，使得

下面尋求 HJB方程（4）的二次連續(xù)可微解v（u），也就得到了最優(yōu)值函數(shù) ψ（u），假定 v（u）為二次連續(xù)可微的凸函數(shù)，且滿(mǎn)足v″（u）＞0，根據(jù)最優(yōu)解π*應(yīng)滿(mǎn)足HJB方程（4）第一式且為唯一解.令

對(duì) h（q（t））關(guān)于 q（t）求導(dǎo)且令 h′（q（t））＝0，得到

解得

又因?yàn)?0≤q（t）≤1，則 q（t）為極小值點(diǎn)，此時(shí) q（t）必為最小值點(diǎn)，即

將（5）式代入 h（q*（t））＝0，得到

下面求解最優(yōu)值函數(shù).由（5）式可得

根據(jù)微分方程求解得

易見(jiàn)v（u）為二次連續(xù)可微的凸函數(shù)且滿(mǎn)足v″（u）＞0，于是可知 ψ（u）＝v（u）.

綜上所述，可得優(yōu)化問(wèn)題（3）的最優(yōu)解及對(duì)應(yīng)的值函數(shù).以定理的形式給出.

定理2優(yōu)化問(wèn)題（3）的最優(yōu)值函數(shù)為

最優(yōu)策略為π*＝q*（t），其中 q*（t）由（6）式確定.

注定理2是在最小化破產(chǎn)概率的優(yōu)化準(zhǔn)則下得到的，從顯式表達(dá)式可以看出，最優(yōu)策略和最小破產(chǎn)概率不僅與安全負(fù)載、保費(fèi)的收入率和索賠分布有關(guān)，還與計(jì)數(shù)過(guò)程之間的相關(guān)性強(qiáng)度密切相關(guān).本論文的結(jié)論對(duì)實(shí)際的保險(xiǎn)公司具有一定的參考價(jià)值，但選用不同的優(yōu)化準(zhǔn)則以及不同的風(fēng)險(xiǎn)模型，獲得更為有效的HJB方程求解手段將是本文進(jìn)一步要做的研究工作.

3 數(shù)值模擬

下面給出Matlab數(shù)值結(jié)果，并分析了初始資金u對(duì)破產(chǎn)概率的影響以及隨著u的動(dòng)態(tài)變化對(duì)（7）和（8）式進(jìn)行了對(duì)比.根據(jù)文獻(xiàn)［19］，當(dāng)索賠分布為指數(shù)分布時(shí)延遲索賠風(fēng)險(xiǎn)模型（1）的破產(chǎn)概率φ（u）的顯式表達(dá)式如下：

其中，ρ為安全負(fù)載.

首先給相應(yīng)參數(shù)賦值.假定主索賠額服從參數(shù)為1的指數(shù)分布，延遲索賠額服從參數(shù)為2的指數(shù)分布.并假定保險(xiǎn)公司的保費(fèi)收入率c＝2.3，再保險(xiǎn)費(fèi)按照方差原則計(jì)算，安全負(fù)載為θ＝0.2.相關(guān)性強(qiáng)度δ＝0.2.計(jì)數(shù)過(guò)程滿(mǎn)足參數(shù)為λ＝2的齊次Possion過(guò)程.固定以上參數(shù)，得到了破產(chǎn)概率隨初始資金變化的數(shù)值模擬值如下表.

表1 破產(chǎn)概率隨初始資金變化的模擬值Tab.1 Simulated values of ruin probability with initial capital

從表中的數(shù)值結(jié)果可見(jiàn)，破產(chǎn)概率 ψ（u）、φ（u）均表現(xiàn)出隨u的增加而減小的趨勢(shì)，這與上述定理的理論性質(zhì)以及保險(xiǎn)風(fēng)險(xiǎn)理論中破產(chǎn)概率關(guān)于初始資金單調(diào)遞減的性質(zhì)相符合.從保險(xiǎn)公司的實(shí)際情況考慮，當(dāng)初始資本u較小時(shí)，保險(xiǎn)公司的破產(chǎn)概率較大，并且從表中可以看出安排再保險(xiǎn)時(shí)的破產(chǎn)概率 ψ（u）比無(wú)再保險(xiǎn)時(shí)的破產(chǎn)概率φ（u）要小的多.由此可見(jiàn)，當(dāng)初始資本u較小時(shí)，為了使保險(xiǎn)公司可持續(xù)發(fā)展，安排再保險(xiǎn)策略是非常有必要的，這為保險(xiǎn)公司分散風(fēng)險(xiǎn)和財(cái)務(wù)穩(wěn)定提供一些啟示性參考.