喬永海

摘? ?要：文章解決了定質(zhì)量理想氣體狀態(tài)方程的三維圖像繪制問題，該圖像是一個三維曲面，并在曲面上同時繪制了等容線、等壓線和等溫線，利于學生對該領(lǐng)域知識的深度學習。結(jié)合制作過程，又介紹了GeoGebra 軟件的部分使用方法，利于該軟件的推廣使用。

關(guān)鍵詞：理想氣體;三維圖像;GeoGebra ;教育技術(shù);融合

中圖分類號：G633.7 文獻標識碼：A ? ? 文章編號：1003-6148（2020）8-0048-3

一定質(zhì)量的理想氣體狀態(tài)方程和氣體三大定律是高中物理熱學的重點和難點部分，氣體狀態(tài)變化的圖像能直觀地表達氣體的狀態(tài)變化，涉及的有等溫條件下壓強隨體積的變化，等容條件下壓強隨溫度的變化，等壓條件下體積隨溫度的變化等。有這樣一個問題困擾著筆者：有沒有壓強、體積和溫度的三維圖像？從中學階段產(chǎn)生這個疑問開始，總想試圖解決這個問題，始終沒能如愿。

認識到一款軟件GeoGebra時，筆者便迫不及待地學習和使用，等熟悉了它的基本操作之后，成功解決了“繪制理想氣體的三維圖像”問題（如圖1所示），制作過程十分簡潔，現(xiàn)把經(jīng)驗分享給同行。

1? ? 問題的提出

在學習氣體的性質(zhì)時，經(jīng)常接觸到圖2所示的圖像，其中甲圖是一定質(zhì)量理想氣體的等溫線，它是一條雙曲線;乙圖是一定質(zhì)量理想氣體的等容線，它是一條過原點的直線;丙圖是一定質(zhì)量理想氣體的等壓線，它也是一條過原點的直線。

甲? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?乙? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 丙

一定質(zhì)量理想氣體的等溫線是一條曲線，另兩條是直線，它們的差異實在太大了，能不能把這種不同用某種邏輯聯(lián)系起來？這個問題是筆者中學階段產(chǎn)生的疑問，教書期間也有學生問及類似問題。有沒有一定質(zhì)量理想氣體的壓強、體積和溫度的三維圖像？這個問題則是教書之后產(chǎn)生的疑問。

2? ? GeoGebra 軟件簡介

2002年數(shù)學教授Markus Hohenwarter 創(chuàng)建了動態(tài)教學軟件GeoGebra，并通過開源的方式不斷更新，眾多的跨國團隊共同開發(fā)，數(shù)百名翻譯志愿者將其翻譯成多國語言，包括漢語，因此GeoGebra的編程代碼里可以用漢字。

GeoGebra 是為了從小學到大學各個學段的教學而設(shè)計的動態(tài)數(shù)學軟件，功能強大、使用簡單、交互性強，它將幾何、代數(shù)、表格、作圖、統(tǒng)計、微積分以直觀的方式集于一身，既有平面作圖，又有三維作圖，相比其他三維軟件，具有操作簡潔和文件小的特點[1]。

數(shù)學是科學的基礎(chǔ)，物理學是科學的組成部分，解決物理問題是離不開數(shù)學的，因此，這個軟件是可以為物理所用的，就像當年的幾何畫板數(shù)學軟件，在物理學領(lǐng)域的應(yīng)用相當廣泛[2]。

3? ? 用GeoGebra繪制一定質(zhì)量理想氣體的三維圖像

考慮到部分讀者還不曾用過 GeoGebra，下面進行詳細介紹，即使初次操作，按照本文的步驟也能制作出滿意的作品來。

3.1? ? 公式的變換

一定質(zhì)量理想氣體的狀態(tài)方程的形式之一是：■=c（1）

為了和軟件接軌，我們作如下假定和替換：

設(shè)c=1，x代替氣體的體積V，y代替氣體的溫度T，z代替氣體的壓強p。

則（1）式變?yōu)椋?/p>

■=1（2）

變形為：z=■（3）

也就是說，（3）式對應(yīng)的在一定區(qū)間內(nèi)的曲面就是我們尋找的理想氣體的三維圖像。氣體的體積要大于零，x>0，表示溫度的T不能小于零，也不能很接近零，所以y>2，這里都是相對值。

3.2? ? 繪制3D圖像

打開GeoGebra，選擇“菜單欄”，勾選“代數(shù)區(qū)”“3D繪圖區(qū)”“指令欄”，其他不勾選。如圖3所示。

然后，在命令欄內(nèi)輸入代碼：f（x，y）=如果[（x>0）∧（y>0），y/x]

提醒：代碼輸入的要求十分嚴格，要遵守編程的語法規(guī)則。除了漢字，其他字符必須在半角下輸入，不能加空格，∧是邏輯符號“且”，不是鍵盤上的^，∧在命令欄右側(cè)的a標志內(nèi)選擇。輸入后把光標移到最后一個字符后面按“回車鍵”，就得到圖像了（如圖4）。如果回車后出現(xiàn)對話框，就說明輸入有誤，請重新輸入一遍。一行代碼解決了問題，十分便捷。

3.3? ? 用不同的視圖觀察圖像

首先，用“平移視圖”工具（形狀如圖4左側(cè)圖示）把3D繪圖區(qū)的坐標原點拖動到左下角。“平移視圖”工具在工具欄最右側(cè)工具的“抽屜”里，點擊其右下方的小箭頭，就可以找到。其他工具箱里也有很多工具，一定要選對。拖動后，點“移動”工具，進行下一步操作?！耙苿印惫ぞ呔褪亲钭髠?cè)的那個箭頭樣的工具（如圖3）。提醒，選擇一個非“移動”工具進行操作結(jié)束后，一定要點擊“移動”工具，再進行旋轉(zhuǎn)、選中等其他操作。

GeoGebra的操作按鈕十分隱蔽，初學者不易找到。點擊“移動”工具，再點擊“3D繪圖區(qū)”的空白區(qū)，點擊該區(qū)左上角的三角箭頭（圖5中的3位置），出現(xiàn)一排按鈕工具，可以分別試一試各個按鈕的功能。最常用的是“旋轉(zhuǎn)視圖”按鈕（圖5中的1位置），點擊后，圖像轉(zhuǎn)動，看到立體效果?！耙晥D方向”（圖5中的2位置）下面有4個按鈕：xOy視圖、xOz視圖、yOz視圖、旋轉(zhuǎn)復(fù)位。這些工具十分有用。

圖5中的一組雙曲線就是等溫線，可以看到不同溫度下等溫線的差異。經(jīng)過V軸的斜線就是等容線，可以看到，在等容變化時，體積小等容線的斜率大。如何看到等壓線呢？要做進一步的操作。

3.4? ? 繪制等壓線

選擇“對象上的點”工具（如圖3上部第2個工具箱內(nèi)），點擊z軸，建立一個可以沿著z軸移動的點，默認為A，右鍵進入“屬性”窗口，在“常規(guī)”選項卡中更名為p。

然后，建立過p點的平行于VOT（xOy）的平面。在命令區(qū)輸入：z=z（p）

然后，點擊“相交曲線”工具（工具欄第7個），先后點擊上述平面和曲面，得到兩面的交線，這就是等壓線。如圖6所示，點擊“移動”工具，拖動p點，可以看到等壓線的變化。隱藏平面的操作是：點擊平面按右鍵，不勾選“顯示對象”。

如果選擇xOy視圖，就能夠看到二維的等壓線（如圖7）。

4? ? 小? ?結(jié)

經(jīng)過以上操作得到了一定質(zhì)量理想氣體的壓強、溫度和體積變化的三維曲面圖，如圖6所示。在這張圖上，我們可以看到，等溫線、等壓線和等容線是三維曲面圖上面的曲（直）線。

我們繪制三維曲面圖以及等溫線、等壓線和等容線，只用了兩組代碼，啟用了幾個工具，就得到了如此復(fù)雜的圖形，足以感受到GeoGebra 操作的簡潔性和功能的強大。

本文只是展示了GeoGebra的一個功能，其他的功能有待我們今后去開發(fā)，相信GeoGebra和物理教學的融合能對新課程改革發(fā)揮更大的積極作用。

參考文獻：

[1]王貴軍.GeoGebra與數(shù)學實驗[M].北京：清華大學出版社，2017：1.

[2]明翔宇.巧用幾何畫板動態(tài)分析磁場“縮放圓”和“旋轉(zhuǎn)圓”問題[J].物理教學探討，2017，35（12）：52-54，58.

（欄目編輯? ? 王柏廬）