【編者按】數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，解題是必經(jīng)的環(huán)節(jié)。數(shù)學(xué)解題過程是應(yīng)用數(shù)學(xué)知識解決問題的過程，它能夠加深學(xué)生對數(shù)學(xué)概念、原理的理解，鞏固所學(xué)知識和技能，發(fā)展數(shù)學(xué)能力。中國數(shù)學(xué)教育歷來重視解題教學(xué)，無論新授課，還是復(fù)習(xí)課，甚至專門的習(xí)題課，都包含解題教學(xué)。但是，一般教師對解題教學(xué)的認(rèn)識和研究還不夠深入，表現(xiàn)在教學(xué)應(yīng)用中，就是以“題海戰(zhàn)術(shù)”為主。解題教學(xué)是數(shù)學(xué)教學(xué)的一個經(jīng)典話題，值得不斷地深入研究。本期《專題研究》欄目呈現(xiàn)兩篇研究解題教學(xué)的文章，一篇側(cè)重從理論層面尋找依據(jù)，一篇側(cè)重從實踐層面展開分析，以期引起更廣泛的思考與研究。

摘要：解題教學(xué)是數(shù)學(xué)教學(xué)的重要部分，教會學(xué)生學(xué)會解題是數(shù)學(xué)教學(xué)的一個重要目標(biāo)。ACT-R理論對于數(shù)學(xué)解題教學(xué)具有重要的指導(dǎo)作用，主要表現(xiàn)在運用分析法判斷知識的類型、陳述性知識的提取、產(chǎn)生式的激發(fā)三個方面?；贏CT-R理論的高中數(shù)學(xué)解題教學(xué)，應(yīng)注重培養(yǎng)學(xué)生的審題能力、提取關(guān)鍵知識點的能力、選擇樣例的能力、構(gòu)造目標(biāo)層級結(jié)構(gòu)的能力。

關(guān)鍵詞：ACT-R理論高中數(shù)學(xué)解題教學(xué)

解題教學(xué)是數(shù)學(xué)教學(xué)的重要組成部分，教會學(xué)生學(xué)會解題是數(shù)學(xué)教學(xué)的一個重要目標(biāo)。然而現(xiàn)實中，不少解題教學(xué)只在單純地講解題步驟和方法，而很少從學(xué)生思維的角度去思考如何分析、解決問題。于是，教師明明已經(jīng)將解題過程表達得很清楚了，可學(xué)生還是不能掌握解題方法，或者很難完成解題方法的近遷移，題目稍微變形就無從下手。

事實上，學(xué)生作為學(xué)習(xí)的個體，解題時必然有自己的認(rèn)知與思考。因此，從認(rèn)知活動的角度出發(fā)，去研究如何開展解題教學(xué)顯得尤為重要。

一、ACT-R理論

ACT-R（Adaptive Character of Thought-Rational）理論，即基于產(chǎn)生式系統(tǒng)的認(rèn)知理論，它從簡單的認(rèn)知活動出發(fā)去解釋人類復(fù)雜的學(xué)習(xí)過程，主要內(nèi)容可以概括為“兩類知識、兩個假設(shè)、兩個水平”。兩類知識，即關(guān)于事實的陳述性知識和關(guān)于如何完成認(rèn)知活動的程序性知識。其中，陳述性知識用來回答“是什么”的問題，程序性知識是指用于提取陳述性信息中的規(guī)則性單元，也稱產(chǎn)生式。一個產(chǎn)生式規(guī)則就是一個“條件—反應(yīng)”單元，即針對特定的問題解決條件采取特定的認(rèn)知操作，如產(chǎn)生式“A—B”可以理解為：如果有條件A，那么會做出B反應(yīng)。兩類知識是問題解決的基礎(chǔ)。兩個假設(shè)，是描述兩類知識的獲得與遷移過程的，分別稱為操作假設(shè)與學(xué)習(xí)假設(shè)。兩個水平，則是描述問題解決效率的，即學(xué)科本身的邏輯結(jié)構(gòu)水平以及例題練習(xí)的記憶強度水平。

產(chǎn)生式是ACT-R理論的核心概念，解決一道數(shù)學(xué)問題往往會用到若干個產(chǎn)生式，每一個產(chǎn)生式對應(yīng)一個規(guī)則，一系列產(chǎn)生式規(guī)則的觸發(fā)可以達到問題解決的最終目標(biāo)。知識的程序化學(xué)習(xí)與樣例學(xué)習(xí)有助于形成更多的產(chǎn)生式規(guī)則，而適度的練習(xí)能提高產(chǎn)生式的激活水平。

ACT-R理論另一個核心概念是目標(biāo)層級結(jié)構(gòu)。解決問題就是達到問題的最終目標(biāo)，復(fù)雜問題難以一步達到目標(biāo)，所以需要根據(jù)最終目標(biāo)設(shè)定一系列的子目標(biāo)。在學(xué)習(xí)與問題解決過程中，如果將解決一個問題視為一個目標(biāo)，那么可以將其分解為一系列的子目標(biāo)，而這些子目標(biāo)又可以被進一步分解為一系列更小的子目標(biāo)，由此建立起一個目標(biāo)層級結(jié)構(gòu)。問題解決往往需要有清晰的目標(biāo)層級結(jié)構(gòu)，通過逐級解決目標(biāo)層級結(jié)構(gòu)中的子目標(biāo)，最終實現(xiàn)解題目標(biāo)。

比如，圖1中，G1為最終目標(biāo)，而G1的實現(xiàn)需要G2成立，因此G2作為子目標(biāo)。同樣，G3是G2的子目標(biāo)，G4和G5同時是G3的子目標(biāo)。由此構(gòu)成目標(biāo)層級結(jié)構(gòu)。目標(biāo)層級結(jié)構(gòu)的構(gòu)造主要來自解題者擁有的產(chǎn)生式，產(chǎn)生式的強度主要來自信息塊的激活水平，即由G1聯(lián)想到G2的過程，而較高的激活水平與精致的練習(xí)及經(jīng)典的范例有關(guān)。層級結(jié)構(gòu)的建立能夠有效地提高學(xué)生解題的速度與準(zhǔn)確率。

二、ACT-R理論在高中數(shù)學(xué)解題教學(xué)中的應(yīng)用

ACT-R理論對于數(shù)學(xué)解題教學(xué)具有重要指導(dǎo)作用。下面我們通過一個問題的解題過程，從學(xué)生認(rèn)知的角度出發(fā)，將ACT-R理論真正應(yīng)用于數(shù)學(xué)解題教學(xué)情境中。

問題1如圖2，已知多面體ABC-A1B1C1，AA1、BB1、CC1均垂直于平面ABC，∠ABC=120°，AA1=4，CC1=1，AB=BC=BB1=2。

（1）證明：AB1⊥平面A1B1C1;

（2）求直線AC1與平面ABB1所成的角的正弦值。

（一）運用分析法判斷知識的類型

根據(jù)ACT-R理論，解題時首先應(yīng)該把知識的類型作為切入口。即從認(rèn)知結(jié)構(gòu)出發(fā)，將知識和記憶結(jié)合起來，以便獲得兩種類型的知識。這一步驟可稱為運用分析法進行審題。

學(xué)生看到題目，首先想到的就是題設(shè)中條件的含義：題設(shè)中透露的信息有哪些，需要解決的問題是什么，題干與問題之間存在什么關(guān)聯(lián)。所以，數(shù)學(xué)解題教學(xué)的第一步就是要教會學(xué)生審題，審題用到的就是ACT-R理論提到的陳述性知識。

這道題的條件中有三個線面垂直、一個角和若干線段長，結(jié)合圖形，根據(jù)等腰三角形相關(guān)的產(chǎn)生式，如“一個角為120°的等腰三角形—另兩個角為30°”等，又可得三角形ABC的特殊屬性。如此，題意就比較清楚了：過頂角為120°的等腰三角形的三個頂點作一定長度的垂線段，連接三個新端點形成一個新三角形，構(gòu)成一個新的立體結(jié)構(gòu)，要求證明其中的線面垂直，并計算線面角的正弦值。

（二）陳述性知識的提取

接下來，學(xué)生開始思考問題（結(jié)論），建立條件和結(jié)論之間的邏輯關(guān)聯(lián)。這需要提取題設(shè)信息。當(dāng)學(xué)生看到第（1）問，首先應(yīng)該意識到它是對線面垂直的證明。這時候，學(xué)生聯(lián)想到的就是有關(guān)線面垂直的相關(guān)知識點，即形成的信息塊為直線與平面垂直的判定。這樣，學(xué)生就能找到解題的切入口。當(dāng)然，這樣的信息塊能否快速形成主要取決于日常學(xué)習(xí)中的練習(xí)，即這樣的陳述性知識與學(xué)生的解題經(jīng)驗有關(guān)。那么，在這里，學(xué)生是如何由問題聯(lián)想到線面關(guān)系的呢？

ACT-R理論認(rèn)為，陳述性知識的獲得主要取決于兩種模式：被動的、接受式的和主動的、建構(gòu)式的。也就是說，有的學(xué)生是通過記憶、背誦線面垂直關(guān)系獲得的;有的學(xué)生是通過對這類題型的練習(xí)獲得的，并且在練習(xí)過程中也順帶存儲了解決線面關(guān)系的相關(guān)解題策略，便于回憶失敗時運用。那么，在解答本題時，學(xué)生是通過哪一種模式提取信息塊的呢？根據(jù)ACT-R理論，準(zhǔn)確地提取解題策略需要一個產(chǎn)生式，也就是當(dāng)學(xué)生看到題目時，就能夠根據(jù)題設(shè)做出相應(yīng)的解答。通過回憶以往知識這種被動記憶的模式占據(jù)大多數(shù)。

（三）產(chǎn)生式的激發(fā)

ACT-R理論認(rèn)為，類比是獲得產(chǎn)生式規(guī)則的主要途徑。因此，學(xué)生對一個問題的解決，一方面可以參考樣例，即解題的程序性規(guī)則;另一方面，可以根據(jù)樣例的解題程序，結(jié)合題意確定適合本題的目標(biāo)層級結(jié)構(gòu)，進而解決問題。

1.如何選擇樣例。

ACT-R理論認(rèn)為，樣例以兩種方式影響學(xué)習(xí)：一是選擇（提?。┠膫€樣例用于類比，二是樣例的理解深度會影響到由類比而形成的產(chǎn)生式。因此，樣例的選擇在教學(xué)中是很重要的。要讓學(xué)生在樣例學(xué)習(xí)中，學(xué)會理解樣例，掌握樣例中的解題策略。例如，對于第（1）問來說，可選擇如下樣例：

問題2如圖3，已知a∥b，a⊥α，求證：b⊥α。

證明過程如下：

在平面α內(nèi)作兩條相交直線m、n，因為直線a⊥α，根據(jù)直線與平面垂直的定義，可知a⊥m，a⊥n。又因為b∥a，所以b⊥m，b⊥n。又因為mα，nα，m、n是兩條相交直線，所以b⊥α

這個樣例，體現(xiàn)了證明一條直線垂直一個平面的基本方法，進而形成了產(chǎn)生式。

2.如何構(gòu)造目標(biāo)層級結(jié)構(gòu)。

在解題過程中，目標(biāo)層級結(jié)構(gòu)的構(gòu)造，也就是解題的思路，應(yīng)該十分清晰。本題的最終目標(biāo)是證明AB1⊥平面A1B1C1，可轉(zhuǎn)化成證明兩組直線垂直。根據(jù)解題經(jīng)驗、題目中若干垂直的條件以及擁有的向量知識，刺激學(xué)生產(chǎn)生建立坐標(biāo)系的想法——通過建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法進行第（1）問的證明。而在向量法中，需要寫出空間直角坐標(biāo)系中所有點的坐標(biāo)，并求出平面A1B1C1內(nèi)兩條相交直線的方向向量，進而求出平面A1B1C1內(nèi)兩條相交直線A1B1、A1C1與AB1的向量乘積。若乘積均為0，則能夠說明AB1與平面A1B1C1垂直的位置關(guān)系。依此構(gòu)造目標(biāo)層級結(jié)構(gòu)，如圖4所示。

教學(xué)時，要引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注目標(biāo)層級結(jié)構(gòu)的設(shè)定，學(xué)會分層解決問題的策略。

第（1）問的解答步驟如下：

如圖5，以AC的中點O為原點，分別以射線OB、OC為x軸、y軸的正半軸，建立空間直角坐標(biāo)系O -xyz。

由題意，可知各點坐標(biāo)為：A（0，-3，0），B（1，0，0），C（0，3，0），A1（0，-3，4），B1（1，0，2），C1（0，3，1）。因此AB1=1，3，2，A1B1=1，3，-2，A1C1=0，23，-3。由AB1·A1B1=0，得AB1⊥A1B1。由AB1·A1C1=0，得AB1⊥A1C1。所以，AB1⊥平面A1B1C1。

同理，第（2）問考查線面角正弦值的求法，應(yīng)該求出平面ABB1的法向量和向量AC1，再利用向量法求出直線AC1與平面ABB1所成角的正弦值。依此構(gòu)造目標(biāo)層級結(jié)構(gòu)，如圖6所示。

三、高中數(shù)學(xué)解題教學(xué)需要關(guān)注的幾個能力

基于ACT-R理論的高中數(shù)學(xué)解題教學(xué)，應(yīng)注重培養(yǎng)學(xué)生的以下能力：

（一）審題的能力

數(shù)學(xué)解題教學(xué)，首先應(yīng)該教會學(xué)生學(xué)會審題。審題就是明確題目中的條件與問題，聯(lián)想與提取相關(guān)陳述性知識。教師應(yīng)教給學(xué)生具體的審題方法，如在題目上畫線做標(biāo)記，把條件對應(yīng)地標(biāo)記在圖形上，把條件和所求呈兩列寫在紙上并聯(lián)想相關(guān)知識，等等。

（二）提取關(guān)鍵知識點的能力

學(xué)生在明確了題意之后，根據(jù)題干條件給出的信息，由擁有的產(chǎn)生式，會激發(fā)出對相關(guān)知識點的回憶。例如，當(dāng)學(xué)生在某題目中看到“平行四邊形”條件時，由認(rèn)知結(jié)構(gòu)中的若干個“平行四邊形—性質(zhì)i”的產(chǎn)生式，就可能聯(lián)想到許多平行四邊形的性質(zhì)，再結(jié)合題目其他條件或所求結(jié)論綜合考量，從這些性質(zhì)中選擇、提取可能用得上的那條性質(zhì)——這條性質(zhì)可能就是解題的關(guān)鍵。

（三）選擇樣例的能力

學(xué)生在解題時，往往會依賴以往學(xué)過的相似樣例，樣例的解題思路與步驟也會被帶到新的問題中來。這樣，學(xué)生按照樣例的程序化的解題步驟，就可以實現(xiàn)解題目標(biāo)。因此，教師要注重典型例題的教學(xué)，因為它有望成為學(xué)生解決其他問題的樣例。好的例題教學(xué)應(yīng)該成為一個模式，便于遷移與回顧。為此，可以安排一系列精心設(shè)計的“例題串”，幫助學(xué)生通過示例演練形成樣例。

（四）構(gòu)造目標(biāo)層級結(jié)構(gòu)的能力

通過對問題的分析，將最終的問題拆分為幾個子問題（子目標(biāo)）的形式，只要所有子問題（子目標(biāo)）得到解決，就意味著最終問題得到了解決，從而將問題的解決轉(zhuǎn)化成對最基礎(chǔ)的子問題（子目標(biāo)）的解決?？梢姡岣呓鉀Q問題的能力尤其是解決綜合復(fù)雜問題的能力，構(gòu)造目標(biāo)層級結(jié)構(gòu)至關(guān)重要。

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