張 玥，于慎波，翟鳳晨，劉 丹，牛沛澤

（1.沈陽(yáng)工業(yè)大學(xué)，沈陽(yáng) 110870；2.遼寧省國(guó)際工程咨詢(xún)中心有限公司，沈陽(yáng) 110000）

0 引言

在能源緊缺、污染嚴(yán)重的今天，大家把目光投向了可再生能源。風(fēng)電作為可再生能源的代表之一，有資源豐富、持續(xù)工作時(shí)間長(zhǎng)、對(duì)環(huán)境影響低、對(duì)社會(huì)產(chǎn)生不良影響小等優(yōu)點(diǎn)，具有廣闊的應(yīng)用前景[1-2]。當(dāng)前，大功率風(fēng)電機(jī)組相繼得到研發(fā)和投運(yùn)[3]。太陽(yáng)能、潮汐能等其他新能源，由于發(fā)電成本過(guò)高，所以發(fā)展沒(méi)有風(fēng)電快[4]。由于面臨嚴(yán)苛的環(huán)境條件、高工作負(fù)荷、極端氣候條件，風(fēng)電的發(fā)展面臨諸多挑戰(zhàn)[5-6]。轉(zhuǎn)子動(dòng)力學(xué)是研究旋轉(zhuǎn)機(jī)械動(dòng)力學(xué)中的重要部分。本文中的3 MW風(fēng)力發(fā)電機(jī)體積和轉(zhuǎn)動(dòng)慣量過(guò)大，所以對(duì)電機(jī)的結(jié)構(gòu)要進(jìn)行轉(zhuǎn)子動(dòng)力學(xué)分析，確保風(fēng)力發(fā)電機(jī)能穩(wěn)定運(yùn)行。

對(duì)轉(zhuǎn)子的動(dòng)力學(xué)分析主要分為轉(zhuǎn)子建模與轉(zhuǎn)子分析計(jì)算兩大部分。轉(zhuǎn)子建模一般采用離散質(zhì)量模型，將實(shí)際結(jié)構(gòu)離散化成有限個(gè)盤(pán)軸模型，其數(shù)學(xué)建模和求解相對(duì)容易。這種方法既能應(yīng)用在自由度較多的模型中，又能保證其計(jì)算結(jié)果的精度，所以被廣泛應(yīng)用在轉(zhuǎn)子動(dòng)力特性分析中[7]。

臨界轉(zhuǎn)速的計(jì)算是本文的重要內(nèi)容，臨界轉(zhuǎn)速的傳遞矩陣方法主要有Prohl和Riccati。這兩種方法分別應(yīng)用在各向同性支撐轉(zhuǎn)子—軸承系統(tǒng)和各向異性支撐轉(zhuǎn)子—軸承系統(tǒng)的臨界轉(zhuǎn)速計(jì)算。運(yùn)用Prohl法計(jì)算轉(zhuǎn)子臨界轉(zhuǎn)速，在計(jì)算轉(zhuǎn)子高階臨界轉(zhuǎn)速時(shí)常常產(chǎn)生數(shù)值不穩(wěn)，甚至丟根的現(xiàn)象。為了提高臨界轉(zhuǎn)速計(jì)算精度，提出加入時(shí)間因子t進(jìn)行建模，QR法進(jìn)行求解特征值，最終得到臨界轉(zhuǎn)速。這種方法既能提高計(jì)算結(jié)果精度，又能縮短計(jì)算時(shí)間，同時(shí)還運(yùn)用雙重步QR法[8]，解決了丟根、溢出的現(xiàn)象。對(duì)數(shù)衰減率是判定結(jié)構(gòu)穩(wěn)定性的一種方法，通過(guò)繪制出的曲線可判定出運(yùn)行時(shí)的穩(wěn)定性裕度，對(duì)之后的結(jié)構(gòu)優(yōu)化有很大幫助。

1 轉(zhuǎn)子臨界轉(zhuǎn)速計(jì)算

1.1 轉(zhuǎn)子建模

在應(yīng)用傳遞矩陣法進(jìn)行計(jì)算之前，需要對(duì)轉(zhuǎn)子進(jìn)行離散化[9]處理。轉(zhuǎn)子的離散化包括轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的質(zhì)量、轉(zhuǎn)動(dòng)慣量離散化。把轉(zhuǎn)子系統(tǒng)離散成有質(zhì)量、轉(zhuǎn)動(dòng)慣量、無(wú)厚度、無(wú)變形的剛度薄圓盤(pán)和有長(zhǎng)度、剛度、無(wú)質(zhì)量的彈性軸。

在建立計(jì)算模型時(shí)要考慮節(jié)點(diǎn)數(shù)目，節(jié)點(diǎn)數(shù)目太少，簡(jiǎn)化出來(lái)的模型太過(guò)簡(jiǎn)單，導(dǎo)致計(jì)算結(jié)果不夠精確；節(jié)點(diǎn)數(shù)目太多，增加計(jì)算的工作量，并且過(guò)多的計(jì)算迭代步驟易使初始誤差得到累積，反而不利于獲得精確的計(jì)算結(jié)果。

節(jié)點(diǎn)選取遵循的原則主要有以下幾項(xiàng)[10]：（1）軸的端部；（2）階梯軸截面處；（3）軸承的位置上；（4）軸上或者與軸一同運(yùn)轉(zhuǎn)的重量較大的部件；（5）軸與聯(lián)軸器相連接處；（6）若是一個(gè)等截面足夠長(zhǎng)的軸，需要?jiǎng)澐秩舾晒?jié)點(diǎn)，保證計(jì)算精度。

本文中，把外轉(zhuǎn)子結(jié)構(gòu)劃分為14個(gè)軸段，15個(gè)節(jié)點(diǎn)，其中支撐位置為2節(jié)點(diǎn)。轉(zhuǎn)子離散化的原則是質(zhì)心位置不變?cè)瓌t，是指簡(jiǎn)化后軸兩端的總質(zhì)量等于簡(jiǎn)化前的總質(zhì)量，簡(jiǎn)化后的質(zhì)心位置與轉(zhuǎn)動(dòng)慣量與簡(jiǎn)化前的相同。把節(jié)點(diǎn)的兩側(cè)簡(jiǎn)化為等截面軸段，節(jié)點(diǎn)處的集中質(zhì)量和轉(zhuǎn)動(dòng)慣量如下式所示：

式中：mi為集中到第i節(jié)點(diǎn)處的質(zhì)量；Jpi為集中到第i節(jié)點(diǎn)處的極轉(zhuǎn)動(dòng)慣量；Jdi為集中到第i節(jié)點(diǎn)處的直徑轉(zhuǎn)動(dòng)慣量；為位于節(jié)點(diǎn)i處的圓盤(pán)、葉輪等構(gòu)件附加的質(zhì)量；為位于節(jié)點(diǎn)i處的圓盤(pán)、葉輪等構(gòu)件附加的極轉(zhuǎn)動(dòng)慣量；為位于節(jié)點(diǎn)i處的圓盤(pán)、葉輪等構(gòu)件附加的直徑轉(zhuǎn)動(dòng)慣量；μ為單位軸段長(zhǎng)的質(zhì)量； jp為單位軸段長(zhǎng)的極轉(zhuǎn)動(dòng)慣量； jd為單位軸段長(zhǎng)的直徑轉(zhuǎn)動(dòng)慣量；l為單位軸段長(zhǎng)的長(zhǎng)度。

1.2 建立傳遞矩陣

風(fēng)力發(fā)電機(jī)的外轉(zhuǎn)子結(jié)構(gòu)在工作過(guò)程中受自身重力、軸承支撐力、電磁力、定子對(duì)轉(zhuǎn)子的支撐力等多重作用效果。根據(jù)作用在轉(zhuǎn)子上力的特點(diǎn)，列出轉(zhuǎn)子結(jié)構(gòu)在鉛錘和水平方向兩個(gè)平面內(nèi)的狀態(tài)向量，如下式所示：

式中：Mx(y)為水平（鉛錘）方向的彎矩；Qx(y)為水平（鉛錘）方向的剪力；x(y)為水平（鉛錘）方向的撓度；θx(y)為水平（鉛錘）方向的轉(zhuǎn)角。從第i個(gè)單元開(kāi)始，1次可以計(jì)算出第2個(gè)單元、第3個(gè)單元…，直到第N個(gè)單元的狀態(tài)變量，即單元截面位移和內(nèi)力為：

式中表明了各截面狀態(tài)變量Zi之間與左端起始端狀態(tài)變量Z1的關(guān)系，即各截面狀態(tài)變量可以用起始截面狀態(tài)變量表示，即從第1個(gè)傳遞矩陣到第i個(gè)傳遞矩陣的連乘。所以當(dāng)邊界條件已知時(shí)，根據(jù)上述的連續(xù)傳遞關(guān)系，可以通過(guò)起始截面求得單元各截面的狀態(tài)向量。該部件的傳遞矩為：

式中：[ T ]i為該部件的傳遞矩；{ B }i為無(wú)質(zhì)量等截面弾性軸的傳遞矩陣；{ D }i為剛性薄圓盤(pán)的傳遞矩陣。

為了使計(jì)算過(guò)程簡(jiǎn)便，計(jì)算結(jié)果精確，引入了振動(dòng)量用復(fù)數(shù)來(lái)表示，即：

式中：S為復(fù)渦動(dòng)頻率；實(shí)部λ為衰減指數(shù)；虛部ω為阻尼圓周率。

轉(zhuǎn)子臨界轉(zhuǎn)速的頻率方程實(shí)際上是一個(gè)代數(shù)方程，本文采用QR方法，運(yùn)用雙重步QR算法進(jìn)行計(jì)算，引入時(shí)間因子t進(jìn)行編程，計(jì)算出復(fù)頻率的實(shí)部和虛部，計(jì)算時(shí)除轉(zhuǎn)速除以時(shí)間因子之外，其他計(jì)算參量和時(shí)間因子相乘，這一過(guò)程能夠平衡計(jì)算中小數(shù)和大數(shù)之間的差異，進(jìn)而進(jìn)行傳遞矩陣的運(yùn)算[11]。傳遞矩陣運(yùn)算輸出數(shù)值為復(fù)頻率，計(jì)算結(jié)束后將復(fù)頻率和時(shí)間因子相乘得出臨界轉(zhuǎn)速值，這樣防止溢根現(xiàn)象。t是一種中間變量因子，雖然參與計(jì)算，但對(duì)最終結(jié)果無(wú)影響，其主要任務(wù)是在搜索特征值根的過(guò)程中，防止丟失有效根以及預(yù)防根值的溢出。施加合適的時(shí)間因子t，不但可以提高計(jì)算精度，還能簡(jiǎn)化計(jì)算過(guò)程。

1.3 解析計(jì)算3 MW風(fēng)力發(fā)電機(jī)臨界轉(zhuǎn)速

本文以額定功率3 MW風(fēng)力發(fā)電機(jī)的外轉(zhuǎn)子結(jié)構(gòu)為實(shí)例，運(yùn)用編程的方法計(jì)算轉(zhuǎn)子的臨界轉(zhuǎn)速，畫(huà)出渦動(dòng)頻率坎貝爾圖，如圖1所示。時(shí)間因子取值為5 000，序列公差取值為200 r/min，各階渦動(dòng)頻率曲線圖與自頻率曲線的交點(diǎn)就是臨界轉(zhuǎn)速的值。從圖中可以看出，隨著自轉(zhuǎn)頻率增大，一階正反向渦動(dòng)頻率變化，基本重合；二階正向渦動(dòng)頻率逐漸增大，二階反向渦動(dòng)頻率逐漸減小。

圖1 解析法坎貝爾圖

1.4 有限元法計(jì)算3 MW風(fēng)力發(fā)電機(jī)臨界轉(zhuǎn)速

圖2 ANSYS二維質(zhì)量點(diǎn)單元模型

電機(jī)在運(yùn)轉(zhuǎn)過(guò)程中，轉(zhuǎn)速會(huì)受軸承剛度、附加載荷大小等因素的影響，陀螺效應(yīng)是轉(zhuǎn)子保持原來(lái)旋轉(zhuǎn)的慣性，但電機(jī)轉(zhuǎn)子的慣性力會(huì)對(duì)臨界轉(zhuǎn)速產(chǎn)生一定的影響。在動(dòng)力學(xué)仿真分析中，應(yīng)考慮轉(zhuǎn)子的陀螺效應(yīng)，防止慣性力影響電機(jī)的正常運(yùn)轉(zhuǎn)。由于實(shí)體模型建模復(fù)雜，模擬實(shí)際工況并不精確，并且計(jì)算精度稍差，所以在計(jì)算臨界轉(zhuǎn)速時(shí)，可對(duì)實(shí)體模型作一定的簡(jiǎn)化處理。圖2所示為ANSYS分析中的離散的二維簡(jiǎn)化模型。本文選用有限元法進(jìn)行建模，采用QR阻尼法進(jìn)行模態(tài)提取，最后運(yùn)用PLCAMP命令畫(huà)出轉(zhuǎn)子-軸承系統(tǒng)的坎貝爾圖，如圖3所示，得到其臨界轉(zhuǎn)速。

圖3 有限元法坎貝爾圖

1.5 解析計(jì)算與ANSYS計(jì)算結(jié)果對(duì)比

臨界轉(zhuǎn)速結(jié)果對(duì)比如表1所示。由表可知，傳遞矩陣法與有限元法計(jì)算結(jié)果基本一致，驗(yàn)證傳遞矩陣加入時(shí)間因子的方法正確性。

表1 臨界轉(zhuǎn)速結(jié)果對(duì)比r·min-1

2 穩(wěn)定性分析

本文對(duì)3 MW風(fēng)力發(fā)電機(jī)的穩(wěn)定性判定主要依據(jù)對(duì)數(shù)衰減率曲線，即振幅衰減的速率，能有效對(duì)系統(tǒng)的穩(wěn)定性裕度進(jìn)行分析。穩(wěn)定性裕度體現(xiàn)在系統(tǒng)自身的修復(fù)能力，即能夠回到平穩(wěn)狀態(tài)的能力[12]，是衡量系統(tǒng)承受外界各種干擾后，轉(zhuǎn)子平衡狀態(tài)不被破壞的能力。穩(wěn)定性裕度的度量指標(biāo)和準(zhǔn)則由穩(wěn)定性判據(jù)而來(lái)，其度量的方法主要有對(duì)數(shù)衰減率、系統(tǒng)阻尼和抗干擾界限值法[13]。對(duì)數(shù)衰減率是工程上求解系統(tǒng)穩(wěn)定性的常用方法之一，本實(shí)例以對(duì)數(shù)衰減率為依據(jù)，用軟件畫(huà)出其對(duì)數(shù)衰減曲線，如圖4所示。外轉(zhuǎn)子結(jié)構(gòu)的對(duì)數(shù)衰減率曲線，其中一階反向渦動(dòng)曲線下降速率最快，穩(wěn)定性裕度較小，易導(dǎo)致結(jié)構(gòu)失穩(wěn)。

圖4 對(duì)數(shù)衰減率曲線

3 電磁力分析

電機(jī)旋轉(zhuǎn)時(shí)，由于電磁場(chǎng)的相互作用，其定子、轉(zhuǎn)子的氣隙間產(chǎn)生的徑向電磁力作用在轉(zhuǎn)子上。當(dāng)出現(xiàn)偏心情況，氣隙不均勻時(shí)，轉(zhuǎn)子所受的徑向電磁力也會(huì)發(fā)生變化。這種變化嚴(yán)重時(shí)會(huì)使電機(jī)定子、轉(zhuǎn)子發(fā)生干涉，產(chǎn)生強(qiáng)烈的振動(dòng)，甚至導(dǎo)致電機(jī)不能正常運(yùn)轉(zhuǎn)。所以在進(jìn)行電機(jī)轉(zhuǎn)子動(dòng)態(tài)特性分析時(shí)，綜合考慮多種因素，尤其是徑向電磁力的影響是非常必要的。

首先分析定子旋轉(zhuǎn)中心與轉(zhuǎn)子旋轉(zhuǎn)中心重合，即無(wú)偏心下的徑向氣隙磁密度和徑向電磁力情況。風(fēng)力發(fā)電機(jī)的部分參數(shù)如表2所示。實(shí)際工作的轉(zhuǎn)子由于加工及裝配誤差，會(huì)存在偏心，并且當(dāng)轉(zhuǎn)子旋轉(zhuǎn)產(chǎn)生渦動(dòng)時(shí)，也會(huì)導(dǎo)致轉(zhuǎn)子偏心，所以考慮偏心情況下的電磁場(chǎng)分布尤為重要。

表2 風(fēng)力發(fā)電機(jī)部分參數(shù)

圖5 徑向氣隙磁密度曲線

圖6 徑向電磁力曲線

為了防止電機(jī)的轉(zhuǎn)子和定子出現(xiàn)掃膛現(xiàn)象，電機(jī)偏心矩不應(yīng)大于平均氣隙的10%。依據(jù)此原則，取偏心距為1.395 mm，在此偏心距情況下，徑向氣隙磁密度曲線、徑向電磁力曲線如圖5～6所示。

4 結(jié)束語(yǔ)

（1）計(jì)算臨界轉(zhuǎn)速的解析方法，在傳遞矩陣中加入時(shí)間因子t，運(yùn)用QR法，算出復(fù)頻率數(shù)值，最終得到臨界轉(zhuǎn)速，解析方法的計(jì)算結(jié)果與有限元分析結(jié)果對(duì)比，誤差在5%左右。

（2）分析3 MW風(fēng)力發(fā)電機(jī)無(wú)偏心、有偏心情況的電磁力變化。無(wú)偏心下的電磁力為134 260.88 N，當(dāng)偏心量為1.395 mm時(shí)，電磁力為135 491.27 N。

（3）分析3 MW風(fēng)力發(fā)電機(jī)的對(duì)數(shù)衰減率曲線，其中一階反向渦動(dòng)曲線有明顯下降的趨勢(shì)，具有較小的穩(wěn)定性裕度，容易導(dǎo)致結(jié)構(gòu)失穩(wěn)。