陳宣新

[摘? 要] 在教學(xué)中需要借助考題來(lái)提升學(xué)生的綜合能力，解析幾何題能夠全面考查學(xué)生的知識(shí)水平和思維能力.解析幾何題的綜合性較強(qiáng)，建議采用思路呈現(xiàn)、繪制思維導(dǎo)圖、教學(xué)微設(shè)計(jì)的方式，通過設(shè)問引導(dǎo)，問題拆解來(lái)還原解題過程，文章以一道解析幾何考題為例開展解題教學(xué)探討.

[關(guān)鍵詞] 解析幾何;綜合;平行四邊形;思維導(dǎo)圖;思維

解析幾何是高中數(shù)學(xué)的核心內(nèi)容，也是高考?jí)狠S題的命題點(diǎn)，常以綜合題的形式出現(xiàn). 筆者認(rèn)為提高學(xué)生解決解析幾何問題的能力，應(yīng)從解題策略講解入手，幫助學(xué)生形成正確的解題思維. 因此在考題教學(xué)中應(yīng)立足問題考點(diǎn)，解構(gòu)問題思維，開展問題反思，提煉數(shù)學(xué)思想.下面以一道解析幾何考題為例進(jìn)行探究.

考題呈現(xiàn)

例題：已知橢圓C的解析式為9x2+y2=m2（m>0），直線l不經(jīng)過原點(diǎn)O，且不與坐標(biāo)軸相平行，設(shè)直線l與橢圓C的兩個(gè)交點(diǎn)分別為A和B，點(diǎn)M為線段AB的中點(diǎn)，試回答下列問題.

（1）連接OM，試證明直線OM的斜率與直線l的斜率之積為定值.

（2）設(shè)直線l經(jīng)過點(diǎn)■，m，延長(zhǎng)線段OM，設(shè)與橢圓C的交點(diǎn)為點(diǎn)P，試分析四邊形OAPB能否為平行四邊形？如果能，請(qǐng)求出此時(shí)直線l的斜率;如果不能，請(qǐng)說(shuō)明理由.

思路突破

第（1）問求證直線OM和l的斜率之積為定值，突破難點(diǎn)有兩個(gè)：一是直線l的方程未知，二是點(diǎn)M的坐標(biāo)未知.考慮到點(diǎn)M與點(diǎn)A和B的坐標(biāo)相關(guān)，而點(diǎn)A和B是直線l與橢圓C的交點(diǎn)，因此問題實(shí)質(zhì)就是研究直線與橢圓的相交問題，常用的策略是設(shè)而不求，韋達(dá)定理簡(jiǎn)化.因此求解時(shí)可以按照如下思路進(jìn)行：首先設(shè)出直線l的方程，然后聯(lián)立直線l與橢圓C的方程，方程的解就是點(diǎn)A和B的橫坐標(biāo)值，然后利用韋達(dá)定理構(gòu)建點(diǎn)M的坐標(biāo)，從而求出直線OM的斜率，最后對(duì)兩直線斜率之積進(jìn)行化簡(jiǎn)即可.

設(shè)直線l的方程為y=kx+b（k和b均不為0），點(diǎn)A（x1，y1），B（x2，y2），則點(diǎn)M■，■. 聯(lián)立直線l與橢圓C的方程：y=kx+b，9x2+y2=m2，消去y，整理可得（k2+9）x2+2kbx+b2-m2=0，結(jié)合韋達(dá)定理，xM=■=■，yM=kxM+b=■.直線OM的斜率可表示為-■，所以兩直線的斜率之積kOM·k=-■·k=-9，即直線OM的斜率與直線l的斜率之積為定值-9.

第（2）問分析四邊形OAPB能否為平行四邊形，其中點(diǎn)A和B為對(duì)頂點(diǎn)，而點(diǎn)P為OM延長(zhǎng)線與橢圓的交點(diǎn)，分析時(shí)需要以平行四邊形的判定定理為依托，構(gòu)建與點(diǎn)坐標(biāo)相關(guān)的條件，然后分析條件是否成立，即采用“先假設(shè)，后論證”的思路.

分析平行四邊形的判定定理，可將定理歸為三類：一是僅與平行相關(guān);二是涉及線平行和相等;三是對(duì)角線相互平分.考慮到解析幾何的問題特點(diǎn)，從點(diǎn)坐標(biāo)角度來(lái)看分析四邊形的對(duì)角線是否相互平分更為容易. 因此可以按照如下思路求解：設(shè)出點(diǎn)P的坐標(biāo)，根據(jù)“對(duì)角線相互平分的四邊形為平行四邊形”的判定定理可得與坐標(biāo)相關(guān)的條件，然后聯(lián)立直線OM與橢圓C的方程，分析是否存在這樣的直線OM.

設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（xP，yP），若四邊形OAPB為平行四邊形，則AM=BM，PM=OM，其中點(diǎn)M為AB的中點(diǎn)，則只需求證點(diǎn)M為線段OP的中點(diǎn)即可.轉(zhuǎn)化為坐標(biāo)則必須滿足xP=2xM. 聯(lián)立直線OM與橢圓C的方程：y=-■x，9x2+y2=m2，可解得xP=■. 將點(diǎn)■，m代入直線l的方程中，可解得b=■，結(jié)合（1）問可知xM=■=■，于是有■=■，從而可解得k1=4-■，k2=4+■.所以當(dāng)直線l的斜率為4-■或4+■時(shí)，四邊形OAPB為平行四邊形.

解后反思

上述是以橢圓與直線相交為背景的解析幾何綜合題，問題分為兩問，求證斜率之積是否為定值、探究四邊形是否為平行四邊形. 完成思路突破后還需引導(dǎo)學(xué)生對(duì)其進(jìn)行反思，總結(jié)解題突破口，構(gòu)建思維導(dǎo)圖，形成系統(tǒng)的解題思路.

1. 挖掘問題缺口

兩問均是解析幾何常見的問題類型：定值問題和存在性問題. 問題以橢圓的方程為背景，求證兩直線的斜率為定值，需要依托點(diǎn)的坐標(biāo)來(lái)構(gòu)建直線的斜率，故解題的突破口是聯(lián)立直線與橢圓的方程，根據(jù)韋達(dá)定理來(lái)轉(zhuǎn)化出點(diǎn)M的坐標(biāo);而第（2）問求證四邊形為平行四邊形，其判定定理有很多，難點(diǎn)在于如何選用定理及簡(jiǎn)捷提取成立條件，故解題的突破口是根據(jù)解析幾何問題的點(diǎn)坐標(biāo)特性，從對(duì)角線平分中提取與坐標(biāo)相關(guān)的條件.

2. 構(gòu)建思維導(dǎo)圖

從解題過程來(lái)看，運(yùn)算過程較為簡(jiǎn)潔，實(shí)則是問題分析充分到位，所構(gòu)思路清晰，取得了直切主體的效果. 因此求解解析幾何問題時(shí)需要重點(diǎn)關(guān)注解題思路的構(gòu)建，在解題教學(xué)中需要構(gòu)建相應(yīng)的思維導(dǎo)圖，利用圖式來(lái)引導(dǎo)學(xué)生思考問題，培養(yǎng)學(xué)生正確的解題思維.以上述考題的兩問為例，可以構(gòu)建圖1所示的思維導(dǎo)圖.

教學(xué)微設(shè)計(jì)

解題教學(xué)中需要利用考題的代表性來(lái)指導(dǎo)學(xué)生掌握問題的分析方法，形成相應(yīng)的解題思維，除了可以構(gòu)建相應(yīng)的思維導(dǎo)圖外，還可以基于考題進(jìn)行教學(xué)微設(shè)計(jì). 微設(shè)計(jì)的過程中需要對(duì)考題進(jìn)行拆解，逐步引導(dǎo)學(xué)生思考，掌握合理的分析步驟.

環(huán)節(jié)（一）——審題讀題，信息處理

已知橢圓C的解析式為9x2+y2=m2（m>0），直線l不經(jīng)過原點(diǎn)O，且不與坐標(biāo)軸相平行，設(shè)直線l與橢圓C相交于點(diǎn)A和B，點(diǎn)M為線段AB的中點(diǎn)，根據(jù)題干信息來(lái)繪制草圖.

意圖與分析：該環(huán)節(jié)主要是引導(dǎo)學(xué)生來(lái)提取題干中的關(guān)鍵信息，根據(jù)信息來(lái)繪制草圖，充分理解題干的信息條件，也是為后續(xù)數(shù)形結(jié)合輔助思考打下基礎(chǔ)，這也是解析幾何問題常用的解析策略.

環(huán)節(jié)（二）——拾級(jí)而上，引導(dǎo)審問

設(shè)直線l的方程為y=kx+b（k和b均不為0），點(diǎn)A（x1，y1），B（x2，y2），試回答下列問題.