（四川大學(xué) 電子信息學(xué)院，四川 成都 610065）

引言

近年來(lái)，隨著互聯(lián)網(wǎng)技術(shù)和數(shù)字通訊技術(shù)的快速發(fā)展，信息安全問(wèn)題越來(lái)越得到人們的關(guān)注。由于具有容量大、加密速度快、可多路并行傳輸、密匙維度多等固有的優(yōu)勢(shì)，光學(xué)圖像加密技術(shù)迅速成為了一個(gè)熱門(mén)的研究方向。這一技術(shù)最早可被追溯到1995年，Refregier和Javidi 提出的基于雙隨機(jī)相位編碼（double random phase code，DRPE）的圖像加密方法[1]。即在4-f系統(tǒng)的空間輸入平面和傅里葉變換域平面放置隨機(jī)相位板，對(duì)原加密圖像的空間域信息和頻域信息分別置亂，得到一個(gè)平穩(wěn)隨機(jī)分布的白噪聲密文圖案。隨后，由該方法衍生出的其他光學(xué)加密方法逐漸被提出，如菲涅爾域DRPE的圖像加密方法[2-3]、分?jǐn)?shù)傅里葉域

DRPE的圖像加密方法[4-5]、基于光學(xué)聯(lián)合變換器的加密方法[6-7]、基于干涉原理的加密方法[8]等。這些方法豐富和發(fā)展了光學(xué)圖像加密技術(shù)，但一些制約其進(jìn)一步實(shí)用化的問(wèn)題依然存在。例如，由于隨機(jī)相位板的引入和實(shí)驗(yàn)中其他不可控因素，基于光學(xué)系統(tǒng)的解密圖像往往包含有大量的散斑噪聲，這些噪聲嚴(yán)重影響了解密后圖像的質(zhì)量。雖然目前提出了許多減弱或者抑制散斑噪聲的方法[9-13]，但效果都不是很理想。

為了解決這一問(wèn)題，2013年Barrera 等人首次將QR碼（quick response code）作為數(shù)據(jù)容器引入到光學(xué)圖像加密系統(tǒng)中[14]。由于QR碼具有較強(qiáng)的糾錯(cuò)能力，當(dāng)部分碼字被污染或者發(fā)生錯(cuò)誤時(shí)，依然可以識(shí)別出來(lái)，使得存儲(chǔ)在里面的信息可以無(wú)損恢復(fù)，因此是一種非常理想的去除光學(xué)加密系統(tǒng)中散斑噪聲的容器?？捎捎赒R碼存儲(chǔ)容量有限，存儲(chǔ)內(nèi)容只能為數(shù)字、字母，漢字、日文等信息[15]，要將一幅灰度圖像存入到QR碼中，必須要進(jìn)行數(shù)據(jù)的轉(zhuǎn)換與壓縮。目前主要有兩種方法，即將二值圖像利用行程編碼壓縮方法存入QR碼[16]，以及利用數(shù)字之間轉(zhuǎn)換壓縮方法將灰度圖像存入QR碼[17]。由于前者只適合于非常簡(jiǎn)單的二值圖像，而后者只能將一幅32×32像素大小的灰度圖像存入到QR碼中，因此在實(shí)際圖像加密的應(yīng)用中，尋求一種既能有效進(jìn)行數(shù)據(jù)壓縮，又能處理較大灰度圖像的方法仍顯得極為重要。

本文提出了一種基于算術(shù)編碼圖像壓縮方法，成功地將一幅64×64像素大小的灰度圖像存入QR碼中進(jìn)行加密和解密。該方法首先把灰度圖像讀取為二進(jìn)制數(shù)據(jù)，并轉(zhuǎn)換為十進(jìn)制數(shù)，然后利用算術(shù)編碼的方法壓縮十進(jìn)制數(shù)序列得到新的二進(jìn)制序列，把壓縮后的二進(jìn)制數(shù)據(jù)再次轉(zhuǎn)換成十進(jìn)制數(shù)據(jù)存儲(chǔ)到QR碼中，最后利用雙隨機(jī)相位編碼的方法進(jìn)行加密和解密。

1 理論基礎(chǔ)

1.1 基于算術(shù)編碼的壓縮方法

算術(shù)編碼[18-20]是一種變字長(zhǎng)無(wú)損編碼方法，將編碼數(shù)據(jù)看作由多個(gè)符號(hào)組成的序列，直接對(duì)該序列進(jìn)行編碼，編碼后輸出的碼字對(duì)應(yīng)于整個(gè)符號(hào)序列，而每個(gè)碼字本身確定了0和1之間的一個(gè)實(shí)數(shù)區(qū)間。編碼原理為：根據(jù)信源符號(hào)中各個(gè)符號(hào)所占的概率不同，把[0，1]區(qū)間劃分為若干個(gè)互不重疊的子區(qū)間，每個(gè)區(qū)間的長(zhǎng)度為每個(gè)信源符號(hào)的概率。這樣，每個(gè)信源符號(hào)都可以用其所對(duì)應(yīng)區(qū)間內(nèi)的任何一個(gè)實(shí)數(shù)來(lái)表示，在對(duì)信源符號(hào)進(jìn)行編碼時(shí)，便可用相應(yīng)的區(qū)間來(lái)表示。例如，要編碼的是一個(gè)來(lái)自4個(gè)信源符號(hào){1234}并由5個(gè)信源符號(hào)組成的符號(hào)序列：41312。通過(guò)計(jì)算得到各信源符號(hào)的概率分別為：P（1）=0.4，P（2）=0.2，P（3）=0.2，P（4）=0.2。編碼時(shí)，首先根據(jù)各個(gè)信源符號(hào)的概率將區(qū)間[0，1]分成4個(gè)子區(qū)間：符號(hào)1對(duì)應(yīng)[0，0.4），符號(hào)2對(duì)應(yīng)[0.4，0.6），符號(hào)3對(duì)應(yīng)[0.6，0.8），符號(hào)4對(duì)應(yīng)[0.8，1.0）。符號(hào)序列中第1個(gè)符號(hào)是4，其對(duì)應(yīng)的子區(qū)間為[0.8，1.0），因?yàn)樗潜痪幋a的第1個(gè)符號(hào)，所以原始信源符號(hào)就被縮窄到了區(qū)間[0.8，1.0），接下來(lái)將這個(gè)區(qū)間擴(kuò)展為整個(gè)高度，其端點(diǎn)值不變，然后，這個(gè)縮窄的區(qū)間根據(jù)原始信源符號(hào)的概率進(jìn)行細(xì)分，并繼續(xù)對(duì)下一個(gè)信源符號(hào)進(jìn)行處理。例如，第2個(gè)符號(hào)是1，1 在初始區(qū)間內(nèi)是占整個(gè)區(qū)間的前40%，對(duì)應(yīng)的也要占區(qū)間[0.8，1.0）的前40%，因此第2個(gè)符號(hào)的新編碼區(qū)間變?yōu)閇0.8，0.88），然后，第3個(gè)符號(hào)3 占初始區(qū)間的60%到80%，則第3個(gè)符號(hào)的新編碼區(qū)間為[0.848，0.864），依此類(lèi)推，第4個(gè)符號(hào)的新編碼區(qū)間為[0.848，0.8544），第5個(gè)符號(hào)的新編碼區(qū)間為[0.85056，0.85184），這樣該區(qū)間內(nèi)的任何一個(gè)實(shí)數(shù)就可以表示整個(gè)符號(hào)序列。把該十進(jìn)制區(qū)間用二進(jìn)制表示為[0.11011001101111100101，0.11011010000100100011），忽視小數(shù)點(diǎn)，不考慮“0.”，取該區(qū)間內(nèi)碼長(zhǎng)為最短的碼字作為最后實(shí)際的編碼碼字輸出，所以對(duì)字符串[41312]進(jìn)行算術(shù)編碼的輸出碼字為1101101。

對(duì)于一幅灰度圖像，對(duì)其進(jìn)行算術(shù)編碼壓縮的具體步驟為：

Ⅰ） 將灰度圖利用Matlab 軟件讀取文件的形式讀取為一串二進(jìn)制序列數(shù)據(jù)；

Ⅱ） 將Ⅰ）中的二進(jìn)制數(shù)據(jù)利用利用文獻(xiàn)[17]中的方法轉(zhuǎn)換為相應(yīng)的十進(jìn)制數(shù)據(jù)。具體規(guī)則為：步驟1，取4位二進(jìn)制數(shù)；步驟2，如果4位數(shù)字是1000 或1001，則將其轉(zhuǎn)換為8 或9，并在4位數(shù)字后再次從下一位開(kāi)始步驟1。如果這4位數(shù)字既不是1000 也不是1001，取前3位數(shù)字，并將其轉(zhuǎn)換為0到7之間的一個(gè)數(shù)字。在3位數(shù)之后從下一位開(kāi)始步驟1；

Ⅲ） 把Ⅱ）中的十進(jìn)制數(shù)分為若干小段，對(duì)每一小段進(jìn)行算術(shù)編碼，將編碼得到的二進(jìn)制字符串組合在一起；

Ⅳ） 將Ⅲ）得到的二進(jìn)制字符串用Ⅱ）中的方法轉(zhuǎn)換成十進(jìn)制數(shù)，編碼完成，整個(gè)過(guò)程如圖1所示。

圖1 基于算術(shù)編碼的數(shù)據(jù)壓縮過(guò)程Fig.1 Data compression process based on arithmetic coding

1.2 QR碼

QR碼是二維碼的一種，有40個(gè)版本和L、M、Q、H 4個(gè)糾錯(cuò)等級(jí)，不同的版本和糾錯(cuò)等級(jí)存儲(chǔ)的數(shù)據(jù)大小也不同，版本越大，糾錯(cuò)等級(jí)越低，存儲(chǔ)的數(shù)據(jù)越多。例如，31版的QR碼最多可存儲(chǔ)4 417個(gè)十進(jìn)制數(shù)字、2677個(gè)字母數(shù)字組合、1 840個(gè)8位字節(jié)、1132個(gè)中國(guó)漢字。各個(gè)版本和糾錯(cuò)等級(jí)QR碼的存儲(chǔ)容量如表1所示。

表1 各個(gè)版本和糾錯(cuò)等級(jí)QR碼的存儲(chǔ)容量Table1 Storage capacity of QR code with each version and each error correction level

2 實(shí)驗(yàn)?zāi)M

為了驗(yàn)證本文所提方法的有效性，利用Matlab軟件對(duì)實(shí)驗(yàn)進(jìn)行模擬。所選的加密系統(tǒng)為雙隨機(jī)相位編碼（DRPE）平行加密系統(tǒng)[1]，如圖2所示。

圖2 DRPE 加密系統(tǒng)（f(x,y)和g(x,y)為明文圖像和密文圖像，θ(x,y)和φ(u,v)為隨機(jī)相位板，L1和L2為傅里葉透鏡）Fig.2 DRPE encryption system（f(x,y) and g(x,y) are plaintext images and ciphertext images，θ(x,y) andφ(u,v) are random phase masks，L1and L2are Fourier lenses）

加密和解密過(guò)程可以表示為

式中：f(x,y)和g(x,y)分別為明文圖像和密文圖像；FT和FT?1為傅里葉正、逆變換；θ(x,y)和φ(u,v)是兩塊隨機(jī)分布在0到2π 區(qū)間的相位板；* 代表共軛。

對(duì)于一幅灰度圖像，最常見(jiàn)的格式是BMP和JPEG，BMP格式的圖像每一個(gè)像素值由8位二進(jìn)制組成，JPEG格式圖像是BMP格式的壓縮形式，它的數(shù)據(jù)量要遠(yuǎn)小于BMP格式的數(shù)據(jù)量。無(wú)論是BMP 還是JPEG格式的圖像，都可以以文件形式讀取為一串二進(jìn)制序列數(shù)據(jù)。以圖3（a）灰度值較豐富的Lena 圖為例，大小為64×64像素BMP格式的圖像二進(jìn)制文件大小為5.05 kB，可以讀取為41376個(gè)二進(jìn)制數(shù)字序列，在本文中我們采用的是壓縮后的JPEG 文件（見(jiàn)表3），二進(jìn)制文件大小為3.06 kB，讀取為二進(jìn)制數(shù)字序列為25088個(gè)，用文獻(xiàn)[17]的方法轉(zhuǎn)化的十進(jìn)制數(shù)為8043個(gè)，使用算術(shù)編碼后的二進(jìn)制數(shù)字為19266個(gè)，最后再次轉(zhuǎn)化為十進(jìn)制數(shù)字有4395個(gè)，將這些十進(jìn)制數(shù)存入31版糾錯(cuò)等級(jí)為L(zhǎng)的QR碼中，結(jié)果如圖3（b）。然后利用DRPE 光學(xué)系統(tǒng)對(duì)3（b）進(jìn)行加密和解密，加密后的密文圖像的實(shí)部和解密后的QR碼圖像如圖3（c）和3（d）。31版糾錯(cuò)等級(jí)為L(zhǎng)的QR碼[15]，錯(cuò)誤糾正碼字?jǐn)?shù)480個(gè)，最少可糾正240個(gè)錯(cuò)誤碼字，解密后的QR碼所包含的噪聲導(dǎo)致的錯(cuò)誤碼字?jǐn)?shù)遠(yuǎn)小于240，所以解密后的QR碼可被輕松識(shí)別，圖3（e）為最后恢復(fù)的原始圖像。

圖3 實(shí)驗(yàn)?zāi)M結(jié)果Fig.3 Experimental simulation results

為了更好地說(shuō)明本文所提方法的特點(diǎn)，對(duì)表示圖像數(shù)據(jù)量的十進(jìn)制數(shù)字壓縮效率采用以下公式：

式中：P代表壓縮效率；M代表壓縮后的十進(jìn)制數(shù)字個(gè)數(shù)；N代表原始圖像所有灰度值十進(jìn)制數(shù)字個(gè)數(shù)的總和。以圖3（a）中的Lena 圖為例，分別計(jì)算文獻(xiàn)[16]中行程編碼的壓縮方法、文獻(xiàn)[17]中的壓縮方法和本文所提出方法的壓縮率，結(jié)果如表2所示。

表2 不同方法的壓縮率Table2 Compression ratios of different methods

由表2可以看出，本文所提出的壓縮方法的壓縮率要優(yōu)于文獻(xiàn)[16]和文獻(xiàn)[17]中的方法，如果要將一幅大圖像存入QR碼中，本文提出的方法效果更佳。

3 討論

對(duì)于一幅灰度層次較飽滿的圖像，例如Lena圖，采用本文所提出的壓縮方法，最多可以將一幅64×64像素大小的圖像存入到QR碼中，對(duì)于一張128×128像素或者256×256像素大小的灰度圖像，則要采用多張QR碼。表3為不同灰度圖的壓縮信息，對(duì)灰度層次較少的圖像，由于圖像冗余度大，壓縮率高，采用本文的方法可以將一幅128×128像素的JPEG圖像壓縮后存入到QR碼中，通過(guò)光學(xué)加密系統(tǒng)可以得到無(wú)損解密的圖像。而對(duì)于一張灰度值只有0和255的二值圖像，則可以將256×256像素或者更大的JPEG圖像存入QR碼，如圖4所示，為了視覺(jué)效果更好，我們對(duì)128×128像素的圖像做了放大處理。此外，由于QR碼有4個(gè)糾錯(cuò)等級(jí)，不同的糾錯(cuò)等級(jí)數(shù)據(jù)容量不同，在實(shí)際的光學(xué)加密系統(tǒng)中，往往會(huì)引入其他噪聲，所以在可選擇的糾錯(cuò)等級(jí)和版本中，我們一般選擇版本低和糾錯(cuò)等級(jí)高的QR碼進(jìn)行加密和解密。

本文所提出的基于算術(shù)編碼的壓縮方法，理論上可以多次使用，重復(fù)壓縮，但由于每次壓縮都需要記錄每個(gè)灰度值的概率，以便在解壓時(shí)使用，在實(shí)際的圖像加密應(yīng)用中，這就會(huì)增加密鑰數(shù)據(jù)的傳輸量，并不利于加密技術(shù)的實(shí)際應(yīng)用。

表3 不同灰度圖的壓縮信息Table3 Compression information for different grayscale images

圖4 不同類(lèi)型圖像加密結(jié)果對(duì)比Fig.4 Comparison of encryption results for different types of images

4 結(jié)論

QR碼作為數(shù)據(jù)容器在光學(xué)圖像加密中起著非常重要的作用，但由于實(shí)際圖像通常數(shù)據(jù)量較大，超出了QR碼的存儲(chǔ)容量，因此目前只是將一些簡(jiǎn)短的表達(dá)或者32×32像素的灰度圖像存儲(chǔ)到QR碼中，遠(yuǎn)不能滿足實(shí)際加密的需求。本文提出了一種基于算術(shù)編碼的圖像壓縮方法，將灰度圖像首先讀取為二進(jìn)制數(shù)據(jù)并轉(zhuǎn)換為十進(jìn)制數(shù)，再將十進(jìn)制數(shù)利用算術(shù)編碼的方法壓縮為二進(jìn)制數(shù)，最后再轉(zhuǎn)換成十進(jìn)制數(shù)，使得原始圖像的壓縮率極大提高，成功地將一幅64×64像素的灰度圖像壓縮到QR碼中，并利用DRPE系統(tǒng)加密和解密，得到無(wú)損恢復(fù)的解密圖像。此方法在未來(lái)有望用于視頻及其他多媒體信號(hào)的加密。