許 帥，韓 森，吳泉英，張凌華，王全召，陳秋白，王 艷

（1.蘇州科技大學，江蘇 蘇州 215009；2.上海理工大學，上海 200093；3.蘇州慧利儀器有限責任公司，江蘇 蘇州 215123；4.蘇州維納儀器有限責任公司，江蘇 蘇州 215123）

引言

圓柱形表面高精度元件具有特殊的光學成像特性，廣泛應用在航空航天、工業(yè)加工以及測量檢測等高精密性領域中[1-3]。隨著精密軸類零件技術的發(fā)展，對軸類元件表面的光潔度、穩(wěn)定性等指標提出了更高的要求?，F(xiàn)在對柱面粗糙度測量方法的種類有很多[4-6]，主要可以分為干涉測量法和非干涉測量法兩大類。

非干涉測量方法主要有以下幾種：1） 接觸式測量法。通常是使用觸針與被測表面相接觸，并在驅(qū)動器的帶動下在被測區(qū)域內(nèi)按一定軌跡移動。借助傳感器獲取到接觸位置的粗糙度信息，最后整合所有測量的信息，得到整個被測面的粗糙度。但是這種測量方法在測量過程中，探針與待測表面相接觸，因而會對待測面的面形造成一定程度的損傷?，F(xiàn)在主要的接觸式測量儀器有掃描探針輪廓儀和三坐標測量機兩種。2）條紋投影法[7-9]。將一個標準條紋投影到待測面的表面，條紋受到面形的調(diào)制作用產(chǎn)生了相位變化，對形變相位光柵的相位進行處理分析，就可以得到待檢測面的粗糙度信息。3） 樣板比對法。樣板對比法需要事先準備好一個與待測半徑相同的球面或者平面樣板，通過直接接觸零件來進行比較。這種方法對樣板的加工有較高的要求并且適應的檢測范圍很小，具有一定的局限性，一般只適應于圓柱內(nèi)表面并且測量精度低，會對待檢測樣品面形造成一定的損傷。

干涉測量方法主要有：1） 計算機全息法（CGH）[10-14]。將透射過計算全息CGH 而產(chǎn)生的柱面波與待測的柱面進行零位干涉，通過相移算法分析干涉條紋，最終得到待測柱表面的粗糙度信息。計算全息法具有高精度、高靈敏度、可以多次測量等優(yōu)點，但是需要定制一個特殊的計算全息CGH，制作成本高，并且其自身的誤差很難剔除。2） 掠入射零位干涉測量[15-16]。此種方法需要借助使用兩個衍射光學元件（DOE）進行測量，兩個DOE分別承擔著不同的作用。其中一個DOE 用來分離和整形光束，另外一個DOE可以將經(jīng)反射后變形的波前轉(zhuǎn)換成近似于平面的波前，與理想?yún)⒖计矫婀馐嗷ジ缮妗５窃谥w軸線的方向上，有效波長增加了λ/cosθ，導致在圓柱軸線方向上采樣密度的大幅下降，降低了對被測表面粗糙度的敏感性，其中θ為入射角。

針對回轉(zhuǎn)圓柱外表面粗糙度的測量，本文提出了一種干涉測量的方法，在不進行拼接測量[17]的情況下，一次性獲取圓柱外表面一整周的形貌信息。此種測量方法需要使用一個特殊的圓臺面反射鏡，簡化了測量步驟，提高了對圓柱外表面的檢測效率。

1 測量原理

為了可以一次性獲取圓柱外表面的形貌信息，設計使用一個內(nèi)側(cè)傾角為45°的圓臺面反射鏡，將圓柱坐標系轉(zhuǎn)換為直角坐標系。當準直光束沿著光軸（z軸）方向入射圓臺面反射鏡時，圓臺面反射鏡將會改變光束的傳播方向使其垂直入射到圓柱外表面。由于光路可逆，光束將會返回到干涉系統(tǒng)中并與參考光干涉，得到干涉圖。圓柱面上的一個母線，對應著圓環(huán)狀形貌圖的一個半徑。這樣圓柱面就會轉(zhuǎn)變成為一個平面，圓柱外表面的形貌特征可以直接由此平面來體現(xiàn)。該測量方法的核心思想就是將被測柱面分解并在平面內(nèi)重新構(gòu)造，通過平面檢測的方法，實現(xiàn)了圓柱外表面粗糙度的一次性測量[7]。

圖1中PBS為偏振分光鏡，PZT為相移驅(qū)動器，TF為標準參考鏡。當準直光束沿著光軸（Z軸）方向入射，且各光學元件光軸與幾何軸心與Z軸重合時，透射標準參考鏡的光會按照示意圖所示，經(jīng)傾角為45°的圓臺面反射后，垂直入射到待檢測圓柱體的外表面。在不存在誤差的情況下，入射到圓柱外表面的光將原路返回，經(jīng)過干涉系統(tǒng)計算后，得到圓柱外表面的形貌信息。測量圓柱的半徑為r,高為h。圓臺面反射鏡底部空心圓盤的外半徑為R，內(nèi)半徑為rm，高為rm。光線經(jīng)過反射鏡折轉(zhuǎn)存在一定的壓縮，干涉圖也會有所變形，對橫向分辨率造成一定影響。在實際的測量過程中，實驗搭建以及機械加工很難做到如原理圖般毫無偏差，在實際檢測裝置搭建中，必定會存在著一些失調(diào)誤差，這些誤差會對實際測量結(jié)果的精度造成一定的影響，為了獲得被測圓柱外表面的真實形貌，必須要將這些誤差剔除。

2 建立誤差數(shù)學模型

由于圓柱體具有旋轉(zhuǎn)對稱性，所以沿著z軸偏移或者繞著Z軸旋轉(zhuǎn)不會產(chǎn)生失調(diào)誤差，不會影響實際測量結(jié)果的精確性。但若在垂直于Z軸的方向上有一定的偏移，偏移大小為δ，就會給測量結(jié)果引入偏移誤差；若在搭建檢測裝置過程中反射鏡的軸線沒有與Z軸重合，而是有一定夾角α，這就會給測量結(jié)果引入旋轉(zhuǎn)失調(diào)誤差，影響測量的精度。以上兩種失調(diào)誤差分析在圓柱內(nèi)表面的測量模擬中有討論過，由于設計的圓臺面反射鏡有特定的角度需求，且反射的相干光對角度敏感，在加工的過程中不可避免會存在著一定程度的角度誤差，所以在誤差分析中引入了第3種失調(diào)誤差即加工角度誤差。若加工的圓臺面反射鏡內(nèi)側(cè)傾斜角度并不是嚴格的45°，而是與設計值存在著角度為φ的誤差，這樣就會給測量結(jié)果引入加工角度誤差。為了便于計算，以圓柱底部圓心O為坐標圓心，建立圓柱坐標系，圓臺面反射鏡到參考鏡間的距離為S,分別計算表示出這3種失調(diào)誤差。

圖1 圓柱外表面測量原理圖Fig.1 Schematic of cylindrical outer surface measurement

2.1 偏移失調(diào)誤差

當待測圓柱軸線與Z軸重合，為了方便計算，假設圓臺面反射鏡的軸線與Z軸平行且在X軸方向有大小為δ的偏移時，圓臺面反射鏡的其軸線與XOY平面交點由O點位置移動到了O′點，偏移誤差光路示意圖如圖2所示。

圖2 偏移誤差示意圖Fig.2 Schematic of offset error

圖3為徑向截面的偏移誤差光路圖，由于反射鏡的軸線與Z軸平行，在準直光的入射下，任意徑向截面上光的傳播規(guī)律都相同，因此通過對單一的徑向截面光路的研究，就可以表示出整個圓柱外表面的偏移誤差。

圖3 偏移失調(diào)誤差光路Fig.3 Optical path diagram of offset misalignment error

在圖3所示的二維坐標系中，設圓柱外表面任意一點P的坐標為（x0,y0），O′點的坐標為（x0?δ,y0）。由于徑向截面上的任意一點到干涉儀參考鏡的距離都是相等的，所以在計算光程差時，只用考慮在徑向截面上的光程差。當不存在偏移誤差時，經(jīng)干涉儀系統(tǒng)發(fā)出的準直光束在入射到檢測裝置后將原路返回，因此徑向截面上的光程可以表示為L1=2AP。當存在偏移誤差時，如圖3所示，入射到圓臺面B點的光，經(jīng)反射后同樣到達圓柱外表面P點，經(jīng)圓柱外表面反射到達圓臺面的的C點。此時的總光程可以表示為L2=BP+PC。圖3中r1為待測圓柱的徑向截面半徑，r2為圓柱面反射鏡的徑向截面半徑，反射鏡沿X軸方向的偏移距離為δ，圓柱面上任意一點P和坐標原點O的連線PO與X軸的夾角為β。根據(jù)圖3所示的幾何關系可以得到(1)～(6)關系式：

當偏移量δ很小時，BP≈PC，用泰勒公式近似化簡（2）式，聯(lián)立方程組可以解得OPDshifting=為了進一步化簡，將直角坐標系轉(zhuǎn)化為極坐標系，有x0=r1cosβ，因此得到OPDshifting=2δcosβ，β∈[0,2π]。

2.2 旋轉(zhuǎn)失調(diào)誤差

若在檢測裝調(diào)過程時，圓臺面反射鏡的軸線與Z軸有夾角為α，干涉測量的結(jié)果會存在著旋轉(zhuǎn)失調(diào)誤差。旋轉(zhuǎn)失調(diào)誤差示意圖如圖4所示。

圖4 旋轉(zhuǎn)失調(diào)誤差Fig.4 Schematic of rotation misalignment error

圖5是在有失調(diào)誤差的情況下，光在實際檢測中的傳播軌跡。當圓臺面反射鏡軸心與Z軸重合即不存在失調(diào)誤差時，透射過參考鏡TF的光入射到圓臺面反射鏡內(nèi)表面Q點，經(jīng)反射后，垂直入射到待測圓柱外表面的P點，此后光將按照原光路返回。

如圖5中的幾何光路所示，光程L1=2HQ+2QP。當圓臺面反射鏡的軸心傾斜且與Z軸的夾角為α時，透射過參考鏡的光入射到圓臺面反射鏡內(nèi)表面的點B，經(jīng)圓臺面反射鏡反射后斜入射到圓柱外表面的P點。由于旋轉(zhuǎn)誤差改變了光的理想傳播軌跡，所以光并不是垂直入射到圓柱外表面，光束便不能按照原光路返回。此時P點的光經(jīng)圓柱面反射后到達反射鏡內(nèi)表面的C點，最后入射到參考鏡上的D點。因而在存在著旋轉(zhuǎn)誤差的情況下，經(jīng)過圓柱外表面上任意一點P的光程為L2=AB+BP+PC+CD。以圓柱底部圓心O為坐標圓心，建立圓柱坐標系。圖5中，M、N、T、P4個點的柱面坐標分別為(0,0,zb)，(0,0,zp)，(0,0,zc)，(r,β,zp)。參考鏡到圓柱面反射鏡的距離為S,反射鏡的底部半徑為R,高為rm，待檢測圓柱高為h且rm≥h。圖5中α′隨著P點極角的變化而變化，α′=α·cosβ。經(jīng)分析可以得到(7)～(15)幾何關系式：

圖5 旋轉(zhuǎn)失調(diào)誤差光路圖Fig.5 Optical path diagram of rotation misalignment error

光程差OPDrotation=L2?L1，由于旋轉(zhuǎn)角度α非常小，因此聯(lián)立上述方程并使用泰勒公式近似求解，得到圓柱外表面任意一點P的旋轉(zhuǎn)光程差：

2.3 加工角度誤差

檢測所用到的圓臺面反射鏡內(nèi)側(cè)斜面具有特定的傾斜角度45°，如若實際加工角度與設計角度有大小為φ的誤差，那么在測量結(jié)果中就會引入加工角度誤差，影響測量的精準性。引入加工角度誤差的光路圖如圖6所示。

圖6 加工角度誤差光路圖Fig.6 Optical path diagram of processing angle error

當不存在加工角度誤差時，透射過測量系統(tǒng)參考鏡的光，經(jīng)過圓柱面反射鏡的反射后垂直入射到圓柱外表面的P點，由于滿足可逆光路條件，準直光束將原光路返回。具體光路如圖6所示，光程L1=2HQ+2QP。當存在加工角度誤差且誤差角度為φ時，入射到圓柱外表面同一點P的光程為L2=AB+BP+PC+CD。以圓柱底部圓心O為坐標圓心，建立圓柱坐標系。參考鏡到圓柱面反射鏡的距離為S，反射鏡的底部半徑為R，高為rm，待檢測圓柱高為h且rm≥h。圖中φ′隨著P點極角的變化而變化，φ′=φ·cosβ。根據(jù)上圖的幾何關系可以得到(17)～(25)等式：

當加工角度誤差φ非常小時，使用泰勒公式近似求解可得：

3 誤差仿真模擬

3.1 偏移失調(diào)誤差干涉條紋模擬

當只存在偏移失調(diào)誤差時，根據(jù)偏移量δ的大小，干涉條紋的變化如圖7所示。圖7為偏移誤差量δ分別為0.1 mm、0.3 mm、0.6 mm、0.9 mm時的干涉條紋圖，從中可以看出干涉條紋為直條紋且偏移誤差量每增加一倍，干涉條紋的數(shù)目也增加一倍，偏移量對干涉有著較大的影響。

圖7 不同偏移誤差的干涉條紋圖Fig.7 Interference fringe patterns with different offset errors

3.2 旋轉(zhuǎn)失調(diào)誤差干涉條紋模擬

當只存在旋轉(zhuǎn)失調(diào)誤差時，隨著圓臺面反射鏡軸線與Z軸夾角α的改變，干涉條紋如圖8所示。圖8是旋轉(zhuǎn)誤差角度α分別為0.001°、0.003°、0.006°和0.009°時的干涉條紋圖。從中可以看到，隨著旋轉(zhuǎn)誤差角度的增大，干涉條紋的彎曲程度與數(shù)目有明顯的增大，對實際測量的精度有較大程度的影響。

圖8 不同旋轉(zhuǎn)誤差的干涉條紋圖Fig.8 Interference fringe patterns with different rotation errors

3.3 加工角度誤差干涉條紋模擬

當只存在反射鏡內(nèi)側(cè)面加工角度誤差，且與理想設計角度45°的差值為φ時，隨著加工角度誤差φ的變化，干涉條紋如圖9所示。

圖9 不同加工角度誤差的干涉條紋圖Fig.9 Interference fringe patterns with different processing angle errors

圖9是加工角度誤差φ分別為0.001°、0.003°、0.006°和0.009°時的干涉條紋圖，很明顯可以看出干涉條紋的數(shù)量與φ存在著正比的關系。在實際測量過程中，為了保證測量的精度，必須要將這些誤差剔除。

4 實驗測量

圓柱外表面粗糙度測量實驗裝置如圖10所示，實驗裝置使用6″口徑菲索型干涉儀、兩個五維支架（分別固定被測圓柱和圓臺面反射鏡），干涉儀使用的光源波長為632.8 nm。

圖10 實驗實測裝置圖Fig.10 Experimental device diagram

被測圓柱樣品的直徑為20 mm，高為50 mm。圓臺面反射鏡的高為30 mm，底部空心圓環(huán)的直徑為40 mm。圖11是將3種失調(diào)誤差按一定量組合后的干涉條紋圖。

圖11 三種誤差組合后干涉條紋圖Fig.11 Interference fringe pattern after combination of three kinds of errors

實際測量得到的干涉條紋與圓柱外表面的形貌信息如圖12所示。

圖12 實驗測量圖Fig.12 Experimental measurement diagram

5 結(jié)論

設計了一種可以一次性測量圓柱外表面粗糙度的方法，分析3種失調(diào)誤差對測量精度的影響，找到光的實際傳播規(guī)律，在圓柱坐標系下建立數(shù)學模型，用數(shù)學公式將失調(diào)誤差對干涉條紋的影響表示出來。根據(jù)推導出的幾種失調(diào)誤差公式，使用Matlab 軟件模擬出對應誤差下的干涉條紋圖。將3種失調(diào)誤差適當?shù)亟M合在一起，對比實驗測量的干涉條紋圖，調(diào)整實驗裝置，減少誤差量引入。使用模擬結(jié)果指導實際測量，提高測量的精確度，準確得到圓柱外表面的形貌信息。