李黎明， 丁夢(mèng)菲， 侯冬平

(云南師范大學(xué) 數(shù)學(xué)學(xué)院，云南 昆明 650500)

1 引 言

Rota-Baxter算子是由Baxter 在解決一個(gè)分析問(wèn)題的過(guò)程中提出[1]，此后很快被應(yīng)用到其他數(shù)學(xué)領(lǐng)域[2-4].最初，人們主要研究結(jié)合代數(shù)上的Rota-Baxter算子；隨著研究的深入，Rota-Baxter算子很快被推廣到其他代數(shù)體系上[5].

左對(duì)稱代數(shù)(也稱為預(yù)李代數(shù))是一類非常重要的非結(jié)合代數(shù)，與很多數(shù)學(xué)學(xué)科和數(shù)學(xué)物理的許多領(lǐng)域都有密切的關(guān)系[6-11].文獻(xiàn)[12]給出了所有2維復(fù)的左對(duì)稱代數(shù)及大部分3維復(fù)數(shù)域上的左對(duì)稱代數(shù)上權(quán)為0的Rota-Baxter算子;然而，對(duì)于更高維數(shù)的左對(duì)稱代數(shù)上的Rota-Baxter算子，還知之甚少.

在文獻(xiàn)[7]中，Kim利用左對(duì)稱代數(shù)公式對(duì)所有4維冪零左對(duì)稱代數(shù)進(jìn)行了分類,給出了僅有的兩個(gè)4維非對(duì)稱無(wú)平移的冪零左對(duì)稱代數(shù)結(jié)構(gòu)

其中e1,e2,e3,e4為一組基，矩陣中的(i,j)元為ei與ej的乘積.

本文將給出四維復(fù)左對(duì)稱代數(shù)A0上所有的權(quán)為零的Rota-Baxter算子，并以這些Rota-Baxter算子為基礎(chǔ)，構(gòu)造出一系列左對(duì)稱代數(shù)結(jié)構(gòu).

2 基本概念

定義1設(shè)g是數(shù)域上的一個(gè)線性空間，在g中定義雙線性乘法：(x,y)→[x,y]，滿足等式

[x,y]=-[y,x]

(1)

[[x,y],z]+[[y,z],x]+[[z,x],y]=0

(2)

則稱g是一個(gè)李代數(shù),其中x,y,z∈g.

定義2設(shè)A是數(shù)域上的一個(gè)線性空間，在A中定義雙線性乘法：(x,y)→x·y，滿足等式

(x,y,z)=(y,x,z),?x,y,z∈A

(3)

其中 (x,y,z)=(x·y)z-x·(y·z),則稱A是一個(gè)左對(duì)稱代數(shù)或預(yù)李代數(shù).此時(shí)，定義李括號(hào)

[x,y]=xy-yx,?x,y∈A

(4)

則(A，[,]) 是一個(gè)李代數(shù)，稱為左對(duì)稱代數(shù)A的鄰接李代數(shù)，記為G(A).

定義3設(shè)A是復(fù)數(shù)域上的一個(gè)左對(duì)稱代數(shù),稱線性變換R：A→A為A上的一個(gè)權(quán)為零的Rota-Baxter算子，如果R滿足：

R(x)R(y)=R(R(x)y+xR(y)),x,y∈A

(5)

(6)

則R是A上的一個(gè)權(quán)為零的Rota-Baxter算子當(dāng)且僅當(dāng){rij,1≤i,j≤n}滿足以下方程：

(7)

證明：經(jīng)過(guò)計(jì)算得到,對(duì)任意1≤i,j≤n,有

結(jié)合定義3，結(jié)論成立.

記

(8)

3 四維左對(duì)稱代數(shù) A0上的Rota-Baxter算子

命題1四維復(fù)左對(duì)稱代數(shù)A0上的線性變換R，其中

(9)

則R是A0上的一個(gè)權(quán)為零的Rota-Baxter算子當(dāng)且僅當(dāng){rij,1≤i,j≤n}滿足以下方程

r13=r14=r34=r21=r23=r24=0

(10)

r12(r11-r33)=0

(11)

(12)

r12(r31+r43)=0

(13)

r11r44+r12r32-(r11+r44)r22=0

(14)

r12(r44-r33)=0

(15)

r11(r22+r33)-r22r33=0

(16)

r12(r22+r33)=0

(17)

r31(r22+r44)-r43(r11-r22)=0

(18)

r12r43-(r22+r44)r32=0

(19)

r22r44-(r22+r44)r33=0

(20)

r32(r11-r33)=0

(21)

(22)

r32(r43+r31)=0

(23)

(24)

r32(r33-r44)=0

(25)

r11r44-(r11+r44)r22=0

(26)

r42(r11-r33)=0

(27)

r42(r44-r33)=0

(28)

r43r33+r44r31-r42r12-r22(r31+r43)=0

(29)

(30)

(31)

證明:由性質(zhì)1及

(1)由

可得

r14=0，r13r42-r21(r11+r44)=0，r11r44+r13r43-r22(r11+r44)=0

(2)由

聯(lián)立r14=0，可得

r13=0

(3)由R(e2)R(e3)-R(R(e2)e3+e2R(e3))=0，結(jié)合r13=r14=0，可得

r23=r34=0，r11(r22+r33)-r22r33=0，r12(r22+r33)=0

(4)由R(e4)R(e2)-R(R(e4)e2+e4R(e2))=0，可得

r21=0

(5)由R(e1)R(e2)-R(R(e1)e2+e1R(e2))=0，可得

r24=0

如此，證明了方程(10)、(16)和(17)成立.同理也可以證明其余方程成立.

定理1四維復(fù)左對(duì)稱代數(shù)A0上權(quán)為零的Rota-Baxter算子

記為R=(rij),有如下幾類：

(32)

證明：(1)先證明r12=0.若r12≠0，則聯(lián)立方程(11)、(15)和(17)可得

r11=r33=r44=-r22

聯(lián)立方程(20)， 得r22=0,而由(12)有r22=-r12≠0,矛盾,所以r12=0. 同理可證r32=0.

(2)由r12=r32=0,方程 (10-31)化簡(jiǎn)為以下方程

r12=r13=r14=r21=r23=r24=r32=r34=0

(33)

r11r44-(r11+r44)r22=0

(34)

r11(r22+r33)-r22r33=0

(35)

r31(r22+r44)-r43(r11-r22)=0

(36)

r22r44-(r22+r44)r33=0

(37)

(38)

r31r44-r22(r31+r43)=0

(39)

r11r44-(r11+r44)r22=0

(40)

r42(r11-r33)=0

(41)

r42(r44-r33)=0

(42)

r43r33+r44r31-r22(r31+r43)=0

(43)

(44)

(45)

(3) 當(dāng)r42≠0時(shí),聯(lián)立 (41-42)得r11=r33=r44,代入(37)得

r11=r33=r44=0

此時(shí)方程(33-45)同解于以下方程

故解得

(4)當(dāng)r22=r42=0時(shí)，由(38)得r33=0,由(34)得r11r44=0,代入(44)得r44=0， 代入(45)得到r43=0.此時(shí)，方程(33-45)都成立， 從而

(5)當(dāng)r22≠0,r33=0,r42=0時(shí),由(35)得r11r22=0，則r11=0，聯(lián)立(44) 得r44=0, 此時(shí)方程 (33-45)同解于以下方程：

定理得證.

推論1：A0上不存在可逆的權(quán)為零的Rota-Baxter算子.

推論2：A0上不存在可逆的導(dǎo)子.

證明：由文獻(xiàn)[12]知道，左對(duì)稱代數(shù)上可逆的導(dǎo)子的逆映射是一個(gè)權(quán)為零的 Rota-Baxter算子,結(jié)合推論1知結(jié)論成立.

4 由四維左對(duì)稱代數(shù)上的Rota-Baxter算子構(gòu)造的左對(duì)稱代數(shù)鏈

性質(zhì)2[12]設(shè)(A，·)是一個(gè)左對(duì)稱代數(shù),R是(A，·) 上的一個(gè)Rota-Baxter算子,在線性空間A 上定義乘法

x*y=[R(x),y]=R(x)·y-y·R(y),?x,y∈A

(46)

則(A,*) 也是一個(gè)左對(duì)稱代數(shù)，且R也是(A,*) 上的一個(gè)Rota-Baxter算子.

稱左對(duì)稱代數(shù)(A,*) 為左對(duì)稱代數(shù)(A,·) 與Rota-Baxter算子R相關(guān)的第一重代數(shù).由性質(zhì)2可知，從左對(duì)稱代數(shù)(A，·) 和(A，·) 的一個(gè)Rota-Baxter算子R出發(fā)，可以在線性空間A上定義一個(gè)左對(duì)稱代數(shù)的系列 (A，R,*k)(k≥1),其中

x*1y=x*y=[R(x),y]=R(x)·y-y·R(y),?x,y∈A

(47)

x*k+1y=[R(x),y]k=R(x)*ky-y*kR(y),?x,y∈A

(48)

稱(A，R,*k) 為 (A，·) 的第k重代數(shù).

性質(zhì)3[12]設(shè)(A，·)是一個(gè)左對(duì)稱代數(shù),R是(A，·) 上的一個(gè)Rota-Baxter算子,(A，R,*k) 為 (A,·) 的第k重代數(shù)，則

(49)

(50)

定理2由四維復(fù)左對(duì)稱代數(shù)A0和它上面的 Rota-Baxter算子出發(fā)，得到的左對(duì)稱代數(shù)系列有

(2) (A0，R2，*k)k≥1為零代數(shù)(任意兩元素的乘積為零).

證明：以第(1)種情形為例證明.

R(e2)=r22e2;R(e3)=±a0e1;R(e4)=r41e1+r42e2?a0e3;R(e1)=0

由性質(zhì)3可以得到

e2*1e3=R(e2)e3-e3R(e2)=r22e1;e2*1e4=R(e2)e4-e4R(e2)=-r22e3

e4*1e2=R(e4)e2-e2R(e4)=±a0e1；e4*1e3=R(e4)e3-e3R(e4)=r42e1

e4*1e4=R(e4)e4-e4R(e4) =-r42e3

其余，ei*1ej=0，從而可得

假設(shè)

結(jié)合性質(zhì)3可得

e2*k+1e3=R(e2)*ke3-e3*kR(e2)==r22k+1e1

e4*k+1e3=R(e4)*ke3-e3*kR(e4)=r42r22ke1

其余，ei*k+1ej=0，從而得到

由數(shù)學(xué)歸納法可得

特別，r41+r42=0，r42≠0時(shí),a0=0,此時(shí)

建立A0上的可逆線性變換

易知

同理，可以證明其他情形的結(jié)論.

5 結(jié) 語(yǔ)

給出了一個(gè)特殊的四維左對(duì)稱代數(shù)上所有的權(quán)為0的Rota-Baxter算子，并且以此為基礎(chǔ)進(jìn)一步構(gòu)造出一系列左對(duì)稱代數(shù).這對(duì)于非結(jié)合代數(shù)上的Rota-Baxter算子的研究有一定的意義.