于秀君

摘 要 函數(shù)插值法是解決實(shí)際問(wèn)題經(jīng)常會(huì)用到的一種方法，在計(jì)算數(shù)學(xué)中占據(jù)非常重要的位置，被應(yīng)用于各個(gè)領(lǐng)域。本文就拉格朗日插值法、牛頓插值法以及牛頓型埃爾米特插值法的構(gòu)造進(jìn)行了簡(jiǎn)單的概述，并對(duì)其各自的優(yōu)缺點(diǎn)及其各自的適應(yīng)性進(jìn)行了分析。

關(guān)鍵詞 拉格朗日插值法 牛頓插值法 牛頓型埃爾米特插值法

中圖分類號(hào)：TN927.2文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A

0引言

函數(shù)插值法，簡(jiǎn)稱插值法，正是函數(shù)插值法在對(duì)現(xiàn)實(shí)優(yōu)化問(wèn)題的解決過(guò)程中起到的重要，決定了函數(shù)插值法在數(shù)學(xué)、天文學(xué)等各大領(lǐng)域均被得到廣泛應(yīng)用，在當(dāng)前最普遍的大機(jī)器生產(chǎn)過(guò)程中也凸顯出了舉足輕重的作用。

所謂插值就是從一組離散數(shù)據(jù)中求得我們所需要的、未直接給出的中間值。例如，在現(xiàn)代機(jī)械工業(yè)中用計(jì)算機(jī)程序控制加工零件，根據(jù)設(shè)計(jì)可給出零件外形曲線的某些型值點(diǎn)，加工時(shí)為控制每步走刀方向及步數(shù)，就要算出零件外形曲線其他點(diǎn)的函數(shù)值才能加工出表面光滑的零件。

構(gòu)造一個(gè)函數(shù)作為的近似表達(dá)式，的構(gòu)造則主要依賴于已知的函數(shù)值，而后計(jì)算在區(qū)間上的值作為原函數(shù)在這一點(diǎn)的近似值，這是插值函數(shù)的核心。其中需滿足以下要求：

（1）次數(shù)應(yīng)該不超過(guò)、其表達(dá)式足夠簡(jiǎn)單，圖像足夠光滑;

（2）在已知定點(diǎn)處。

函數(shù)插值既是一個(gè)重點(diǎn)性知識(shí)，又是一個(gè)容易令人困惑的難點(diǎn)。在日常應(yīng)用過(guò)程中常常會(huì)出現(xiàn)各種對(duì)插值方法混淆的問(wèn)題?；诤瘮?shù)插值的重要地位，本著能更好地將常見的插值方法進(jìn)行明確的區(qū)分的目的，便于在日后的應(yīng)用過(guò)程中更加熟練，本文就拉格朗日插值法、牛頓插值法以及牛頓型埃爾米特插值法的構(gòu)造進(jìn)行了簡(jiǎn)單的概述，并對(duì)其各自的優(yōu)缺點(diǎn)及其各自的適應(yīng)性進(jìn)行了分析。

1拉格朗日插值、牛頓插值和埃爾米特插值基本形式簡(jiǎn)述

1.1拉格朗日插值

拉格朗日插值法可以說(shuō)是函數(shù)插值方法中最基本的一種插值方法，而插值基函數(shù)構(gòu)造的準(zhǔn)確性將直接影響著所構(gòu)造多項(xiàng)式的效果。 要構(gòu)造拉格朗日次插值多項(xiàng)式，首先在已知的個(gè)節(jié)點(diǎn)處分別構(gòu)造次插值基函數(shù)。

2三種插值方法優(yōu)缺點(diǎn)評(píng)述

2.1拉格朗日插值評(píng)述

拉格朗日插值法無(wú)謂就是利用已知的個(gè)插值節(jié)點(diǎn)及其所在節(jié)點(diǎn)處的函數(shù)值，在每個(gè)插值節(jié)點(diǎn)處構(gòu)造相應(yīng)的插值基函數(shù)，再根據(jù)特定的線性關(guān)系將這個(gè)插值基函數(shù)進(jìn)行線性組合，即得拉格朗日插值函數(shù)。

通過(guò)了解拉格朗日插值法的構(gòu)造過(guò)程，基函數(shù)的構(gòu)造凸顯出尤為重要的作用，占據(jù)了拉格朗日插值多項(xiàng)式構(gòu)造的核心地位?；瘮?shù)的個(gè)數(shù)應(yīng)與節(jié)點(diǎn)的個(gè)數(shù)一致，且基函數(shù)的構(gòu)造應(yīng)與每個(gè)節(jié)點(diǎn)息息相關(guān)。然后將這些基函數(shù)進(jìn)行線性組合就是拉格朗日插值函數(shù)。 用幾何的語(yǔ)言來(lái)描述這種方法就是將有限個(gè)點(diǎn)通過(guò)一條光滑的且與高度契合的次數(shù)不超過(guò)的函數(shù)來(lái)表示，其方法簡(jiǎn)潔明了，但是拉格朗日插值多項(xiàng)式在實(shí)際應(yīng)用的過(guò)程中也暴露了本身存在的問(wèn)題。如果對(duì)數(shù)據(jù)點(diǎn)的個(gè)數(shù)進(jìn)行增加，那么原來(lái)我們所得的拉格朗日插值函數(shù)就毫無(wú)用處，必須從基函數(shù)構(gòu)造重新開始整個(gè)過(guò)程。在實(shí)際應(yīng)用中節(jié)點(diǎn)的增減是特別普遍常見的，面臨這種情況拉格朗日插值法就難免會(huì)面臨較大的局限性，不僅會(huì)浪費(fèi)時(shí)間，也會(huì)造成先前勞動(dòng)力的浪費(fèi)，這樣就會(huì)極大的抑制大機(jī)器的生產(chǎn)，更加體現(xiàn)不出函數(shù)插值法的優(yōu)化作用。

2.2牛頓插值評(píng)述

牛頓插值很好地解決了上述拉格朗日插值中的局限，即當(dāng)增加節(jié)點(diǎn)時(shí)已得成果無(wú)法被利用的問(wèn)題。

在對(duì)牛頓插值方法步驟的總結(jié)過(guò)程中，我們可以很容易地看出當(dāng)數(shù)據(jù)點(diǎn)個(gè)數(shù)加一時(shí)，牛頓插值法僅需在已有的多項(xiàng)式的基礎(chǔ)上添加一項(xiàng)即可，這就很好的解決了上述拉格朗日插值方法所遇到的當(dāng)增加節(jié)點(diǎn)時(shí)已得成果全部作廢無(wú)法被繼續(xù)使用的問(wèn)題。

在日常實(shí)際問(wèn)題解決過(guò)程中，利用有限個(gè)插值節(jié)點(diǎn)所構(gòu)造的插值函數(shù)可能并不能達(dá)到我們所要求的插值精度。對(duì)于這個(gè)問(wèn)題如果我們僅從增加插值節(jié)點(diǎn)個(gè)數(shù)這一方面來(lái)入手很可能會(huì)起到相反的作用。運(yùn)用運(yùn)籌學(xué)的知識(shí)，我們知道當(dāng)插值節(jié)點(diǎn)的個(gè)數(shù)達(dá)到最優(yōu)的時(shí)候，我們?cè)僭黾硬逯倒?jié)點(diǎn)就會(huì)偏離最優(yōu)解所得到的插值效果，盡管插值函數(shù)是不間斷的，從這個(gè)角度來(lái)說(shuō)牛頓插值在插值優(yōu)化方面還存在著很大的問(wèn)題，這就需要我們?nèi)ヌ角笃渌姆椒ā?/p>

2.3埃爾米特插值評(píng)述

通過(guò)對(duì)前面拉格朗日插值法和牛頓插值法的分析，我們可以很明顯的觀察到這兩種插值方法的構(gòu)造僅僅與插值節(jié)點(diǎn)以及插值節(jié)點(diǎn)處的函數(shù)值有關(guān)，并沒(méi)有涉及到其它約束條件。但是如果插值條件不僅含有對(duì)節(jié)點(diǎn)處的函數(shù)值的約束，而且還增加對(duì)節(jié)點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)的限制，解決這一類問(wèn)題的方法就要利用埃爾米特插值多項(xiàng)式。

埃爾米特插值方法實(shí)際上就是在上述兩種插值方法的基礎(chǔ)上通過(guò)對(duì)節(jié)點(diǎn)處導(dǎo)數(shù)的約束條件再進(jìn)行一次插值求得，然后在已得的插值多項(xiàng)式上添加。 對(duì)比上述拉格朗日插值方法和牛頓插值方法，埃爾米特插值具有較高的精度可以應(yīng)用的領(lǐng)域更加寬泛，更加適應(yīng)于實(shí)際問(wèn)題的解決，所以在現(xiàn)實(shí)生活中也就凸現(xiàn)出高度的靈活性和適應(yīng)性。而對(duì)于埃爾米特插值方法的進(jìn)一步優(yōu)化也是值得我們花費(fèi)更多的時(shí)間與精力去進(jìn)行更加深入的探討。

3適用性分析及總結(jié)

經(jīng)過(guò)對(duì)拉格朗日插值法、牛頓插值法以及牛頓型埃爾米特插值法的簡(jiǎn)單概述我們可以很清楚的看出，利用插值基函數(shù)的拉格朗日插值法的插值過(guò)程簡(jiǎn)單易懂，對(duì)于數(shù)據(jù)較少且比較簡(jiǎn)單的數(shù)據(jù)而言較為實(shí)用，但當(dāng)數(shù)據(jù)多且復(fù)雜時(shí)若不借助計(jì)算機(jī)則求解起來(lái)就顯得較為困難。牛頓插值法的優(yōu)點(diǎn)就是計(jì)算較簡(jiǎn)單，尤其是增加節(jié)點(diǎn)時(shí)，插值函數(shù)只需要在原有的插值函數(shù)的基礎(chǔ)上增加一項(xiàng)，這是拉格朗日插值所無(wú)法比擬的，可是牛頓插值依然沒(méi)有改變拉格朗日插值的插值曲線在插值節(jié)點(diǎn)處有尖點(diǎn)、不光滑，插值函數(shù)在插值節(jié)點(diǎn)處不可導(dǎo)等缺點(diǎn)。如果插值條件不僅含有對(duì)節(jié)點(diǎn)處的函數(shù)的約束，而且還增加對(duì)節(jié)點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)的限制，解決這個(gè)問(wèn)題的方法就要利用埃爾米特插值多項(xiàng)式。而在真正的應(yīng)用過(guò)程中，這三種方法還是存在著很大的區(qū)別，簡(jiǎn)單的說(shuō)拉格朗日插值法和牛頓插值法更加適應(yīng)于理論應(yīng)用，埃爾米特插值法則更加普遍用于實(shí)際問(wèn)題解決。

經(jīng)過(guò)作如上的評(píng)述總結(jié)，整個(gè)插值法這部分內(nèi)容仍存在些許未解決的問(wèn)題。從而鮮明的凸顯了本學(xué)科的特點(diǎn)：

（1）作為一門邊緣學(xué)科，在實(shí)際應(yīng)用過(guò)程中還存在問(wèn)題，但在這個(gè)過(guò)程中運(yùn)用了新的發(fā)展。 較傳統(tǒng)數(shù)學(xué)而言有了很大的突破。

（2）應(yīng)時(shí)代的要求方法必須更注重程序化，有利于機(jī)器的運(yùn)算。

插值法在當(dāng)今這個(gè)大機(jī)器生產(chǎn)的時(shí)代發(fā)揮著十分重要的作用，被應(yīng)用于各個(gè)領(lǐng)域。但在大機(jī)器數(shù)字化的時(shí)代仍存在著較大的缺陷，為了讓插值函數(shù)給我們的生活帶來(lái)更大的效益、讓它的優(yōu)越性發(fā)揮到極致，其方法的優(yōu)化值得我們進(jìn)行更深一步的探索。

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