徐朝農(nóng)，吳建雄，徐勇軍

（1.中國(guó)石油大學(xué)（北京）信息科學(xué)與工程學(xué)院，北京 102249；2.中國(guó)科學(xué)院計(jì)算技術(shù)研究所，北京 100080）

1 引言

相對(duì)于一般的移動(dòng)通信，應(yīng)急通信對(duì)傳輸時(shí)延和可靠性同時(shí)有著更嚴(yán)格的要求，因?yàn)檫^(guò)時(shí)的、不可靠傳輸?shù)臄?shù)據(jù)對(duì)于應(yīng)急通信應(yīng)用意義有限[1]。因此，超可靠性低時(shí)延通信（URLLC,ultra reliable and low latency communication）被認(rèn)為是下一代應(yīng)急通信物聯(lián)網(wǎng)的關(guān)鍵技術(shù)之一[1-3]。在物聯(lián)網(wǎng)時(shí)代，網(wǎng)絡(luò)中傳感器的規(guī)模和數(shù)量有著幾何級(jí)數(shù)的增長(zhǎng)，這對(duì)通信時(shí)延和可靠性提出了更高的挑戰(zhàn)[3-5]。

圖1表示了功率域非正交多址接入（PD-NOMA,power domain non-orthogonal multiple access）技術(shù)的復(fù)用原理[6]。與傳統(tǒng)的正交多址技術(shù)相比，基于串行干擾消除（SIC,successive interference cancellation）技術(shù)[7]，將用戶復(fù)用的方式從傳統(tǒng)的時(shí)域、頻域和碼域拓展到了功率域。在發(fā)射端，用戶各自獨(dú)立地進(jìn)行數(shù)據(jù)發(fā)送；在接收端，用戶采用SIC技術(shù)進(jìn)行多用戶解碼[8]。SIC檢測(cè)器通過(guò)串行方式解碼，每一級(jí)只對(duì)一個(gè)用戶進(jìn)行解碼，解碼順序則由各個(gè)用戶在接收端的功率值所決定，功率越大的用戶解碼順序越靠前。在接收機(jī)捕獲了一個(gè)信號(hào)之后，對(duì)其進(jìn)行重構(gòu)，重構(gòu)后在原有信號(hào)中將其消除。重復(fù)上述的SIC解碼流程，直到所有用戶全部完成解碼。

圖1 功率域NOMA示意

顯然，非正交接入提高了并行接入的用戶數(shù)，因此傳輸時(shí)延性能有所提升。然而，由于并行傳輸引起的高干擾，其傳輸可靠性受到很大影響[9]。因此，面對(duì)應(yīng)急通信中的低時(shí)延高可靠上行傳輸需求，有必要找到一種方案，在保證實(shí)時(shí)性能的前提下，使上行傳輸?shù)目煽啃砸材軡M足要求。

本文針對(duì)PD-NOMA技術(shù)，在傳輸時(shí)延有界的前提下，研究如何通過(guò)用戶組配和功率分配來(lái)最大化上行傳輸?shù)钠骄煽啃??；诖?，本文設(shè)計(jì)了一種復(fù)雜度為O(nlogn)的啟發(fā)式算法，并證明了該算法在2-SIC下是最優(yōu)的。本文的貢獻(xiàn)總結(jié)如下。

1)針對(duì)PD-NOMA的可靠性問(wèn)題，構(gòu)建了基于BPSK（binary phase shift keying）調(diào)制和k-SIC接收機(jī)條件下的閉式傳輸可靠性模型。這個(gè)模型不僅為本文、也為后續(xù)相關(guān)研究提供了堅(jiān)實(shí)的數(shù)學(xué)模型，還為定量研究PD-NOMA下的傳輸可靠性奠定了理論基礎(chǔ)。

2)在保證傳輸時(shí)延的前提下，以多用戶的平均傳輸可靠性為優(yōu)化目標(biāo)，基于聯(lián)合用戶組配[10]和功率分配的方法，對(duì)問(wèn)題進(jìn)行了形式化建模，并在上述可靠性模型的基礎(chǔ)上，提出了一種低復(fù)雜度的啟發(fā)式算法。

3)從理論上證明了該啟發(fā)式算法在2-SIC情況下是最優(yōu)的。

2 相關(guān)工作

貝爾實(shí)驗(yàn)室對(duì)VBLAST（vertical Bell-labs layered space time）系統(tǒng)的可靠性進(jìn)行了理論分析[11]，其研究的場(chǎng)景是MIMO（multi input multi output）應(yīng)用，并非是多用戶場(chǎng)景，但是其對(duì)SIC解碼過(guò)程中可靠性的定量分析為目前PD-NOMA的可靠性分析提供了有益借鑒。文獻(xiàn)[12]對(duì)文獻(xiàn)[11]進(jìn)行了改進(jìn)，提出在BPSK調(diào)制下以遞歸式表示的誤碼率。文獻(xiàn)[12]采用符號(hào)錯(cuò)誤概率來(lái)定義可靠性，進(jìn)而給出了系統(tǒng)中所有用戶不能同時(shí)正確解碼的概率，但沒(méi)有給出系統(tǒng)誤碼率的期望。需要說(shuō)明的是，文獻(xiàn)[11-12]的研究對(duì)象是MIMO，和本文的多用戶場(chǎng)景是完全不同的，因此誤碼率的模型不同。

文獻(xiàn)[13]提出了單天線2-SIC下的誤碼率模型，但它在接收端使用了傳統(tǒng)的星座圖解碼方式而非SIC解碼。文獻(xiàn)[14]在k-SIC條件下，尋找到使平均功率耗費(fèi)最小的聯(lián)合功率分配與最優(yōu)組配策略。文獻(xiàn)[15]在忽略SIC解碼級(jí)的前提下，定義了PD-NOMA下的錯(cuò)誤概率，以獲得一個(gè)閉式的錯(cuò)誤概率表達(dá)式。文獻(xiàn)[16]分析了基于可見(jiàn)光的PD-NOMA下行通信下的可靠性問(wèn)題。可見(jiàn)光涉及傳輸光的角度參數(shù)，與射頻信號(hào)物理特性差距較大。文獻(xiàn)[17]也分析了PD-NOMA下行傳輸?shù)目煽啃詥?wèn)題，這和本文研究的上行場(chǎng)景的區(qū)別很大，因?yàn)樯闲袀鬏斚耂IC接收機(jī)特有的解碼錯(cuò)誤傳遞效應(yīng)會(huì)更顯著。

文獻(xiàn)[18]分析了正交相移鍵控（QPSK,quadrature phase shift keying）調(diào)制下行傳輸?shù)?-SIC誤碼率問(wèn)題，給出了在瑞利衰落信道中下行傳輸中的誤碼率解析表達(dá)式，并且還給出了上行傳輸?shù)恼`碼率遞推式。文獻(xiàn)[19]基于瑞利分布對(duì)信道系數(shù)進(jìn)行建模，進(jìn)而得到了2-SIC下的錯(cuò)誤概率解析表達(dá)式。文獻(xiàn)[20]基于Nakagami-m衰落信道提出了PD-NOMA下行鏈路誤碼率的解析表達(dá)式。

相對(duì)上述在2-SIC下的工作，本文創(chuàng)新性地提出了單天線k-SIC下傳輸可靠性的閉式模型，因此本文工作為PD-NOMA可靠性的后續(xù)研究提供了有益借鑒。進(jìn)而，基于該閉式模型，研究了多用戶下的高可靠上行傳輸問(wèn)題，并提出了相應(yīng)的解決算法。理論分析和實(shí)驗(yàn)結(jié)果都充分說(shuō)明了模型的客觀性和算法的有效性。

3 可靠性模型與問(wèn)題建模

本文考慮一個(gè)單跳單信道無(wú)線網(wǎng)絡(luò)，網(wǎng)絡(luò)中有n個(gè)單天線發(fā)送者和一個(gè)單天線接收基站。接收基站裝有一個(gè)k-SIC接收器。一個(gè)k-SIC接收器最多可以同時(shí)解碼k個(gè)用戶信號(hào)。在這個(gè)網(wǎng)絡(luò)中，收發(fā)者都采用BPSK調(diào)制解調(diào)，時(shí)間被劃分為幀，每個(gè)幀被劃分為時(shí)槽，信道增益在一個(gè)時(shí)間幀里保持恒定。假設(shè)所有用戶的最大傳輸功率均相同，為Pmax。所有用戶的發(fā)送功率連續(xù)可調(diào)，采用完美的SIC技術(shù)[21-22]。

為了便于理解，本文首先根據(jù)信號(hào)解碼的錯(cuò)誤概率分布，在3.1節(jié)針對(duì)2-SIC情況推導(dǎo)出一個(gè)信號(hào)傳輸可靠性模型，并在3.2節(jié)將其推廣到k-SIC下。在這個(gè)模型的基礎(chǔ)上，3.3節(jié)對(duì)所研究的問(wèn)題進(jìn)行了建模。表1列出了本文主要變量的定義。

表1 本文主要變量的定義

3.1 2-SIC下的可靠性模型

為了便于理解k-SIC下的可靠性模型，本文先考慮2-SIC接收機(jī)。當(dāng)Ua和Ub同時(shí)向接收端傳輸信號(hào)時(shí)，接收端的信號(hào)Y可以表示為

其中，Pa和Pb分別是Ua和Ub的發(fā)送功率，Ga和Gb是它們各自的信道增益；n0是加性高斯白噪聲，服從N(0,б)分布，б2是噪聲功率；Xa和Xb分別是Ua和Ub發(fā)送的信號(hào)，當(dāng)Ua發(fā)送1時(shí)，Xa=1，當(dāng)Ua發(fā)送0時(shí)，Xa=-1，Ub同理。將式(1)歸一化，得

定義1當(dāng)Ua以功率Pa發(fā)射時(shí)，稱為Ua的歸一化接收幅度，記為Aa。

因此，式(2)可改寫(xiě)為

假設(shè)Ua和Ub同時(shí)傳輸數(shù)據(jù)，它們的歸一化接收幅度分別為Aa和Ab。不失一般性，假設(shè)Aa＞Ab。根據(jù)SIC解碼原則，Ua會(huì)被首先解碼。如圖2的歸一化接收信號(hào)所示，當(dāng)Ua和Ub同時(shí)發(fā)送數(shù)據(jù)0時(shí)，Xa被判定為+1的歸一化接收信號(hào)幅度區(qū)間為(0,∞)。如果Ua被正確解碼，那么Xb被判定為+1的歸一化接收信號(hào)幅度區(qū)間則為(-Aa,0)。此時(shí)Ua的錯(cuò)誤判決概率為

其中，(0,0)表示Ua和Ub均發(fā)送數(shù)據(jù)0，Q(.)為Q函數(shù)，且

只有當(dāng)Ua被正確解碼時(shí)，Ub才有可能被正確解碼。因此，在Ua正確解碼的前提下，Ub正確解碼的概率為

類似地，當(dāng)Ua和Ub都發(fā)送數(shù)據(jù)1時(shí)，可得

以上揭示了Ua和Ub傳輸相同數(shù)據(jù)時(shí)的位錯(cuò)誤率。同理，當(dāng)Ua和Ub傳輸不同的數(shù)據(jù)時(shí)，也可以用相似的方法得出以下結(jié)論。

如圖3所示，當(dāng)Ua傳輸0、Ub傳輸1時(shí)，Ua的錯(cuò)誤判決區(qū)間為(0,+∞)；如果Ua被正確解碼，Ub的錯(cuò)誤判決區(qū)間為(-∞,-Aa)。那么

類似地，可得P((Xa=-1)|(1,0))=P((Xa=1)|(0,1))。

圖3 當(dāng)Ua和Ub分別傳輸0、1時(shí)2-SIC的解碼錯(cuò)誤判決區(qū)間

綜上各種情況，并且考慮到經(jīng)過(guò)信源編碼后，用戶發(fā)送0、1的概率相同，因此誤碼位數(shù)的期望為

而平均誤碼率為誤碼數(shù)量和傳輸位數(shù)的比值，單時(shí)槽2-SIC條件下傳輸位數(shù)為2，因此誤碼率為

3.2k-SIC下的可靠性模型

本節(jié)將上述2-SIC的分析方法推廣到k-SIC。為了總結(jié)出一般規(guī)律，先將誤碼率模型推廣到3-SIC，以獲得推廣的啟示。為標(biāo)識(shí)清晰，本節(jié)將角標(biāo)由字母變換為數(shù)字。

在SIC解碼的過(guò)程中，錯(cuò)誤具有傳遞性。即當(dāng)任何一個(gè)用戶解碼錯(cuò)誤，解碼過(guò)程立即終止，尚未解碼的用戶不再進(jìn)行解碼，按照誤碼進(jìn)行處理。3個(gè)用戶U1、U2和U3同時(shí)傳輸數(shù)據(jù)，它們的歸一化接收幅度分別為A1、A2和A3。不失一般性，假設(shè)A3＞A2＞A1。

當(dāng)3個(gè)用戶都傳輸0時(shí)，仍然根據(jù)高斯白噪聲的概率式，以及BPSK的解碼判決機(jī)制來(lái)尋找位錯(cuò)誤率，具體如圖4所示。

1)當(dāng)接收的歸一化信號(hào)幅度在(0,∞)時(shí)，X3被判定為+1，U3解碼錯(cuò)誤。根據(jù)錯(cuò)誤的傳遞性，此時(shí)用戶U3、U2和U1均解碼錯(cuò)誤，錯(cuò)誤位數(shù)為3。

2)當(dāng)接收的歸一化信號(hào)幅度在(-∞,0)時(shí)，U3解碼正確，此時(shí)繼續(xù)判決用戶U2如下。

2.1)當(dāng)接收的歸一化信號(hào)幅度在(-A3，0)時(shí)，X2被判定為+1，U2解碼錯(cuò)誤。根據(jù)錯(cuò)誤傳遞性，U2、U1均錯(cuò)，此時(shí)錯(cuò)誤位數(shù)為2。

2.2)當(dāng)接收區(qū)間為(-A3-A2，-A3)時(shí)，U3、U2解碼成功，用戶U1解碼錯(cuò)誤。此時(shí)錯(cuò)誤位數(shù)為1。

綜合上述情況，當(dāng)用戶U3、U2和U1均傳輸0時(shí)，誤碼位數(shù)的期望為

圖4 當(dāng)3個(gè)用戶都傳輸0時(shí)3-SIC的解碼錯(cuò)誤判決區(qū)間

同理，可得3個(gè)用戶傳輸其他數(shù)據(jù)值時(shí)的誤碼個(gè)數(shù)。

綜合其他情況，可得3-SIC的誤碼率表達(dá)式如式(11)所示。4-SIC的誤碼率表達(dá)式也可依此方法得出，如式(12)所示。

由式(11)以及式(9)可知，3-SIC解碼過(guò)程中包含了完整的2-SIC解碼過(guò)程，也即解碼完功率最大的用戶之后，即為2-SIC解碼過(guò)程。同理，4-SIC解碼過(guò)程中包含了3-SIC解碼過(guò)程。這為本文獲得k-SIC下的位錯(cuò)誤率的閉式表達(dá)式提供了有益的啟示。

定理1k-SIC接收機(jī)的誤碼率為

其中，j為SIC解碼層數(shù)，取值范圍為為下取整操作。考慮解碼層數(shù)為j時(shí)，(A1,A2,…,Aj)的取值組合共有2j-1種，用i代表這2j-1個(gè)信號(hào)幅度的取值組合的序號(hào)，有

證明利用數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)行證明。當(dāng)只有一個(gè)用戶傳輸時(shí)，顯然成立。假設(shè)l（l＜k）個(gè)用戶傳輸時(shí)，誤碼率表達(dá)式成立。下面對(duì)第l+1個(gè)用戶傳輸時(shí)的情況進(jìn)行分析。

為了獲得一個(gè)相對(duì)直觀的理解，本文先分析當(dāng)用戶U1～Ul全傳0，新加用戶Ul+1也傳0時(shí)的情況。一方面，如圖5所示，當(dāng)接收到的復(fù)合信號(hào)值時(shí)，由于X1=…=出現(xiàn)該情況的概率為Q(Al+1+…+A1)。此時(shí)，Ul+1解碼錯(cuò)誤，并導(dǎo)致U1～Ul全部誤判，即錯(cuò)了l+1位。而此時(shí)，由于因此Ul將必定被譯碼為1，并導(dǎo)致U1～Ul-1全部誤判，也即譯碼錯(cuò)了l位。從而，錯(cuò)誤新增了1位。綜上所述，得到

圖5 當(dāng)l個(gè)用戶和l+1個(gè)用戶均傳輸0時(shí)的解碼錯(cuò)誤判決區(qū)間

當(dāng)U1～Ul全傳1，新加用戶Ul+1傳0時(shí)，如圖6所示，當(dāng)接收到的復(fù)合信號(hào)值-Al+1+Al+…+＞0時(shí)，由于因此出現(xiàn)該情況的概率為此時(shí)，Ul+1解碼錯(cuò)誤，并導(dǎo)致U1～Ul全部誤判，即錯(cuò)了l+1位。而此時(shí)，由于，因此U1～Ul將全部被正確判決，從而，錯(cuò)誤新增位數(shù)為l+1。綜上所述，得到

圖6 當(dāng)l個(gè)用戶全傳1和Ul+1傳0、其他用戶傳1時(shí)的解碼錯(cuò)誤判決區(qū)間

一般情況下，當(dāng)U1～Ul傳輸某個(gè)確定的值（用C代表該值）時(shí)，接收的復(fù)合信號(hào)值的概率分布曲線的中心點(diǎn)坐標(biāo)記為S。當(dāng)Ul+1發(fā)射0時(shí)，概率分布曲線中心點(diǎn)將平移至S-Al+1，此時(shí)，對(duì)Ul+1判決錯(cuò)誤的概率為Q(Al+1-S)；當(dāng)Ul+1發(fā)射1時(shí)，概率分布曲線中心點(diǎn)將平移至S+Al+1。此時(shí)，對(duì)Ul+1判決錯(cuò)誤的概率為Q(Al+1+S)。

Ul+1和Ul傳輸數(shù)據(jù)位相同的情況共有2l-1種，此時(shí)新增錯(cuò)誤位數(shù)為1；Ul+1和Ul傳輸數(shù)據(jù)位不同，但是和Ul-1傳輸數(shù)據(jù)位相同時(shí)共有2l-2種，此時(shí)新增錯(cuò)誤位數(shù)為2。依次類推，Ul+1與Ul,Ul-1,…,Ul-s傳輸數(shù)據(jù)位均不同，且與Ul-s-1傳輸數(shù)據(jù)位相同的情況為2l-s-2種，此時(shí)新增錯(cuò)誤位數(shù)為s+1。

把式(13)的BER(A1,A2,…,Al)及S的表達(dá)式代入上式，得到的表達(dá)式恰為與式(13)相同的BER(A1,A2,…,Al+1)。從而，當(dāng)有l(wèi)+1個(gè)用戶時(shí)，式(13)所代表的誤碼率公式仍成立。證畢。

3.3 問(wèn)題描述

定義2可靠的k-SIC上行鏈路調(diào)度問(wèn)題。在一個(gè)單跳網(wǎng)絡(luò)中包含一個(gè)配備了基于BPSK的完美k-SIC接收器的基站。U1,U2,…,Un共n個(gè)用戶為發(fā)送端，對(duì)應(yīng)的信道增益分別為G1,G2,…,Gn。不失一般性地，假設(shè)G1≥G2≥…≥Gn。所有用戶的最大發(fā)送功率相同，噪聲功率也相同（均為б2）。記用戶的發(fā)送功率分別為p1,p2,…,pn。對(duì)這些用戶進(jìn)行用戶調(diào)度以及功率分配，當(dāng)滿足1)每個(gè)用戶在同一幀里面只調(diào)度一次；2)幀長(zhǎng)不超過(guò)指定的長(zhǎng)度L時(shí)，用戶的平均誤碼率最小。

問(wèn)題可以描述為

其中，ti是Ui被調(diào)度時(shí)的槽序號(hào)；j1～jk是同一個(gè)時(shí)槽中的k個(gè)用戶；系統(tǒng)的可靠性受{t1,t2,…,tn}和{p1,p2,…,pn}共同影響，它們分別是用戶組配策略和功率分配策略；L是幀長(zhǎng)限制，用于衡量實(shí)時(shí)性能（用戶的最大接入時(shí)延不會(huì)超過(guò)一個(gè)幀的時(shí)長(zhǎng)，其值可參考文獻(xiàn)[13]，這里不進(jìn)行贅述）；k是單時(shí)槽內(nèi)最多可同時(shí)解碼的用戶數(shù)，即k-SIC中的參數(shù)k。

4 問(wèn)題的快速求解

可靠的k-SIC上行鏈路調(diào)度問(wèn)題似乎是一個(gè)組合優(yōu)化問(wèn)題，因此，如果通過(guò)基于優(yōu)化的算法解決它，將會(huì)導(dǎo)致高的時(shí)間復(fù)雜度。本文提出了一種啟發(fā)式的策略，并依據(jù)此啟發(fā)策略提出低復(fù)雜度的算法，其思路為將原始問(wèn)題順序分解成用戶組配和功率分配子問(wèn)題，然后分別求解。4.1節(jié)提出一個(gè)啟發(fā)式用戶組配策略，4.2節(jié)則介紹了單時(shí)槽下的啟發(fā)式功率分配策略，將4.1節(jié)與4.2節(jié)的算法順序聯(lián)合在一起，就得到了最終的快速啟發(fā)式算法。目前本文還無(wú)法證明該算法在k-SIC下是最優(yōu)的，但在第5節(jié)證明了當(dāng)k=2時(shí)該算法是最優(yōu)的，這已經(jīng)能夠滿足絕大多數(shù)的應(yīng)用場(chǎng)合[9]。

4.1 啟發(fā)式用戶組配策略

若時(shí)延上界為L(zhǎng)，則從傳輸?shù)钠骄煽啃越嵌瓤紤]，用戶要盡量均勻分布在這L個(gè)時(shí)槽中。之所以采取這個(gè)策略是因?yàn)樵谝粋€(gè)時(shí)槽內(nèi)，用戶功率將會(huì)隨用戶數(shù)呈指數(shù)增長(zhǎng)趨勢(shì)，從而會(huì)給其他用戶造成大的干擾，導(dǎo)致可靠性下降。對(duì)于U1,U2,…,Un，如果最大時(shí)延限制為L(zhǎng)個(gè)時(shí)槽（顯然，只有n≤kL滿足時(shí)才可能滿足要求），那么一個(gè)啟發(fā)式的組配策略如算法1所示。

算法1k-SIC啟發(fā)式用戶組配算法

輸入用戶U1,U2,…,Un，用戶到基站的信道增益CG[n]，規(guī)定的時(shí)延界L

輸出用戶組配策略GM[L]

步驟1將用戶按照它們的信道增益升序排列，不失一般性，假設(shè)CG[i]≤CG[i+1]，i=1,2,…,n-1；

步驟2將每個(gè)用戶排序后的編號(hào)模L取余，余數(shù)相同的用戶分到一組，得到GM[L]；

這里，用戶Ui的最大歸一化接收幅度為。對(duì)于U1,U2,…,Un，如果它們已經(jīng)按信道增益升序排列，則最后生成的用戶組配策略為{{U1,UL+1,…};{U2,UL+2,…};…;{UL,U2L,…}}（不考慮時(shí)槽之間的先后關(guān)系）。

4.2k-SIC單時(shí)槽啟發(fā)式功率分配策略

基于4.1節(jié)的誤碼率解析表達(dá)式，本節(jié)提出單時(shí)槽內(nèi)的功率分配的一個(gè)啟發(fā)式策略[12,23]。

引理 1BER(A1,A2,…,Al)是一個(gè)關(guān)于Al的減函數(shù)。

證明根據(jù)式(13)可知，由于，因此BER(A1,A2,…,Al)關(guān)于Al單調(diào)遞減。

引理1說(shuō)明，為了最小化平均誤碼率，第一個(gè)被解碼的用戶的接收功率應(yīng)該取其最大值。

從而可得，一個(gè)啟發(fā)式的功率分配算法如算法2所示。對(duì)于l（l≤k）個(gè)并行用戶U1,U2,...,Ul，假設(shè)它們的最大歸一化接收幅度滿足也即它們的解碼順序?yàn)閁l,…,U1，用戶Ul的發(fā)射功率應(yīng)設(shè)置成最大。對(duì)于Ul-1用戶的功率設(shè)置，則在把用戶U1,U2,…,Ul-2的發(fā)射功率都設(shè)置為0的前提下，通過(guò)求導(dǎo)使最小的功率值A(chǔ)l-1即可，其余用戶依次類推。

下面，對(duì)k-SIC功率分配算法進(jìn)行解釋。步驟1為讓最先解碼的幅度最大，求得歸一化接收信號(hào)幅度的最佳值A(chǔ)k，這一步的合理性已經(jīng)在引理1中得到證明。步驟2將步驟1中得到的Ak代入式(13)，并求得第k-1層的最優(yōu)接收幅度，依次類推，直至所有用戶功率都確定。最后將歸一化接收幅度轉(zhuǎn)化為發(fā)射功率。

4.3k-SIC下的啟發(fā)式算法

將算法1和算法2組合起來(lái)，得到算法3，它是求解可靠的k-SIC上行鏈路調(diào)度問(wèn)題的一個(gè)啟發(fā)式算法。

算法3k-SIC下的啟發(fā)式算法

步驟1按算法1得到用戶組配策略；

步驟2在每個(gè)時(shí)槽中按算法2得到用戶發(fā)射功率；

顯然，算法3的復(fù)雜度為O(nlogn)，實(shí)質(zhì)是快速排序算法的復(fù)雜度。

5 2-SIC下算法3的最優(yōu)性

5.1 2-SIC下單時(shí)槽功率分配的最優(yōu)性

首先說(shuō)明在單時(shí)槽2-SIC的情況下，算法2是可靠性最優(yōu)的功率分配算法。

引理1已經(jīng)說(shuō)明了為達(dá)到本時(shí)槽內(nèi)的最高可靠性，第一個(gè)被解碼的用戶（標(biāo)記為Ua）的功率應(yīng)該盡可能大。接下來(lái)，引理2表明，此時(shí)Ub的最優(yōu)功率解是唯一的。

引理2對(duì)于任意指定的Aa，當(dāng)Aa＞5時(shí)，Ab有使BER(Aa,Ab)最小的唯一值。

綜上所述，當(dāng)?shù)谝粋€(gè)用戶以滿功率發(fā)送，而第二個(gè)用戶控制功率，使其歸一化接收幅度為時(shí)，此時(shí)在該時(shí)槽內(nèi)的可靠性最優(yōu)。為方便起見(jiàn)，記其為

5.2 2-SIC下用戶組配的最優(yōu)性

如果Ua和Ub共享一個(gè)時(shí)槽，它們的平均位錯(cuò)誤率被表示為BER(Aa;Ab)，其中

引理33個(gè)用戶Ua、Ub和Uc，如果它們的歸一化接收幅度滿足Aa＞Ab＞Ac，有以下不等式成立。

證明先寫(xiě)出3種不同組配關(guān)系下的誤碼率表達(dá)式BER

證畢。

有了上述的鋪墊，下面，本文去尋找最優(yōu)解滿足的必要條件。

定理2如果L≤n≤2L，對(duì)于可靠的2-SIC上行鏈路調(diào)度問(wèn)題的最優(yōu)解，一定沒(méi)有空閑的時(shí)槽。

證明 如果最優(yōu)解有空余時(shí)槽，根據(jù)抽屜原理，那么一定存在某個(gè)時(shí)槽，其中有2個(gè)用戶。假設(shè)這2個(gè)用戶為Ui和Uj，它們相應(yīng)的信道增益Gi＞Gj。因此，它們的最大歸一化接收功率滿足

根據(jù)引理2和引理3，針對(duì)這2個(gè)用戶，它們的平均最小誤碼率為

然而，如果Ui和Uj分別在2個(gè)不同的時(shí)槽傳輸，則它們最優(yōu)的誤碼率為

因?yàn)镼(x)是x的減函數(shù)，所以這與假設(shè)的最優(yōu)解矛盾。證畢。

因此，如果2個(gè)用戶分別在不同的時(shí)槽內(nèi)傳輸，可以得到更低的誤碼率。綜上，最優(yōu)解的必要條件之一為L(zhǎng)個(gè)時(shí)槽都被利用起來(lái)，沒(méi)有空時(shí)槽出現(xiàn)。接下來(lái)的2個(gè)定理揭示了任意2個(gè)時(shí)槽之間的最佳用戶配對(duì)策略，這2個(gè)定理是2-SIC最佳用戶組配策略的關(guān)鍵所在。

定理3對(duì)于3個(gè)用戶U1、U2和U3，它們最大歸一化接收幅度分別為且滿足如果它們?cè)?個(gè)時(shí)槽內(nèi)傳輸，那么它們的最優(yōu)組配關(guān)系為{{U3,U1};{U2}}，即U1和U3共享一個(gè)時(shí)槽，U2單獨(dú)占用一個(gè)時(shí)槽。

證明顯然有3種可能的組配方式，α1={{U3,U1};{U2}}、β1={{U2,U1};{U3}}和γ1={{U3,U2};{U1}}。下面直接比較3種組配關(guān)系的誤碼率。

由引理1、引理2和定理2可知，α1的最優(yōu)功率分配方式為β1的最優(yōu)功率分配方式為，γ1的最優(yōu)功率分配方式為

1)比較α1和β1的誤碼率

綜上，α1是3個(gè)用戶在2個(gè)時(shí)槽傳輸?shù)淖顑?yōu)用戶組配策略。證畢。

定理4對(duì)于4個(gè)用戶U1、U2、U3和U4，假設(shè)它們的最大歸一化接收幅度分別為和并且滿足。如果它們?cè)?個(gè)時(shí)槽內(nèi)傳輸，那么它們最優(yōu)的組配關(guān)系為{{U1,U3};{U2,U4}}，即U1和U3在同一個(gè)時(shí)槽內(nèi)傳輸，同時(shí)U2和U4共用一個(gè)時(shí)槽。

證明顯然，一共有3種組配關(guān)系，分別是α2={{U1,U3};{U2,U4}}、β2={{U2,U3};{U1,U4}}和γ2={{U1,U2};{U3,U4}}，下面對(duì)這3種組配關(guān)系分別進(jìn)行比較。

綜上，α2是2個(gè)時(shí)槽4個(gè)用戶下的最優(yōu)用戶組配策略。證畢。

顯然，可靠的2-SIC上行鏈路調(diào)度問(wèn)題的最優(yōu)解必須滿足定理2、定理3和定理4。經(jīng)分析發(fā)現(xiàn)，滿足這3個(gè)定理的解竟然是唯一的。也就是說(shuō)在2-SIC的情況下，算法3輸出的解是唯一最優(yōu)解。舉例如下：對(duì)于U1,U2,…,Un，假設(shè)它們的信道增益呈降序排列，如果時(shí)延最高為個(gè)時(shí)槽，那么最優(yōu)的組配策略必定如圖7所示。其理論證明如定理5所示。

圖7 2-SIC條件下的最優(yōu)解

定理5在2-SIC的情況下，算法3輸出的解是唯一最優(yōu)解。

證明反證法。如果還有另一種組配及功率分配方式，它與算法3的輸出不同，則它一定會(huì)違背最優(yōu)性的必要條件。具體來(lái)說(shuō)，如果它的所有時(shí)槽都是有2個(gè)用戶，則它一定違反定理4。如果存在一個(gè)包含2個(gè)用戶的時(shí)槽和另一個(gè)只有1個(gè)用戶的時(shí)槽，則它一定違反定理3。總之，找不到比算法3輸出的更優(yōu)的解。證畢。

6 實(shí)驗(yàn)仿真

本文的模擬參數(shù)設(shè)置如下。所有用戶隨機(jī)部署在環(huán)形區(qū)域內(nèi)，其內(nèi)半徑和外半徑分別為500 m和1 200 m，并且在中心處有一個(gè)k-SIC接收基站。噪聲功率為-126 dBm，功率譜密度為-173 dBm/Hz，帶寬為50 kHz。所有用戶的最大發(fā)射功率為16 dBm。信道增益模型為CG=-20log(f)-26log(d)+19.2，其中，d為用戶到基站的距離，f=5 GHz。

6.1k-SIC下的性能比較

如圖8所示，本文設(shè)置了25個(gè)用戶在5-SIC下、20個(gè)用戶在4-SIC下、15個(gè)用戶在3-SIC下的情況，時(shí)延界限L在5～15變化。用戶按照算法3進(jìn)行傳輸。在每種情況下，隨著時(shí)延參數(shù)L的逐漸增大，每個(gè)時(shí)槽內(nèi)的用戶數(shù)逐漸減少，此時(shí)，誤碼率會(huì)顯著下降。注意，圖8縱坐標(biāo)為對(duì)數(shù)坐標(biāo)，誤碼率隨著時(shí)延的下降呈指數(shù)下降。系統(tǒng)可以通過(guò)組配算法迅速達(dá)到可靠性最優(yōu)。

圖8 不同時(shí)延、用戶數(shù)和k值下的k-SIC平均誤碼率

從圖8中可以看出，這幾條曲線均有一段可靠性較平坦的區(qū)域，平均誤碼率無(wú)法隨著時(shí)延界限的放寬而繼續(xù)降低。主要原因是：對(duì)于離基站距離較遠(yuǎn)的用戶，其信道增益很低，因此很難降低該用戶的BER，從而其所在的整個(gè)時(shí)槽的BER也難以降低。

PD-NOMA應(yīng)用的主要缺陷在于其功率消耗比較大。圖9為在與圖8相同條件下的每個(gè)節(jié)點(diǎn)的平均發(fā)射功率，即在L個(gè)時(shí)槽下，所有節(jié)點(diǎn)發(fā)射功率的平均值。從圖9中可以看出，在給定用戶數(shù)下，隨著最大時(shí)延的增加，用戶平均功率在增加，這是因?yàn)闉榱俗顑?yōu)化可靠性，越多的用戶采用高功率發(fā)射。而在相同的最大時(shí)延情況下，當(dāng)L=5時(shí)，圖9的3種仿真實(shí)例中，每個(gè)時(shí)槽分別為3、4、5個(gè)用戶，因此與其他2個(gè)實(shí)例相比，15個(gè)用戶實(shí)例的高功率用戶相對(duì)比例會(huì)更大，從而節(jié)點(diǎn)平均功耗最大。而隨著L的進(jìn)一步增大，這種高功率用戶的比例差距會(huì)逐步縮小，因此節(jié)點(diǎn)平均功耗也會(huì)逐步趨向一致?？梢钥闯?，節(jié)點(diǎn)平均功耗主要受高功率節(jié)點(diǎn)比例值的影響，當(dāng)最大時(shí)延越大（小于節(jié)點(diǎn)數(shù)目的前提）時(shí)，平均功耗會(huì)越大，當(dāng)然，其傳輸可靠性也會(huì)增強(qiáng)。

6.2 2-SIC下算法3的最優(yōu)性

如圖10所示，本文分別設(shè)置了30、40、50個(gè)用戶的場(chǎng)景，時(shí)延界限L在15～50變化。從圖10中可以發(fā)現(xiàn)，對(duì)于給定的用戶數(shù)，平均BER均隨時(shí)延范圍的增加呈指數(shù)下降。在相同的時(shí)延限制要求下，平均BER總是隨著用戶數(shù)量的增加而增加，這個(gè)現(xiàn)象是合乎理論的。50個(gè)用戶對(duì)應(yīng)的曲線末端比較平滑，這是因?yàn)橛捎谟脩魯?shù)量和時(shí)延界限都比較大，因此用戶組配策略有了更大優(yōu)化空間，因此不會(huì)帶來(lái)可靠性性能的迅速變化。

圖9 不同時(shí)延、用戶數(shù)和k值下的k-SIC平均功率

圖10 2-SIC下算法3和隨機(jī)算法的平均誤碼率

雖然已經(jīng)在理論上證明了算法3在2-SIC下具有最優(yōu)可靠性，本文在實(shí)驗(yàn)中又加入了其與其他一般性算法的對(duì)比，使用隨機(jī)算法來(lái)表征其他一般性算法。算法實(shí)質(zhì)是隨機(jī)選擇用戶組配策略，并在所選定的組配策略下按照算法2確定發(fā)射功率，計(jì)算出平均誤碼率后再以此指標(biāo)作為策略留存的依據(jù)。經(jīng)過(guò)一段時(shí)間的迭代比較，最終收斂到一個(gè)局部最優(yōu)策略。顯然，在可靠性指標(biāo)上，算法3明顯優(yōu)于隨機(jī)算法。

7 結(jié)束語(yǔ)

本文分析了基于PD-NOMA的物聯(lián)網(wǎng)可靠接入問(wèn)題。通過(guò)建立信號(hào)級(jí)誤碼率模型，提出了啟發(fā)式算法，并證明了該算法在2-SIC情況下的唯一最優(yōu)性。理論證明和性能評(píng)估均驗(yàn)證了所提算法的有效性。傳輸可靠性是無(wú)線網(wǎng)絡(luò)的重要指標(biāo)。由于PD-NOMA是下一代無(wú)線網(wǎng)絡(luò)的候選媒體訪問(wèn)技術(shù)標(biāo)準(zhǔn)，因此，為其找到用于高可靠通信的快速算法是必不可少的。本文的研究結(jié)果為下一代高可靠低時(shí)延物聯(lián)網(wǎng)奠定了理論和技術(shù)基礎(chǔ)。