王洪瑞 ,鄒 濤,張 鑫,王美聰,陸云松

(1.中國科學(xué)院沈陽自動化研究所,遼寧沈陽 110016;2.中國科學(xué)院機器人與智能制造創(chuàng)新研究院,遼寧沈陽 110016;3.中國科學(xué)院大學(xué),北京 100049;4.廣州大學(xué)機械與電氣工程學(xué)院,廣東廣州 510006;5.沈陽化工大學(xué)環(huán)境與安全工程學(xué)院,遼寧沈陽 110142)

1 引言

分層遞階結(jié)構(gòu)廣泛應(yīng)用于大型流程工業(yè)過程[1],其中先進過程控制(advanced process control,APC)層的主要功能是基于模型預(yù)測控制(model predictive control,MPC)算法實現(xiàn)復(fù)雜工業(yè)過程的動態(tài)實時優(yōu)化,因此也可以將APC層稱為監(jiān)督控制層(supervisor control)[2].圖1中潛在效益最高的是實時優(yōu)化層,但是實時優(yōu)化層的成功投運需要APC層的支撐.模型預(yù)測控制算法因其能夠表征PID控制欠缺的過程動態(tài)信息,較好地處理有約束多變量控制問題而被廣泛應(yīng)用在APC層[3–7].與常規(guī)MPC相比雙層結(jié)構(gòu)預(yù)測控制增加了穩(wěn)態(tài)優(yōu)化層,穩(wěn)態(tài)優(yōu)化層的出現(xiàn)使APC具有實時動態(tài)決策功能[8–10].鄒濤提出基于優(yōu)先級的可行性判定和軟約束調(diào)整策略綜合經(jīng)濟自優(yōu)化和目標(biāo)跟蹤的穩(wěn)態(tài)目標(biāo)計算層[11],又給出積分過程優(yōu)化控制的雙層結(jié)構(gòu)預(yù)測控制[12],另外在雙層結(jié)構(gòu)預(yù)測控制下對工業(yè)大系統(tǒng)進行集中優(yōu)化與分散控制[13].

實際應(yīng)用中系統(tǒng)具有多變量、高維度、目標(biāo)多樣性等特點[14],而雙層結(jié)構(gòu)預(yù)測控制的計算復(fù)雜度主要由變量個數(shù)和控制時域決定[15],因此導(dǎo)致其求解復(fù)雜、計算量大的難題.受大系統(tǒng)理論啟發(fā)[16],本文基于圖論提出一種多變量系統(tǒng)分解方式,旨在將多變量系統(tǒng)更快速便捷的分解成若干規(guī)模較小的子系統(tǒng),降低求解變量維度,減少計算量.本文首先概述雙層結(jié)構(gòu)預(yù)測控制及圖論,然后采用圖論中的鄰接矩陣、可達矩陣和關(guān)聯(lián)矩陣對多變量系統(tǒng)進行分解并闡釋分解方法,最后通過仿真驗證.

2 雙層結(jié)構(gòu)預(yù)測控制及其優(yōu)化計算分析

2.1 穩(wěn)態(tài)目標(biāo)計算層

雙層結(jié)構(gòu)預(yù)測控制的上層為穩(wěn)態(tài)目標(biāo)計算層[11,17],可分為經(jīng)濟自優(yōu)化和目標(biāo)跟蹤兩種模式.當(dāng)過程最優(yōu)目標(biāo)受擾動等影響不具有實時性時,穩(wěn)態(tài)目標(biāo)計算層能夠?qū)崟r決策、動態(tài)修改目標(biāo)設(shè)定點,更準(zhǔn)確的跟蹤實時優(yōu)化(real time optimization,RTO)層傳遞的最優(yōu)操作目標(biāo).針對穩(wěn)態(tài)目標(biāo)求解不可行的問題,基于優(yōu)先級方法的可行性判定和軟約束調(diào)整策略能夠同時判定優(yōu)化問題是否可行并求出松弛變量值,根據(jù)約束條件重要性定義優(yōu)先級,并按照優(yōu)先級的邏輯順序依次放松約束邊界,使穩(wěn)態(tài)目標(biāo)計算層的實際應(yīng)用更有價值.

穩(wěn)態(tài)目標(biāo)計算層經(jīng)濟自優(yōu)化模式可用LP問題描述,自優(yōu)化問題又分為最小移動問題和積分變量問題,詳情參考文[11].?uss和?yss為輸入和輸出穩(wěn)態(tài)增量,uss和yss為穩(wěn)態(tài)輸入和輸出,Gu和Gf為輸入和擾動的穩(wěn)態(tài)增益矩陣,?fss為擾動增量,h為代價系數(shù),umax和umin為輸入上界和下界,ymax和ymin為輸出上界和下界.

目標(biāo)跟蹤模式描述為QP問題,R和Q分別為控制和誤差權(quán)矩陣,umax和umin為期望輸入上界和下界,ymax和ymin為期望輸出上界和下界.

2.2 動態(tài)優(yōu)化層

由穩(wěn)態(tài)目標(biāo)計算層求出操作變量和被控變量的穩(wěn)態(tài)值,作為動態(tài)優(yōu)化層的設(shè)定目標(biāo)值,進而在線優(yōu)化求解得到最優(yōu)控制律.通常把一個多變量有約束的在線優(yōu)化問題用QP問題描述,A為動態(tài)矩陣,?uM為最優(yōu)控制增量,w(k)為期望輸出,為初始預(yù)測值,I為單位矩陣,?umax和?umin為控制輸入增量上界和下界,M為增量變化個數(shù),m為控制輸入個數(shù),B0是M ×M的下三角矩陣.

2.3 雙層結(jié)構(gòu)MPC中的計算復(fù)雜度

雙層結(jié)構(gòu)MPC中穩(wěn)態(tài)目標(biāo)計算層和動態(tài)優(yōu)化層都存在計算量過大的問題,特別是多變量有約束系統(tǒng),因此為降低計算復(fù)雜度,對多變量系統(tǒng)采用分散控制方式減少計算量.在文[15]中對無約束DMC算法計算復(fù)雜度分析,提出其計算復(fù)雜度主要取決于控制時域M和變量個數(shù)m,求解復(fù)雜度為O(mM)3.若將系統(tǒng)分解成n 個子系統(tǒng)采用分散控制方式,可知m,根據(jù)多項式的立方展開公式分析一定有,故分散控制的計算復(fù)雜度必定小于集中控制的復(fù)雜度.對于雙層結(jié)構(gòu)MPC中有約束的優(yōu)化問題通常描述成LP或QP問題,LP 的求解方法有單純形法、原始對偶法等,QP的求解方法有內(nèi)點法、有效集法等,因此其計算復(fù)雜度視其使用的求解方法而定,但是通過分解多變量系統(tǒng)減小計算量的方法同樣適用于有約束的優(yōu)化問題.

3 圖論概述

圖論是一門研究事物之間聯(lián)系的學(xué)科[18–19],它能夠描述事物之間關(guān)系,在連續(xù)和離散系統(tǒng)、集總和分散系統(tǒng)等的數(shù)學(xué)建模和分析中都有較重要的作用.

3.1 鄰接矩陣

設(shè)有向圖G=,n個頂點m條邊,即V={x1,x2,···,xn},E={e1,e2,···,em},則該圖G的鄰接矩陣可用n 階方陣A=(aij)表示,矩陣A中的aij代表圖中從頂點xi到xj的邊的數(shù)目.對于簡單無向圖,可把它當(dāng)做對稱的有向圖處理[18,20].若A是圖G的鄰接矩陣,對A進行m次冪運算,則Am能夠表達出各個頂點之間長度為m的通路數(shù)目,故計算鄰接矩陣的n ?1次冪即可知圖中任意兩個頂點之間是否連通.

3.2 可達矩陣

設(shè)有向圖G=,V={x1,x2,···,xn},則可達矩陣用n階0–1方陣P=(pij)表示,P可達矩陣符號,pij為頂點之間關(guān)系,其中令pij=1表示vi可達vj,反之不可達.可達矩陣能判斷有向圖中兩頂點是否通過一個或多個有向邊最終形成一條通路,若能夠?qū)蓚€頂點連通則認為是可達的,通?？蛇_矩陣計算如下:

為優(yōu)化可達矩陣的計算減少計算量,可用(A+I)n?1代替式(4)[21]:

3.3 關(guān)聯(lián)矩陣

在圖中將一條邊與其連接的兩個頂點稱做相關(guān)聯(lián)[21–22].設(shè)簡單無向圖G=,V={x1,x2,···,xn},E={e1,e2,···,em},稱矩陣M=(mij)為G的關(guān)聯(lián)矩陣,mij=1表示vi與ej關(guān)聯(lián),反之不關(guān)聯(lián),其中:i=1,2,···,n; j=1,2,···,m.

3.4 關(guān)聯(lián)矩陣和鄰接矩陣快速轉(zhuǎn)換

由定義可知,鄰接矩陣描述頂點間的關(guān)系,關(guān)聯(lián)矩陣描述頂點與邊的關(guān)聯(lián)性,因此對于同一張圖二者可相互轉(zhuǎn)換.由關(guān)聯(lián)矩陣以邊為媒介得到頂點之間關(guān)系,若頂點i與j都與同一條邊有關(guān)聯(lián),則對應(yīng)的鄰接矩陣中aij=1.

由圖2可得到關(guān)聯(lián)矩陣與鄰接矩陣之間的轉(zhuǎn)換如下所示:

矩陣維度較大時,將導(dǎo)致M與A之間的轉(zhuǎn)換復(fù)雜繁瑣.由第2.1節(jié)可知通過計算鄰接矩陣的n次方運算,即可得到通過n步連通的頂點.將這一思想引用到關(guān)聯(lián)矩陣中同樣適用,通過計算M2可以得到從該頂點出發(fā)2步之后到達的頂點,得出頂點之間的關(guān)系,通過上述例子驗證.計算M2得到如下方陣:

按照關(guān)聯(lián)矩陣作圖,不同于常規(guī)作圖把邊當(dāng)做頂點之間的連線的方式,而將邊也當(dāng)做一個頂點,頂點與邊之間有關(guān)系的用線連接,例如e1點與v1和v3兩點分別用兩條線相連,如圖3所示.

由圖3分析可知,圖中邊具有無向性,從v1出發(fā)走兩步可到達頂點v3,v1到達e1之后可返回v1,故v1兩步可達頂點有v1,v3;同理,從v2出發(fā)分別經(jīng)過e3,e2到達v3,v4,還可通過這2條路徑返回v2.由M2可知v1和v3之間有1條通路,v2和v2之間有2條通路,與圖3描述一致,得出結(jié)論計算M2可以得到頂點之間的關(guān)系.

圖2 簡單無向圖Fig.2 Simple undirected graph

圖3 邊與點之間聯(lián)系Fig.3 Relation between edges and points

圖中從vi出發(fā)到達ei消耗一步之后,剩下的一步到達自身或其他vi,故提出M2相當(dāng)于鄰接矩陣的自身可達和一步可達之和A+I的假設(shè).因最終要得到頂點之間的關(guān)系而無需知道幾條路徑,故可將M2中非0元素全部置為1,M2和A+I分別表示如下:

4 基于圖論對多變量雙層預(yù)測控制系統(tǒng)的分解

在雙層結(jié)構(gòu)MPC中,通過分解多變量進而實施分散控制可減少計算量,當(dāng)變量數(shù)目較多時如何快速便捷的分解顯得尤為重要.在大系統(tǒng)理論中基于鄰接矩陣系統(tǒng)結(jié)構(gòu)模型分解得到系統(tǒng)的多級結(jié)構(gòu)模型[23–24],同時提出利用關(guān)聯(lián)矩陣描述動態(tài)系統(tǒng)的結(jié)構(gòu),建立狀態(tài)、輸入和輸出的分塊矩陣.受此啟發(fā),本文直接利用關(guān)聯(lián)矩陣表示MV 和CV 之間關(guān)系,通過計算M2快速變換為鄰接矩陣,進而計算可達矩陣再對多變量進行分解,并應(yīng)用在雙層結(jié)構(gòu)預(yù)測控制中.

4.1 多變量系統(tǒng)的分解

在描述過程模型時,通常用傳遞函數(shù)模型體現(xiàn)MV 與CV 關(guān)系.將傳遞函數(shù)矩陣G變成一個0–1矩陣,0代表該操作變量MV 與被控變量CV 無關(guān),1為有關(guān)系,此時G可看做一個描述MV 和CV 的關(guān)聯(lián)矩陣M(G),MV 視為邊,CV 視為頂點,反之也可以.但是這個矩陣并不是標(biāo)準(zhǔn)意義的關(guān)聯(lián)矩陣,因為在標(biāo)準(zhǔn)的關(guān)聯(lián)矩陣中一條邊只連接兩個頂點,而一個MV 可控制一個或多個CV,故M(G)中的一條邊可能對應(yīng)一個或多個頂點情況.利用第3.4節(jié)中方法將M(G)快速轉(zhuǎn)換為鄰接矩陣A+I(G),得到MV 之間的關(guān)系(CV 做邊,MV 做頂點),或是CV 之間的關(guān)系(CV 做頂點,MV 做邊).根據(jù)式(5)計算得到可達矩陣P(G),尋找矩陣中每一列所有不為零行對應(yīng)的頂點子集,具有相同的不相交頂點子集劃分成一個子系統(tǒng),一個多變量復(fù)雜系統(tǒng)就分解成若干個獨立的變量較少的子系統(tǒng).多變量系統(tǒng)分解過程步驟如下:

1) 將描述MV 與CV 關(guān)系的傳遞函數(shù)模型轉(zhuǎn)化為關(guān)聯(lián)矩陣M(G),傳遞函數(shù)中不為0元素用1代替,假設(shè)M(G)中行代表MV,列代表CV;

2) M(G)和A+I(G)的快速轉(zhuǎn)換,計算M(G)MT(G),MT(G)M(G)轉(zhuǎn)換成MV,CV 的鄰接矩陣(A+I)M(G),(A+I)C(G);

3) 將(A+I)M(G)和(A+I)C(G)根據(jù)式(5)計算求出可達矩陣PM(G),PC(G);

4) 尋找PC(G)中每一列不為0所在行的CV,相同的不相交CV 即為同一個子集;按照相同方式處理PM(G),將MV 劃分若干子集;

5) 按照劃分的MV,CV 整理關(guān)聯(lián)矩陣M(G),即可得到不同的MV 子集與其對應(yīng)的CV 子集,該多變量大系統(tǒng)分解成多個變量較少的子系統(tǒng).

4.2 多變量雙層結(jié)構(gòu)預(yù)測控制分解

雙層結(jié)構(gòu)預(yù)測控制上層基于優(yōu)先級策略對穩(wěn)態(tài)目標(biāo)計算過程進行可行性判定與軟約束調(diào)整,其計算量較大,若將該優(yōu)化問題利用圖論方法分解為若干個優(yōu)化問題,則可減少計算量.本文僅對下層優(yōu)化問題采用基于圖論的分解方法,分解后的系統(tǒng)采用分散控制,上層仍采用集中控制.

以有約束的多變量的雙層預(yù)測控制中的動態(tài)控制層為例說明,假設(shè)將該多變量系統(tǒng)通過第4.1節(jié)的方法分解為n個子系統(tǒng),每個子系統(tǒng)里含有的MV 和CV不一定,用qi和zi分別代表子系統(tǒng)中MV 和CV 的個數(shù),則在線優(yōu)化問題可以如下描述:

4.3 多變量雙層結(jié)構(gòu)預(yù)測控制分解

為更好的闡述第4.1節(jié)中的分解方法,用某項目的空分裝置先進控制系統(tǒng)舉例說明.由圖4可知,行為MV 共10個,列為CV 共15個.MV 與CV 有關(guān)系的方格內(nèi)有圖像,無關(guān)系為空白格,由此得到關(guān)聯(lián)矩陣M.

由M分別求出鄰接矩陣A+IC(G),A+IM(G),進而分別計算得到可達矩陣PC(G),PM(G),見附錄1.由可達矩陣可知,CV 劃分了4個子集:

根據(jù)子集順序整理關(guān)聯(lián)矩陣,為了更清晰的觀察與之間的關(guān)系,將它調(diào)整為對角線形式M′.

綜上得出如下子系統(tǒng)劃分:{CV1,CV2,CV6,CV15}對應(yīng){MV3};{CV10}對應(yīng){MV4};{CV8}對 應(yīng){MV8,MV9,MV10};{CV3,CV4,CV5,CV7,CV9,CV11,CV12,CV13,CV14}對 應(yīng){MV1,MV2,MV5,MV6,MV7}.將上述的多變量系統(tǒng),快速便捷的分解為4個小的子系統(tǒng).

圖4 某空分項目變量關(guān)系Fig.4 Variable relationship of an air separation project

5 仿真實驗

針對多變量有約束的雙層結(jié)構(gòu)預(yù)測控制,本文基于圖論對多變量系統(tǒng)進行分解,穩(wěn)態(tài)計算層采用集中控制給出整體的穩(wěn)態(tài)值,動態(tài)優(yōu)化層采用分散控制.仿真實驗6入6出系統(tǒng)為例,系統(tǒng)采用整體集中控制和穩(wěn)態(tài)計算層集中控制動態(tài)優(yōu)化層分散控制的兩種策略.假設(shè)實驗使用的模型是重油分餾塔的過程模型的變形,模擬一個模型較大的化工過程,傳遞函數(shù)模型見式(12).

將傳遞函數(shù)矩陣模型用關(guān)聯(lián)矩陣表示,得到以行為點列為邊M(G),點代表操縱變量u,邊代表被控變量y.由第3.4節(jié)可知通過計算M(G)MT(G),MT(G)M(G)能快速得到點之間、邊之間的鄰接矩陣,進而通過式(5)分別求出點、邊的可達矩陣,由此可表示出有關(guān)聯(lián)的操縱變量,整理得到如式(13)的0–1對角線矩陣,最終將其替換回原傳遞函數(shù)對應(yīng)的數(shù)據(jù).因此可將操縱變量劃分為3個子集:{u1,u4,u3},{u2,u6}和{u5}.

實驗參數(shù)如下:輸出約束上下限為yh=[0.6 0.6 0.6 0.6 0.6 0.6], yl=[?0.6 ?0.6 ?0.6 ?0.6?0.6 ?0.6];輸入約束上下限uh=[0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5], ul=[?0.5 ?0.5 ?0.5 ?0.5 ?0.5?0.5];模型長度N=600;采樣間隔是2;仿真時間K=200;選取6組預(yù)測時域P和控制時域M進行實驗,詳細參數(shù)見表1.

實驗結(jié)果如圖5所示,綠色虛線為無分解的,藍色實線為有分解的,紅色點劃線為穩(wěn)態(tài)值,其中橫坐標(biāo)軸為仿真時間,縱坐標(biāo)軸為被控變量.

從圖5中分析可知,對于6i6o系統(tǒng)無分解情況下,由于有時無法求出最優(yōu)解個別輸出無法跟蹤穩(wěn)態(tài)值,有分解的情況均能跟蹤穩(wěn)態(tài)值.對比二者運行時間如表1所示.

表1 無分解和有分解運行時間對比Table 1 Comparison of operation time without decomposition and with decomposition

圖5 6i6o有分解和無分解系統(tǒng)輸出對比Fig.5 Output comparison of 6i6o system with and without decomposition

由于上層仍然采用集中穩(wěn)態(tài)優(yōu)化,下層采用分散動態(tài)控制,運行時間為程序的整體結(jié)束時間.從上述結(jié)果分析,對于6i6o系統(tǒng),在預(yù)測時域和控制時域較小時,有分解的和無分解時間相差很小;當(dāng)M=25,P=50時,無分解的運行時間比分解的運行時間長,分解系統(tǒng)的優(yōu)勢隨著規(guī)模增長愈加明顯,到第2組仿真時無分解的時間大約是有分解的2倍.由于仿真實驗受電腦內(nèi)存影響,只能做到盡量保證運行內(nèi)存空間一致,因此為了較好的體現(xiàn)分解與無分解效果,實驗假設(shè)模型長度、預(yù)測時域和控制時域都較大,6i6o系統(tǒng)仿真證明了本文所提策略能減小計算量、減少運行時間,若是將其應(yīng)用在更大型的系統(tǒng)中效果將更加明顯.本文利用圖論分解傳遞函數(shù)的控制變量,本質(zhì)上將沒有耦合的變量分離開,從理論上其控制性能并未降低,但是在優(yōu)化求解過程中由于條件限制等原因,造成集中控制和分散控制求解有誤差,從而導(dǎo)致最終結(jié)果不同.

6 結(jié)論

在雙層結(jié)構(gòu)預(yù)測控制中,由于變量數(shù)目多導(dǎo)致優(yōu)化問題計算復(fù)雜,故將一個多變量系統(tǒng)分解成若干子系統(tǒng).本文針對多變量大系統(tǒng)分解問題,提出利用關(guān)聯(lián)矩陣描述傳遞函數(shù)模型中MV 和CV 之間關(guān)系,快速轉(zhuǎn)換為鄰接矩陣AC(G),AM(G),通過計算可達矩陣PC(G),PM(G)梳理變量之間的關(guān)系,從而能有效快捷的分解多變量大系統(tǒng),并將此應(yīng)用到雙層結(jié)構(gòu)預(yù)測控制中,上層采用集中控制下層采用分散控制,并對比常規(guī)上下層均集中控制的方法,驗證基于本文提出的分解策略能夠減小計算量,減少運行時間,為多變量系統(tǒng)的預(yù)測控制分解方式提供一種思路.

附錄