張根保，楊 斌，冉 琰，庾 輝，蔣 林

(1.重慶大學(xué) 機械傳動國家重點實驗室，重慶 400044；2.重慶文理學(xué)院 機械工程學(xué)院，重慶 400000；3.武漢科技大學(xué) 機械工程學(xué)院，湖北 武漢 430081 )

0 引言

現(xiàn)代機械系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)極其復(fù)雜，從結(jié)構(gòu)零部件層面上研究其運動的方法過于繁瑣。傳統(tǒng)的運動性能研究多從靜態(tài)精度方面入手，動態(tài)精度分析無論在理論上還是方法上都要困難和復(fù)雜得多，目前相關(guān)研究成果較少[1]。機械系統(tǒng)受自身狀態(tài)和使用條件等因素影響，其運動狀態(tài)具有一定的隨機性，即不同的工況和使用條件影響機械系統(tǒng)的動態(tài)響應(yīng)，因此從動態(tài)的角度考慮關(guān)鍵隨機誤差研究機械產(chǎn)品的運動性更符合實際。

機械產(chǎn)品的運動性能問題是目前研究的熱點與難點，近年來取得了一系列成果。王亞平等[2]提出一種基于機械仿真軟件—ADAMS的機構(gòu)變參數(shù)設(shè)計與動作可靠性分析的方法，結(jié)果形象直觀，仿真效果較好。段齊駿[3]研究了動作可靠性評價指標(biāo)值的目標(biāo)函數(shù)理論，為各類機械系統(tǒng)動作的可靠度計算提供了方法。劉柏希等[4]根據(jù)運動精度可靠性仿真試驗考察了非累積性因素和累積性因素對機構(gòu)運動性能的影響。蘇續(xù)軍等[5]利用表決冷儲備(Active Standby, AS)樹描述多段階段任務(wù)系統(tǒng)各階段邏輯結(jié)構(gòu)關(guān)系，利用狀態(tài)圖分析了多階段任務(wù)系統(tǒng)的行為，并根據(jù)離散事件仿真思想分別給出了多狀態(tài)多階段任務(wù)系統(tǒng)的仿真算法。李昌等[6]建立了多種失效模式相關(guān)條件下的機構(gòu)運動可靠度計算模型，并實現(xiàn)了對模型的求解。Kim等[7]建立了包含構(gòu)建尺寸公差和運動副間隙的機器人運動模型，并基于改進的一次二階矩法和蒙特卡洛方法實現(xiàn)了機器人的運動可靠度求解。王偉等[8]采用四階矩估計法對機器人運動可靠性進行了分析，提高了計算精度，顯著縮短了計算時間。上述研究人員已經(jīng)嘗試從動態(tài)的角度研究機械產(chǎn)品的運動，并利用計算機建立相關(guān)仿真模型幫助求解機構(gòu)運動可靠度。然而，現(xiàn)有的動態(tài)研究方法多從整體機構(gòu)入手，隨機誤差分析過程十分復(fù)雜，且沒有充分體現(xiàn)中間運動環(huán)節(jié)的影響，無法很好地評估機械產(chǎn)品的實際運動性能。

本文以元動作理論為基礎(chǔ)，利用FMA(function-movement-action)分解方法得到整機系統(tǒng)的功能層、運動層和元動作層。利用位姿變換將裝配單元整體誤差累積等效到單元間運動傳遞接合位置，并即時映射到元動作運動參數(shù)中。由單個元動作方程結(jié)合運動傳遞關(guān)系建立完整的元動作鏈(運動)的運動研究模型，進而利用MATLAB軟件仿真試驗計算運動可靠度。

1 FMA分解方法

FMA結(jié)構(gòu)化分解方法最早由重慶大學(xué)張根保教授提出，經(jīng)過長期的研究發(fā)展，已經(jīng)基本形成了一套系統(tǒng)的理論體系[9-11]。該方法以復(fù)雜機械產(chǎn)品為對象，自頂向下，將復(fù)雜的機械系統(tǒng)按照 FMA“功能(function)—運動(movement)—動作(action)” 的路線分解為最基本的元動作。FMA分解一般步驟如下：

(1)確定功能層，分析產(chǎn)品的具體功能 如：加工中心的功能有磨削、鉆削等。

(2)確定運動層，分析部件實現(xiàn)具體功能的運動 如：進給運動、主軸轉(zhuǎn)動等。

(3)確定動作層 進一步分解運動按照動力源到執(zhí)行件的傳遞路徑，得到所有的元動作。如：絲杠轉(zhuǎn)動、螺母的移動等。實現(xiàn)某一運動的所有元動作構(gòu)成一條元動作鏈。

由FMA結(jié)構(gòu)化分解得到分解模型，如圖1所示。

機械產(chǎn)品經(jīng)FMA分解，得到所有的功能、運動和元動作，元動作為最基本的運動單元。機械產(chǎn)品的復(fù)雜運動都是通過元動作鏈實現(xiàn)，元動作不正常，整機功能和運動性能都會出現(xiàn)故障，故以元動作為出發(fā)點研究機械產(chǎn)品運動可靠性的方法是可行的。

2 單個元動作運動分析

元動作是機械產(chǎn)品中傳遞運動和動力最基本的運動形式。構(gòu)成元動作的結(jié)構(gòu)單元稱為元動作單元。單個元動作的動作過程包括啟動階段、中間運動階段和制動階段。元動作單次運動過程如圖2所示。

一般運動參數(shù)主要包括位移(角位移，線位移)、速度(角速度，線速度)和加速度(角加速度，線加速度)。實際生產(chǎn)中往往將機構(gòu)的位置和速度作為重要關(guān)注點，對加速度通常沒有具體約束要求，故這里主要考慮的運動參數(shù)是位移與速度。元動作是最基本的運動類型，故其運動學(xué)函數(shù)可以用一般運動方程的通式表示[12]：

(1)

式中：s為元動作輸出位移，角位移或線位移；v為廣義輸出速度，角速度或線速度；s0表示元動作的初始位移量；V表示廣義驅(qū)動輸入函數(shù)；ε=[ε1,ε2,…,ελ]為元動作的誤差因素；t為元動作運動時間；f(V,ε,t)為關(guān)于V,ε,t的方程式。

3 基于元動作的誤差分析

3.1 誤差建模原理

從整機分析隨機誤差，需要研究各個機構(gòu)和零件及它們之間的裝配關(guān)系，涉及到的誤差繁雜，且零部件間的運動傳遞及耦合機理十分復(fù)雜，很難得到精確的結(jié)果。機械系統(tǒng)分解得到若干個元動作及元動作單元，每個元動作可以看作相對獨立的運動單元，而單個元動作單元往往只包含極少零部件，運動誤差相對容易分析清楚。

元動作單元是實現(xiàn)元動作的結(jié)構(gòu)體，單元由動力輸入件、動力輸出件、中間和緊固件以及支撐件組成，可以看成相對獨立的裝配單元。由于零件誤差通過零件自身以及裝配接合面不斷傳遞積累，且元動作單元間運動傳遞接合位置是運動和誤差傳遞的關(guān)鍵節(jié)點[13]，故可將單元內(nèi)部誤差模糊化處理，均等效到元動作單元運動輸出位置。

3.2 基于元動作單元的誤差模型

元動作單元各零部件按照一定的裝配順序和配合關(guān)系構(gòu)成元動作裝配單元，零件的幾何精度和裝配精度是產(chǎn)生運動誤差的主要來源。采用位姿轉(zhuǎn)換矩陣描述誤差在裝配體內(nèi)的傳遞，為方便分析，假設(shè)元動作裝配單元的運動輸入位置為位姿分析起始點，處于理想狀態(tài)。則坐標(biāo)系間的位置和角度變換矩陣[14]為：

(2)

式中：TW為位置變換矩陣；x、y、z為坐標(biāo)變換時沿X、Y、Z坐標(biāo)軸方向移動的距離；TJ為旋轉(zhuǎn)變換矩陣，α、β、γ分別為坐標(biāo)變換時繞X、Y、Z坐標(biāo)軸轉(zhuǎn)動的角度；c=cos，s=sin。

則在不同坐標(biāo)系下理想位姿變換矩陣：

T=TW×TJ。

(3)

由于誤差的存在，坐標(biāo)轉(zhuǎn)換過程中位置和角度會出現(xiàn)微小的擾動。忽略高階微小量的影響，可得到位姿誤差轉(zhuǎn)換矩陣：

(4)

式中：ΔT為誤差矩陣；Δx、Δy、Δz表示沿坐標(biāo)軸的微小移動量；Δα、Δβ、Δγ表示繞坐標(biāo)軸的微小轉(zhuǎn)動量。

ΔNn-1Nn-1ΔMn-1Mn-1ΔMnTNr。

(5)

式中：Nk，ΔNk(k=1,2,…,n-1)分別表示同一零件內(nèi)的坐標(biāo)位姿變換矩陣和誤差變換矩陣；Mk，ΔMk(k=1,2,…,n-1,n)分別表示不同零件配合面間的坐標(biāo)位姿變換矩陣和誤差的變換矩陣。

由式(5)得到元動作裝配單元運動輸出位置誤差矢量矩陣式：

(6)

3.3 運動誤差分析

裝配單元誤差作用于關(guān)鍵節(jié)點表現(xiàn)為位置和角度偏差，使得元動作單元間運動傳遞的接合位置發(fā)生誤差變換(如圖3)，進而產(chǎn)生運動誤差。

圖中：A表示關(guān)鍵節(jié)點的位置，B表示在考慮誤差條件下關(guān)鍵節(jié)點的實際位置。元動作包含移動和轉(zhuǎn)動兩種基本類型，裝配單元誤差對不同類型元動作運動參數(shù)的影響具有差異性，如圖4所示。

(1)轉(zhuǎn)動類元動作 如圖4a所示，ωi為轉(zhuǎn)動類元動作i的角速度，ri為元動作i運動輸出位置的理想回轉(zhuǎn)半徑。則轉(zhuǎn)動類元動作i對應(yīng)的有效速度和角位移為：

(7)

(2)移動類元動作 如圖4b所示，移動類元動作h的運動速度矢量為υh，則移動類元動作h對應(yīng)的有效移速和位移為：

(8)

根據(jù)式 (7)和式(8)，可以將元動作的一般方程(式(1))改寫成如下形式：

(9)

式中：f(V,t)為不考慮誤差時元動作的理想運動速度，Δ表示運動參數(shù)的誤差指標(biāo)矩陣。

4 元動作鏈的運動模型

元動作鏈?zhǔn)腔ハ嗦?lián)系且按一定順序連接的能實現(xiàn)一定運動功能的元動作的組合。元動作鏈包括起始輸入運動、中間運動傳遞環(huán)節(jié)和目標(biāo)輸出運動3部分，基本結(jié)構(gòu)如圖5所示。

若干元動作相互耦合、共同作用組成元動作鏈，最終實現(xiàn)目標(biāo)功能運動。分析運動傳遞過程，綜合考慮運動誤差的影響，建立運動鏈方程：

υ′=f(v1,v2,…,vd)。

(10)

元動作鏈方程包含所有組成元動作的運動誤差，傳統(tǒng)的誤差計算方法是將6大誤差納入誤差矩陣直接進行運算，在運動鏈中組成元動作較多時計算量很大。以元動作單元為單位，分別研究各元動作的運動參數(shù)誤差，并參考原始誤差矩陣式(6)、式 (7)和式(8)計算出各元動作運動參數(shù)的誤差指標(biāo)矩陣Δ。顯然，在以某一特定的運動參數(shù)為研究對象時，只需提取Δ中影響該參數(shù)的誤差指標(biāo)數(shù)據(jù)代入運動模型中進行運算。以元動作單元為單位研究運動誤差可以即時地實現(xiàn)有效誤差向運動參數(shù)的映射，剔除了原始誤差矩陣的部分無效誤差因素。特別是在進行特定運動參數(shù)研究的運動學(xué)建模仿真時，進一步減少了數(shù)據(jù)量，大大節(jié)約了計算資源。

5 運動可靠度仿真分析方法

下面利用MATLAB對建立的運動模型進行仿真分析，通過參數(shù)設(shè)定法，模擬機械產(chǎn)品的實際運動過程。輸出中間元動作運動特征曲線，從而分析、監(jiān)測中間運動參數(shù)變化趨勢，以便找出對目標(biāo)輸出運動影響較大的中間傳遞環(huán)節(jié)，進而為后續(xù)機構(gòu)改進及故障診斷提供數(shù)據(jù)支持。

確定目標(biāo)運動參數(shù)，設(shè)定參數(shù)約束條件，由仿真曲線計算單次仿真目標(biāo)運動參數(shù)的可靠度：

(11)

多次模擬仿真，得到產(chǎn)品運動可靠度：

(12)

6 實例計算

如圖6所示為某液壓自伺服機器人擺動關(guān)節(jié)，該關(guān)節(jié)由轉(zhuǎn)角自伺服的液壓被動柔順機構(gòu)、齒輪機構(gòu)、連桿等構(gòu)成[15]。關(guān)節(jié)由微型伺服電機作動力輸入，經(jīng)中間元動作進行運動傳遞，最終連桿輸出運動，是一種典型的復(fù)雜機械系統(tǒng)動作鏈。下面根據(jù)上述方法計算關(guān)節(jié)的運動位移可靠度。

(1)關(guān)節(jié)FMA分解

擺動關(guān)節(jié)整體運動屬于一個FMA結(jié)構(gòu)化分解中的二級運動，元動作鏈包括四個基本的元動作，F(xiàn)MA分解如圖7所示。

(2)單個元動作運動分析

1)元動作A1：舵機內(nèi)置電機齒輪軸轉(zhuǎn)動。

舵機內(nèi)置電機齒輪軸轉(zhuǎn)動為初始元動作，即整條動作鏈的輸入運動，由伺服電機驅(qū)動。由于舵機為高精密微型設(shè)備，其運動誤差極小，此處忽略輸入運動誤差，將元動作A1視為理想輸入運動，其運動方程式記為：

S1=F1(ω1,t)。

(13)

式中ω1為元動作A1的角速度,Si為元動作A1的角位移。

2)元動作A2：舵機輸出軸—閥芯轉(zhuǎn)動。

舵機輸出軸通過聯(lián)軸器帶動閥芯轉(zhuǎn)動，元動作2的誤差主要來自于聯(lián)軸器的連接誤差。聯(lián)軸器使閥芯產(chǎn)生初始誤差和旋轉(zhuǎn)方向誤差，兩種誤差對閥芯在其有效運動方向上的絕對旋轉(zhuǎn)角度無影響，故元動作2的誤差可以忽略。則其運動方程為：

S2=F2(ω2,t)=i·F1(ω1,t)。

(14)

式中：ω2為元動作A2的角速度,S2為元動作A2的角位移；i為齒輪傳動的傳動比。

3)元動作A3：閥體—主動錐齒輪轉(zhuǎn)動。

閥芯轉(zhuǎn)動控制閥口開閉程度，閥體經(jīng)液壓油推動作跟隨運動。閥體與閥芯、閥套配合，裝配誤差影響閥口開閉面積。根據(jù)零部件的制造精度和裝配精度，由式(2)～式(7)計算角度誤差Δθ。由于伺服閥是液壓系統(tǒng)，特別考慮泄露引起的誤差，并根據(jù)制造和裝配精度合理地調(diào)節(jié)泄露系數(shù)Ctp，以補償在制造和裝配過程中關(guān)節(jié)的兩個工作腔及連接管道總體積的誤差。由閥芯閥口流量關(guān)系，工作腔流量連續(xù)性以及力矩平衡關(guān)系，建立運動函數(shù)關(guān)系式：

(15)

式中：b1為閥口寬度；θ為閥芯逆時針轉(zhuǎn)過的角度；θ2為閥口對應(yīng)角度；θ3為閥體逆時針轉(zhuǎn)過的角度；As為閥口開口面積；r1為閥芯半徑；qL為閥口負(fù)載流量；Ctp為工作腔總泄漏系數(shù)；Dm為每弧度排量；pL為負(fù)載壓力；βe為有效體積彈性模量；J為關(guān)節(jié)和負(fù)載折算到閥體輸出軸上的總慣量；Bm為關(guān)節(jié)和負(fù)載的總等效粘性阻尼系數(shù)；TL為外負(fù)載力矩。

從而得到閥體—主動錐齒輪轉(zhuǎn)動的運動參數(shù)為：

|S3|=θ3。

(16)

式中：ω3為元動作A3的角速度；S3為元動作A3的角位移。

4)元動作A4:從動錐齒輪—擺動臂轉(zhuǎn)動。

擺動臂擺動是最后一級的輸出運動，輸入運動為閥體—主動錐齒輪的跟隨運動，動作鏈前后兩動作單元配合面為圓錐齒輪嚙合面。元動作裝配單元誤差影響接觸路徑，從而降低運動精度。由式(2)～式(7)，計算元動作裝配單元運動誤差Δi，則實際傳動比為：

i′=i+Δi。

(17)

式中：i′為實際傳動比；i為理想傳動比。

擺動臂輸出運動的運動方程為：

(18)

式中：v4為輸出運動的線速度；w為輸出運動的角速度；F3(t)為主動齒輪運動的速度函數(shù)；s4為輸出運動的線位移；l為擺動臂桿桿長；γx、γs、εx、εs分別為速度與位移的上下極限偏差。

(3)關(guān)節(jié)擺動運動仿真參數(shù)設(shè)置

根據(jù)關(guān)節(jié)實際工作情況，查閱《關(guān)節(jié)設(shè)計說明書》和《機械設(shè)計手冊》等資料，設(shè)置和計算關(guān)節(jié)仿真模型的相關(guān)參數(shù)如表1所示。

表1 關(guān)節(jié)參數(shù)表

續(xù)表1

(4)運動仿真分析和可靠度計算

由式(13)～式(18)，建立MATLAB/Simulink仿真接線系統(tǒng)圖，如圖8所示。

先不考慮隨機誤差，主界面輸入?yún)?shù)運行，得到理想狀態(tài)下輸出動作如圖9所示。

將誤差因素加入仿真模型，元動作運動過程曲線如圖10和圖11所示。

比較圖9～圖11，運動傳遞到元動作A3時，實際輸出位移與理想狀態(tài)無明顯差異，而動作速度出現(xiàn)較大波動。運動由元動作A3傳遞到元動作A4后，輸出位移過程曲線發(fā)生較大波動。說明齒輪傳動部分為產(chǎn)生運動誤差的關(guān)鍵環(huán)節(jié)，在后續(xù)的機構(gòu)優(yōu)化與故障診斷中需重點考察。

由圖11可知，統(tǒng)計整個運動過程中位移量不符合約束條件的總時間，計算單次運動位移可靠度：

=0.964。

(19)

根據(jù)實際運動狀態(tài)，改變關(guān)節(jié)輸入和負(fù)載，分別進行空載仿真試驗、半載仿真試驗和滿載仿真試驗。經(jīng)過18組仿真試驗，計算關(guān)節(jié)運動位移的可靠度，如表2所示。

表2 多次仿真計算可靠度結(jié)果

對多次仿真可靠度求平均值，最終求得關(guān)節(jié)運動位移可靠度：

=0.962。

(20)

Monte Carlo模擬(Monte Carlo Simulation,MCS)作為系統(tǒng)可靠性測量的重要方法之一，能夠在模型未知的情況下精確求解系統(tǒng)可靠性[16]。為驗證上述方法可行性，采用Monte Carlo方法作對比驗證試驗。其運動可靠度計算公式為：

(21)

式中：Nf為總的模擬次數(shù)；Nt為模擬失效次數(shù)。

對機器人關(guān)節(jié)進行104次仿真試驗，設(shè)置程序，每試驗100次計算一次運動可靠度，將計算數(shù)據(jù)以折線圖的形式輸出，如圖12所示。

由圖12可知，顯然隨著仿真試驗次數(shù)的增加，關(guān)節(jié)可靠度的計算結(jié)果逐漸趨于某一穩(wěn)定值，在試驗次數(shù)達(dá)到5 000次以上時，關(guān)節(jié)可靠度的計算結(jié)果收斂于0.965左右，因此可以認(rèn)為采用Monte Carlo方法得到的機器人關(guān)節(jié)可靠度為96.5%。

該機器人關(guān)節(jié)的實際實驗得到的關(guān)節(jié)運動位移的可靠度在0.960～0.970之間，則兩種仿真試驗得到的可靠度計算結(jié)果與實際機構(gòu)實驗結(jié)果的誤差<1%，故由兩種仿真試驗計算運動可靠度的方法均可行。MCS方法是以大量的模擬試驗為基礎(chǔ)，較為繁瑣。顯然，本文提出的根據(jù)運動過程計算機械產(chǎn)品的運動可靠度的方法通過較少的試驗就能得到較為精確的結(jié)果，能大大減少試驗成本。

7 結(jié)束語

本文以元動作理論為基礎(chǔ)，從元動作和元動作裝配單元入手研究了復(fù)雜機械產(chǎn)品的運動特性。將裝配單元的誤差通過位姿矩陣變換等效到關(guān)鍵節(jié)點位置，并結(jié)合元動作運動類型得到運動參數(shù)的誤差分布，從動作層分析運動誤差的方法大大降低了誤差分析的難度。將影響運動的關(guān)鍵誤差反映在一個個元動作運動參數(shù)中，及時剔除了無效的誤差數(shù)據(jù)，避免了大量無效數(shù)據(jù)的重復(fù)運算，節(jié)約了計算資源。

本文關(guān)注對象由整機的運動特性拓展為所有元動作的運動特性，運動研究過程更加精細(xì)。通過仿真運動分析，能直觀方便地監(jiān)測到中間環(huán)節(jié)的運動狀態(tài)，便于薄弱環(huán)節(jié)的定位和產(chǎn)品的優(yōu)化設(shè)計。根據(jù)仿真運動過程計算機械產(chǎn)品的運動可靠度，能通過較少的仿真次數(shù)得到較為可信的計算結(jié)果，為設(shè)計階段機械產(chǎn)品的運動性能評估和預(yù)測提供了一種可行方法。后續(xù)將圍繞基于元動作的多軸數(shù)控機床、工業(yè)機器人等復(fù)雜機電設(shè)備的運動學(xué)建模和精度分析研究領(lǐng)域，進一步完善基于元動作理論的機械運動研究體系，并嘗試結(jié)合先進的數(shù)字化、信息化技術(shù)開展理論成果應(yīng)用研究。