（中南大學(xué)商學(xué)院，長沙 410083）

引 言

投資組合理論致力于解決財富在不同資產(chǎn)中最優(yōu)配置的問題。Harry［1］的均值-方差投資組合模型成為單階段的投資組合選擇理論的基礎(chǔ)。但實際投資活動通常是多階段的，投資者需要根據(jù)現(xiàn)實情況不斷地調(diào)整投資策略，來實現(xiàn)自己的預(yù)期目標(biāo)。 Duan 和 Ng［2，3］使用嵌入法和隨機線性控制法，提出了長期投資組合問題中均值-方差模型的有效投資策略。隨后，圍繞著長期多階段資產(chǎn)配置的研究大量展開［4-6］，但都是在完全市場條件下進行。因此，在不確定環(huán)境下的投資組合選擇問題已成為近年來研究的熱點。很多學(xué)者從現(xiàn)實出發(fā)，考慮了各種現(xiàn)實因素對資產(chǎn)配置的影響，如交易成本［7］、通貨膨脹［8］、投資者觀點［9］、破產(chǎn)約束［10］。

在現(xiàn)實資本市場中，投資者經(jīng)常面臨著除所持有的風(fēng)險資產(chǎn)自有風(fēng)險以外的風(fēng)險，背景風(fēng)險便是其中一種不可忽視的風(fēng)險，該風(fēng)險是指不能在金融市場上通過資產(chǎn)組合配置來進行分散的風(fēng)險［11］。 Jiang 等［12］、Li等［13］研究表明，投資者的勞動收入、創(chuàng)業(yè)收入等本身的不確定性因素也會沖擊長期投資組合的效用。勞動收入作為背景資產(chǎn)的一個重要組成部分，對投資者的長期投資組合的構(gòu)建具有重要的影響。Palia等［14］利用微觀層面的數(shù)據(jù)，驗證勞動收入波動率與家庭股市參與和持股比例的關(guān)系。Bellalah等［15］進一步探討了勞動收入風(fēng)險對資產(chǎn)配置的影響。宋煒和蔡明超［16］使用中國家庭金融調(diào)查數(shù)據(jù)進行實證研究，發(fā)現(xiàn)投資者的勞動收入不確定性會對股市參與度及風(fēng)險資產(chǎn)的投資產(chǎn)生一定的影響。

由此可見，勞動收入風(fēng)險會對投資者長期投資組合的構(gòu)建產(chǎn)生一定的影響，但以往對離散時間下的不完全市場的研究卻忽視了這一重要因素。因此，本文在離散時間下的多階段均值-方差模型中，引入勞動收入風(fēng)險，構(gòu)建含有勞動收入風(fēng)險的多階段均值-方差模型，然后利用改進的遺傳算法對該模型求解，并進行數(shù)值模擬，從而系統(tǒng)探討勞動收入風(fēng)險的引入及其變動對長期多階段投資組合的影響。

1 考慮勞動收入風(fēng)險的多階段均值-方差模型

1.1 模型的假設(shè)

為便于模型的建立，對關(guān)于考慮勞動收入風(fēng)險的多階段投資組合決策過程做出以下假設(shè)：

勞動收入假設(shè)：與普通的金融資產(chǎn)不同，勞動收入是一種不可交易、不可對沖的非資本資產(chǎn)。目前對勞動收入的不確定性的量化方法可分為以下3類：（1）使用職業(yè)等代理指標(biāo)來衡量收入不確定性，以Skinner［17］為代表；（2）采用與收入相關(guān)數(shù)據(jù)的方差和標(biāo)準(zhǔn)差等形式，代表人物有Carroll和 Samwick［18］；（3）采用問卷調(diào)查方式來獲取人們對勞動收入不確定性的感知程度，主要代表人物是 Guiso 等［19］。

本文參考Carroll和Samwick［18］對勞動收入的量化方法，假設(shè)勞動收入是隨機變量，其具有一個持久性的增長率，并且受到多樣化沖擊的影響，則勞動收入的變動過程為：

投資行為假設(shè)：整個投資過程中不會有額外的資金投入或抽出，投資者最終持有的資本市場獲得的財富只由最初的資金投資n次后獲得。另外，投資中不允許賣空行為。

資本市場假設(shè)：在整個交易過程中，不存在交易成本和稅收等費用，同時不受最小交易量的限制。

1.2 考慮勞動收入風(fēng)險的多階段均值-方差模型

假定資本市場是由n種風(fēng)險資產(chǎn)和1種無風(fēng)險資產(chǎn)構(gòu)成，風(fēng)險資產(chǎn)的收益率隨機，無風(fēng)險資產(chǎn)的收益率確定。投資者在0時刻開始投資，資本市場的初始投資財富為W0，共進行了T-1期的投資，在第t時期，無風(fēng)險資產(chǎn)的收益率為，第i種風(fēng)險資產(chǎn)的收益率為，投資者自身的勞動收入為Yt，用表示t時刻投資于風(fēng)險資產(chǎn)i的比例，則t時刻投資于無風(fēng)險資產(chǎn)的數(shù)量為1-是t時刻勞動收入中用以投資于資本市場的比例，本文中的t階段，是指t時刻到t＋1時刻這一時間段。投資者財富數(shù)量由勞動收入及資本市場上的金融財富構(gòu)成，則投資者期末財富總額為：

投資者的投資決策是以最大化終端財富的期望值、最小化終端財富的風(fēng)險為目標(biāo)，則含有勞動收入風(fēng)險的多階段投資組合模型為：

對于上述相互制約的雙目標(biāo)規(guī)劃問題，不存在嚴格意義上的最優(yōu)解。常用的方法是將多目標(biāo)規(guī)劃問題轉(zhuǎn)化為單目標(biāo)規(guī)劃問題進行求解。因此，本文引入風(fēng)險厭惡系數(shù)ω，把目標(biāo)模型轉(zhuǎn)化成以下模型：

式中，ω（ω＞0）為投資者的風(fēng)險厭惡系數(shù)，ω越大表示投資者風(fēng)險厭惡程度越高。

綜上，含有勞動收入風(fēng)險的多階段均值-方差模型為：

勞動收入風(fēng)險是指投資者由于自身未來勞動收入的不確定而承受的風(fēng)險。一般來說，勞動收入風(fēng)險主要來自于以下兩個方面：勞動收入增長率的波動性和勞動收入與風(fēng)險金融資產(chǎn)的相關(guān)性。具體來說，勞動收入風(fēng)險在式（5）中表現(xiàn)為勞動收入增長率的方差和勞動收入與風(fēng)險資產(chǎn)的協(xié)方差這兩個變量。

對以上模型進行求解，就可得到含有勞動收入風(fēng)險的多階段均值-方差模型的每一階段最優(yōu)的投資策略。

2 模型的求解

由于上述模型屬于動態(tài)規(guī)劃問題，很難求出解析解，一般采用遺傳算法來求解其最優(yōu)的投資策略。遺傳算法是一種進化算法，基本原理是仿效生物界中的“物競天擇、適者生存”的演化法則，將問題參數(shù)編碼為染色體，再進行選擇、交叉以及變異等運算，最終生成符合優(yōu)化目標(biāo)的染色體。該算法在求解非線性、多目標(biāo)等復(fù)雜系統(tǒng)優(yōu)化問題上具有全局優(yōu)化等優(yōu)點，用于解決投資組合優(yōu)化問題是十分有效的。因此，本文選擇遺傳算法來求解該模型。由于傳統(tǒng)的遺傳算法產(chǎn)生的初始種群會導(dǎo)致中心集聚現(xiàn)象，本文采用了Bermudez等［20］提出的對初始種群取對數(shù)然后標(biāo)準(zhǔn)化的方法，從而達到初始種群分布均勻的效果。

算法的步驟如下：

步驟1：初始化種群。設(shè)定遺傳算法相關(guān)參數(shù)，隨機初始化種群，按照式（6）對初始種群ui取對數(shù)、標(biāo)準(zhǔn)化：

步驟2：計算適應(yīng)度。把目標(biāo)函數(shù)作為個體的適應(yīng)度函數(shù)。函數(shù)值越大的個體，適應(yīng)度值越大，個體越優(yōu)。適應(yīng)度計算函數(shù)為：

步驟3：選擇操作。從舊群體中按照式（8）的概率選擇優(yōu)良個體組成新的種群，以繁殖得到下一代個體。

其中，F(xiàn)i為個體i的適應(yīng)度值，N為種群個體數(shù)目。

步驟4：交叉操作。從種群中按照設(shè)置好的交叉概率Pc隨機選擇兩個個體，按照式（9）進行交叉操作：

其中，b是區(qū)間［0，1］的隨機數(shù)。

步驟5：變異操作。按照變異概率對個體按式（10）進行變異，以產(chǎn)生更優(yōu)秀的新個體。

其中，amax是基因 ai，j的上界；amin是基因 ai，j的下界。

步驟6：根據(jù)最大迭代次數(shù)判斷終止與否，若達到最大迭代次數(shù)則輸出最優(yōu)的結(jié)果，若未達到則返回到步驟2，重新計算。

3 勞動收入風(fēng)險對多階段投資組合影響

3.1 勞動收入風(fēng)險的引入對多階段投資策略的影響

為檢驗所提出模型的有效性，從而對勞動收入風(fēng)險的引入及變動對多階段投資組合選擇的影響進行系統(tǒng)而細致的探討。本文使用實際的市場數(shù)據(jù)，采用改進的遺傳算法進行求解。

投資者從股票市場上選取4只股票，得到這4只股票2014～2016年收盤價數(shù)據(jù)，以1年為1個投資周期，即N＝4、T＝3，計算得到其年收益率及方差，相關(guān)數(shù)據(jù)如表1所示。投資者的風(fēng)險厭惡系數(shù)為2，即ω＝2。投資者投資于以上4只股票和1只無風(fēng)險資產(chǎn)國債，資本市場初始投資金額為1，初始勞動收入為1，連續(xù)進行3期的投資活動，并在每期期初調(diào)整各個資產(chǎn)的投資比例。無風(fēng)險資產(chǎn)的收益率為0.02，此外，假設(shè)每期投資于資本市場的勞動收入比例為0.5，即lt＝0.5。

由 《中國勞動統(tǒng)計年鑒》的數(shù)據(jù)計算得，我國居民勞動收入年增長率均值約為0.15，居民勞動收入年增長率方差約為0.0029，勞動收入增長率與股票年收益率略微正相關(guān)，協(xié)方差為0.006?？紤]到勞動收入增長率與風(fēng)險資產(chǎn)的其他相關(guān)關(guān)系，還設(shè)置了協(xié)方差為-0.006和0的情況，即勞動收入風(fēng)險分別與風(fēng)險資產(chǎn)正相關(guān)、負相關(guān)和不相關(guān)。此外，勞動收入增長率數(shù)值為0.04、0.1和0.2，設(shè)置3組勞動收入增長率方差數(shù)據(jù)來表示勞動收入風(fēng)險的變化，分別為0.0015、0.002和0.0025。

表1 股票的年收益率及方差

因為遺傳算法是一種隨機搜索方法，其最優(yōu)解會隨著參數(shù)的變化而變化，我們?nèi)?00個模擬值的平均數(shù)來解決這個問題。對于遺傳算法的相關(guān)參數(shù)設(shè)定，見表2。

表2 遺傳算法運行參數(shù)設(shè)定

檢驗所提出模型的有效性。使用改進的遺傳算法，考慮勞動收入增長率為0.1，勞動收入增長率與風(fēng)險資產(chǎn)收益率正相關(guān)，勞動收入增長率方差為0.0015時，每一期投資組合的風(fēng)險及收益。圖1（a～c）展示了每一期含有勞動收入風(fēng)險的投資組合有效前沿（V-E）。 由圖1（a～c）可知，在考慮勞動收入風(fēng)險時，投資組合的總風(fēng)險隨著勞動收入風(fēng)險的增加而增加，同時也表明隨著收益的增加，總風(fēng)險也是逐漸增加的，這與投資活動中高收益高風(fēng)險的原則是一致的，說明本文所提出的考慮勞動收入風(fēng)險的多階段均值-方差模型是有效的。

圖1 含有勞動收入風(fēng)險的投資組合每一時期有效前沿

為了進一步說明勞動收入風(fēng)險的引入對投資組合的影響，我們做出了多階段投資組合中考慮和不考慮勞動收入風(fēng)險兩種情形下有效前沿對比圖2（a～c）。顯然，在相同的投資收益下，考慮勞動收入風(fēng)險的投資組合有效前沿是在不考慮勞動收入風(fēng)險投資組合的右邊。即當(dāng)投資組合收益均值相同時，考慮勞動收入風(fēng)險的投資風(fēng)險要大于不考慮勞動收入風(fēng)險的投資風(fēng)險。因此，考慮勞動收入風(fēng)險能夠更好的反映投資者所面臨的真實的投資環(huán)境，投資者如果忽視自身勞動收入風(fēng)險，將會低估實際中所面臨的投資風(fēng)險，從而引起投資損失。

圖2 是否含有勞動收入風(fēng)險的投資組合每一時期有效前沿

3.2 勞動收入風(fēng)險的變動對多階段投資策略的影響

根據(jù)上文，我們發(fā)現(xiàn)在長期多階段投資中，勞動收入風(fēng)險的引入會對投資組合的構(gòu)建產(chǎn)生影響。那么勞動收入風(fēng)險的變化具體會對資產(chǎn)選擇產(chǎn)生什么影響呢？

勞動收入風(fēng)險的來源可以分為勞動收入本身的變化及勞動收入增長率與風(fēng)險資產(chǎn)的相關(guān)關(guān)系。那么，勞動收入風(fēng)險的變化可用勞動收入增長率方差以及其與風(fēng)險資產(chǎn)的相關(guān)系數(shù)來衡量。因此，本節(jié)改變這兩組數(shù)據(jù)，研究勞動收入風(fēng)險變化對多階段資產(chǎn)選擇的影響。設(shè)置勞動收入增長率的方差為0.0015、0.002和0.0025，勞動收入增長率與風(fēng)險資產(chǎn)協(xié)方差為-0.006、0和0.006，得到投資者在長期多階段每一期不同勞動收入風(fēng)險下的投資策略。

（1）本節(jié)給出了勞動收入增長率分別為0.04、0.1、0.2的情況下，勞動收入增長率的方差分別為0.0015、0.002和0.0025，且勞動收入增長率與風(fēng)險資產(chǎn)相互獨立時，投資者在3個時期的投資策略（表略）。當(dāng)勞動收入增長率與風(fēng)險資產(chǎn)無關(guān)時，勞動收入增長率的方差越大，風(fēng)險資產(chǎn)投資比例越小，無風(fēng)險資產(chǎn)投資比例越大。圖3（a～c）是勞動收入增長率與風(fēng)險資產(chǎn)無關(guān)時，無風(fēng)險資產(chǎn)的投資比例隨著勞動收入增長率方差變動的變化圖，這3個圖更加直觀的表明無風(fēng)險資產(chǎn)持有比例的變化趨勢。

（2）當(dāng)勞動收入與風(fēng)險資產(chǎn)正相關(guān)時，根據(jù)各資產(chǎn)的投資比例（表略），可畫出無風(fēng)險資產(chǎn)的投資比例，如圖 4（a～c）。 從圖 4（a～c）可看出，當(dāng)勞動收入與風(fēng)險資產(chǎn)正相關(guān)時，隨著勞動收入增長率方差的增大，投資者會減少風(fēng)險資產(chǎn)投資比例，增加對無風(fēng)險資產(chǎn)的投資比例。

（3）圖5（a～c）展示了勞動收入風(fēng)險與風(fēng)險資產(chǎn)負相關(guān)時各個資產(chǎn)投資比例及其變化。可以清晰的看出，當(dāng)勞動收入風(fēng)險與風(fēng)險資產(chǎn)負相關(guān)時，勞動收入增長率的方差越大，風(fēng)險資產(chǎn)投資比例越高，無風(fēng)險資產(chǎn)投資比例越低。

通過分析發(fā)現(xiàn)，勞動收入風(fēng)險的變化會導(dǎo)致投資策略不同。考慮勞動收入風(fēng)險的多期均值-方差模型更符合實際，投資者不僅要關(guān)注金融市場中的風(fēng)險，更不能忽視自身勞動收入風(fēng)險。

圖3 勞動收入與風(fēng)險資產(chǎn)相互獨立時每一時期無風(fēng)險投資比例

圖4 勞動收入與風(fēng)險資產(chǎn)正相關(guān)時每一時期無風(fēng)險投資比例

4 結(jié) 論

在實際金融市場中，投資者不僅需要處理金融資產(chǎn)自身產(chǎn)生的風(fēng)險，同時也要化解勞動收入風(fēng)險，使投資組合的風(fēng)險得到合理的分散，獲得預(yù)期收益。本文考慮了具有勞動收入風(fēng)險的多階段投資組合選擇問題，建立了考慮勞動收入風(fēng)險的多期均值-方差模型，設(shè)計改進的遺傳算法求解該模型，使用MATLAB進行數(shù)值模擬，利用中國股票市場數(shù)據(jù)進行檢驗，驗證了模型的有效性，并進一步分析勞動收入風(fēng)險的引入及變動對多期資產(chǎn)選擇的影響。結(jié)果表明，勞動收入風(fēng)險的變動對多階段投資組合的構(gòu)建具有復(fù)雜的影響。具體來說，在勞動收入與風(fēng)險資產(chǎn)相互獨立及風(fēng)險資產(chǎn)正相關(guān)的情況下，風(fēng)險資產(chǎn)的投資比例與勞動收入風(fēng)險的變化負相關(guān)，無風(fēng)險資產(chǎn)的投資份額與其正相關(guān)。當(dāng)勞動收入風(fēng)險與風(fēng)險資產(chǎn)負相關(guān)時，勞動收入風(fēng)險的變大將導(dǎo)致投資者增加風(fēng)險資產(chǎn)的持有比例，減少對風(fēng)險資產(chǎn)的投資。因此，在多期投資中考慮勞動收入風(fēng)險，可以更好地反映現(xiàn)實市場經(jīng)濟環(huán)境，幫助投資者有效地選擇自己的投資組合。

圖5 勞動收入與風(fēng)險資產(chǎn)負相關(guān)時每一時期無風(fēng)險投資比例