白艷紅 胡明 胡勁松

摘要：給出求拉格朗日插值多項(xiàng)式的一種簡(jiǎn)便方法，該方法只需利用代數(shù)精度的定義、克拉默法則及其范德蒙德行列式的結(jié)論，可以推導(dǎo)出任意階的拉格朗日插值多項(xiàng)式及其插值余項(xiàng)。

關(guān)鍵詞：拉格朗日插值;代數(shù)精度;范德蒙德行列式;克拉默法則

中圖分類號(hào)：O241.3?文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

文章編號(hào)：2095-5383（2020）03-0057-04

Abstract：A new method was proposed for solving Lagrange interpolation polynomial. This method only needs to use the definition of algebraic precision， Cramers rule and the conclusion of Vandermonde determinant to derive any order Lagrange interpolation polynomial and its interpolation remainder.

Keywords：Lagrange interpolation;algebraic precision;Vandermonde determinant;Cramers rule

插值法是一種來自生產(chǎn)實(shí)踐的數(shù)學(xué)方法[1-6]。很多實(shí)際問題都可以用一個(gè)函數(shù)表示某種內(nèi)在的聯(lián)系，這些函數(shù)有時(shí)候很復(fù)雜，不便于計(jì)算，而更多情況很難找到具體的函數(shù)，只能通過實(shí)驗(yàn)和觀測(cè)來了解。通?？梢岳貌逯捣?gòu)造一個(gè)性質(zhì)良好的簡(jiǎn)單函數(shù)，其圖形正好通過給定的觀測(cè)數(shù)據(jù)點(diǎn)，從而利用該簡(jiǎn)單函數(shù)來描述觀測(cè)數(shù)據(jù)的變化規(guī)律。

由于多項(xiàng)式函數(shù)結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單，數(shù)值計(jì)算和理論分析都很方便，所以常常利用拉格朗日插值法構(gòu)造多項(xiàng)式函數(shù)作為插值函數(shù)。但在一般教材里，通常都是先考慮簡(jiǎn)單情形，通過構(gòu)造滿足2（或3）個(gè)觀測(cè)數(shù)據(jù)點(diǎn)的一次（或二次）插值基函數(shù)，進(jìn)行線性組合從而得到線性（或拋物）插值多項(xiàng)式函數(shù);再將這種方法推廣到一般情形，構(gòu)造滿足n+1個(gè)觀測(cè)數(shù)據(jù)點(diǎn)的n次插值基函數(shù)，進(jìn)行線性組合從而得到n次拉格朗日插值多項(xiàng)式。本文和常規(guī)思路相反，首先將插值多項(xiàng)式表達(dá)為函數(shù)值的線性組合的形式，再利用代數(shù)精度的定義，得出對(duì)應(yīng)的系數(shù)，即插值基函數(shù)。求解時(shí)只需利用克拉默法則和Vandermonde行列式的結(jié)論。

1?拉格朗日插值多項(xiàng)式

本節(jié)首先介紹代數(shù)精度的定義，再根據(jù)該定義，重新推導(dǎo)一次、二次、n次插值多項(xiàng)式及其插值余項(xiàng)。

1.1?線性插值多項(xiàng)式

該格式恰好為拉格朗日線性插值多項(xiàng)式。

1.2?二次插值公式

該格式恰好為拉格朗日二次（拋物型）插值多項(xiàng)式。

1.5?算例

從上述例題可以看出：法一、法二的目標(biāo)均為求出函數(shù)值前面的系數(shù)（即：基函數(shù)）。不同點(diǎn)：法一利用了代數(shù)精度的定義，需要掌握范德蒙德行列式的結(jié)論和克拉默法則;法二利用了基函數(shù)的性質(zhì)，需要掌握多項(xiàng)式零點(diǎn)的性質(zhì)。這2種方法都簡(jiǎn)單易行，讀者可根據(jù)自己的情況掌握。

2?結(jié)論

本文提出的求解方法簡(jiǎn)單易于計(jì)算，并且更容易理解。將在后續(xù)內(nèi)容中討論如何利用代數(shù)精度推導(dǎo)Hermite插值方法，常微分方程初值問題的多步法等。

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