戴紹虞,潘一飛

(1.金陵科技學(xué)院理學(xué)院,江蘇 南京 211169) (2.美國普渡大學(xué)韋恩堡校區(qū)數(shù)學(xué)系,印第安納州 韋恩堡 46805)

本文的主要論題是研究加權(quán)希爾伯特空間L2(R2,e-|x|2)上的微分算子Δ2+a.a是一個實常數(shù). 我們利用復(fù)分析中研究柯西黎曼方程的赫曼德爾L2方法[1-3],證明了由該算子所構(gòu)成的微分方程的整體弱解的存在性,并證明了該算子的右逆有界算子的存在性.

為了便于敘述,首先介紹文中要用到的有關(guān)符號和概念. 記加權(quán)希爾伯特空間

式中,φ是Rn上的非負(fù)函數(shù). 設(shè)此空間中函數(shù)的內(nèi)積和范數(shù)分別為

時,我們稱f是u的弱α階偏導(dǎo)數(shù).

泊松方程[4]是偏微分方程中經(jīng)常研究的方程,它考慮的算子是拉普拉斯算子Δ. 在[5]中,我們討論了加權(quán)希爾伯特空間L2(Rn,e-|x|2)中的算子Δ+a,并且得到了如下結(jié)論:

定理A給定L2(Rn,e-|x|2)中任意一個函數(shù)f,總存在一個弱解u∈L2(Rn,e-|x|2)使得方程

Δu+au=f

在Rn中成立,且有范數(shù)估計

受定理A的啟發(fā),我們有興趣研究加權(quán)希爾伯特空間上的微分算子Δ2+a. 本文研究當(dāng)n=2時,加權(quán)希爾伯特空間L2(R2,e-|x|2)上的微分算子Δ2+a,我們得到如下結(jié)論:

定理1給定L2(R2,e-|x|2)中任意一個函數(shù)f,總存在一個弱解u∈L2(R2,e-|x|2)使得方程

Δ2u+au=f

在R2中成立,且有范數(shù)估計

此外,本文的新奇之處在于所討論的微分算子具有右逆有界算子,結(jié)論如下:

定理2存在有界算子T:L2(R2,e-|x|2)→L2(R2,e-|x|2) 使得

(Δ2+a)T=I,

且‖T‖≤1/32,其中I是恒等算子,‖T‖是算子T的范數(shù).

1 主要引理

注意到當(dāng)n=2時,Δ2=D(4,0)+D(0,4)+2D(2,2),為了便于敘述,設(shè)

下面基于泛函分析給出幾個主要引理.

式中,c是一個常數(shù).

(1)

(2)

(3)

設(shè)a0=a,I=Dα0,那么

(4)

所以由(3)和(4),引理得證.

我們先來計算A11. 因為

(5)

(6)

式中,

那么

注意到

和

則

注意到Pse-φ=D(s,0)e-φ,則

那么

(7)

由(6)可得

注意到Pie-φ=D(i,0)e-φ,則

那么

(8)

所以由式(5)、式(7)、式(8)可得

用上述方法同樣可計算得

所以

注意到由柯西-施瓦茨不等式,

所以,引理得證.

2 定理的證明

我們先給出定理1的證明.

下面我們給出定理2的證明.

證明設(shè)φ=|x|2,由定理1知,對L2(R2,e-|x|2)中任意一個函數(shù)f,總存在一個弱解u∈L2(R2,e-|x|2) 使得方程Hu=f在R2中成立,且有

記這個u為T(f),則T(f)滿足HT(f)=f,且有