周光發(fā)

(江蘇警官學院基礎課教研部,江蘇 南京 210031)

1994年,Xu[1]研究了如下單向流問題:

ut-Δu=σ(u)|φ|2,

(1)

φt-·(σ(u)φ)=G(t),inQT∶=Ω×(0,T),

(2)

(3)

u(x,0)=u0(x),φ(x,0)=φ0(x)inΩ.

(4)

這里有界光滑區(qū)域Ω?RN(N≥1),ν是?Ω的單位外法向量,T是任一給定正數.u表示溫度,φ是流體速率. (1)是熱傳導方程,(2)是特殊情形下的Navier-Stokes方程. 因此這是一特殊情形的Boussinesq方程. 關于不可壓Navier-Stokes方程和Boussinesq方程組的最新研究見參考文獻[2-6].

Xu[1]證明當成立如下條件

(5)

σ(u)是連續(xù)函數且存在常數σ0、σ1使

0<σ0≤σ≤σ1<+∞.

(6)

則問題(1)～(4)至少存在一個弱解.

本文將證明如下定理:

定理設(6)及如下條件成立

G(t)∈L1(0,T),φ0∈L2(Ω),u0∈Mb(Ω)(有界Radon測度),

(7)

則問題(1)～(4)至少存在一個弱解.

1 定理的證明

我們將采用正則化方法證明存在性定理. 設

(8)

且

Gε(t)→G(t)inL1(0,T),φ0ε→φ0inL2(Ω),u0ε→u0在分布的意義下,且‖u0ε‖L1(Ω)≤‖u0‖Mb(Ω).

(9)

設以Gε(t),φ0ε,u0ε為已知數據的問題(1)～(4)的解為(uε,φε)[1],下面作解(uε,φε)與ε無關的一致估計,然后利用緊性定理完成定理的證明.

(10)

則

(11)

引理2

‖φε‖L∞(0,T;L2(Ω))+‖φε‖L2(0,T;H1(Ω))≤C,

(12)

‖φεt‖X≤C,X=L1(0,T)+L2(0,T;H-1(Ω)).

(13)

這里及以后C均表示與ε無關的正常數.

證明在方程(2)兩端同時乘以φε并積分,有

(14)

利用引理1即得(12). 由(12)及方程(2)即得(13).

下面利用文獻[7]中方法對uε給出先驗估計.

引理3

‖uε‖L∞(0,T;L1(Ω))≤C.

(15)

證明取Lipschitz連續(xù)函數ψ(s):R→[-1,1]為:

(16)

在方程(1)兩端同時乘以ψ(uε)χ(0,t)積分,有

從而

(17)

這里

(18)

引理4

(19)

‖uεt‖X≤C.

(20)

其中X∶=L1(0,T;L1(Ω))+L1(0,T;(W1,q(Ω))*).

證明利用(19)及方程(1)而證(20)成立. 只須證明(19)成立,為此取Lipschitz連續(xù)函數ψ(s):R→[-1,1]為

(21)

在方程(1)兩端同時乘以ψ(uε)并積分,可得到

從而

(22)

其中An={(x,t)∈Ω×(0,T);n≤|uε(x,t)|≤n+1}.

從而

陶行知說：“生活即教育”。小學生的生活豐富多彩，他們喜歡玩，喜歡鬧，只有在生活中，小學生的想象力和思維能力才能被充分調動起來，使學生獲得豐富的數學感知。教師要重視數學和生活的結合，在生活中啟發(fā)學生，提高學生運用數學知識解決生活問題的能力。

(23)

利用插值不等式

(24)

及Sobolev-Poincaré不等式

(25)

可得到

(26)

將(26)代入(23)并利用(25)即得到(19).

利用Simon J緊性原理[8],可得

uε→ustrongly inLq(Ω×(0,T))and a.e.Ω×(0,T),

(27)

uε?uweakly inLq(0,T;W1,q(Ω)),

(28)

φε→φstrongly inL2(Ω×(0,T))and a.e.Ω×(0,T),

(29)

φε?φweakly inL2(0,T;H1(Ω)),

(30)

利用σ的連續(xù)性及有界性及(27)可知

σ(uε)→σ(u)strongly inLp(Ω×(0,T)),?p>1,

(31)

σ(uε)φε→σ(u)φ在分布意義下

(32)

由(9)、(29)、(32)可知φ滿足

φt-·(σ(u)φ)=G(t),

(33)

由(30)、(3)知

φ|ST=0.

(34)

由Simon[8]緊性定理知

φ|t=0=φ0(x)∈L2(Ω).

(35)

這樣我們可以證明

引理5

(36)

證明

(φε-φ)t-·((σ(uε)φε)-(σ(u)φ))=Gε(t)-G(t),

(37)

(φε-φ)|ST=0,

(38)

(φε-φ)|t=0=φ0ε-φ0→0 strongly inL2(Ω).

(39)

在方程(37)兩端同時乘以φε-φ并積分,有

從而

(40)

利用Lebesgue控制收斂定理可知

(41)

把(41)代入(40)即可知引理5成立.

定理的證明利用引理4、5易證定理成立.