陳政清 張繼峰 牛華偉 朱洋

摘? ?要：研究了MTVMD（multiple tuned viscous mass damper）對單自由度結(jié)構(gòu)在簡諧荷載作用下的參數(shù)優(yōu)化設(shè)計及減震效果，分析了結(jié)構(gòu)參數(shù)變動時系統(tǒng)的魯棒性.以位移和加速度動力放大系數(shù)為優(yōu)化目標(biāo)，運(yùn)用改進(jìn)模式搜索法搜尋MTVMD最優(yōu)參數(shù).分析表明，增加質(zhì)量比和子TVMD個數(shù)，MTVMD的減震性能增強(qiáng)，且結(jié)構(gòu)參數(shù)變動時，系統(tǒng)魯棒性增強(qiáng).考慮阻尼器在實(shí)際工作狀態(tài)時的參數(shù)可能會偏離最優(yōu)參數(shù)，假定各子TVMD參數(shù)偏離服從正態(tài)分布，利用蒙特卡羅試驗(yàn)法對比分析了STVMD（single tuned viscous mass damper）和MTVMD自身參數(shù)最不利偏離狀態(tài)時的減震有效性和可靠性.數(shù)值結(jié)果表明，STVMD的減震有效性和可靠性與子TVMD個數(shù)正相關(guān)，MTVMD則存在一個最優(yōu)子TVMD個數(shù)使得減震有效性最佳;STVMD和MTVMD減震性能與參數(shù)最大偏離率負(fù)相關(guān).

關(guān)鍵詞：振動控制;調(diào)諧粘性質(zhì)量阻尼器;參數(shù)優(yōu)化;參數(shù)偏離;減震性能

中圖分類號：U441.3? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

文章編號：1674—2974（2020）09—0001—09

Abstract：The parameter optimization design and damping effect of the single-degree-of-freedom structure under the simple harmonic load by the MTVMD （multiple tuned viscous mass damper） are studied. The robustness of the system is analyzed when the structural parameters are changed. Taking the displacement and acceleration dynamic amplification factor as the optimization targets， the improved mode search method is used to search for the optimal parameters of MTVMD. The analysis shows that the increase of mass ratio and of sub-TVMD number， the damping performance of MTVMD is enhanced， and the structural robustness is enhanced when the structural parameters change. Considering the actual working state of the damper， the parameters may deviate from the optimal parameters. Assuming that the deviation of each sub-TVMD parameter obeys normal distribution， the Monte Carlo test method is used to compare and analyze the damping effectiveness and reliability of STVMD （single tuned viscous mass damper） and MTVMD in the most unfavorable deviation state of their? parameters. Numerical results show that the damping effectiveness and reliability of STVMD are positively correlated with the number of sub-TVMD， while MTVMD has an optimal sub-TVMD number to make the damping effectiveness best. The damping performance of STVMD and MTVMD is negatively correlated with the maximum deviation rate of parameters.

Key words：vibration control;tuned viscous mass damper（TVMD）;parameter optimization;deviation of parameters;damping performance

我國地處環(huán)太平洋地震帶和歐亞地震帶之間，地震基本烈度6度及6度以上地區(qū)幾乎遍布全國，地震造成的橋梁損壞非常嚴(yán)重[1]. 橋梁抗震方法主要有基礎(chǔ)隔震、耗能減震和振動控制[2]. 李立峰等提出剪力鍵配合滑板式橡膠支座能起較好減震效果，但需確定合理的剪力鍵數(shù)量[3]. 李曉波指出大跨度連續(xù)梁Lock-up裝置可合理分配主梁地震慣性力，但不耗散地震能量，且改變了結(jié)構(gòu)動力特性[4];張文學(xué)等提出了加速度鎖死銷裝置并通過數(shù)值模擬其對連續(xù)梁橋具有良好的減震效果，但減震效果取決于鎖死球運(yùn)動軌跡[5];李勇等以加裝了黏滯阻尼器的連續(xù)梁橋進(jìn)行振動臺試驗(yàn)，試驗(yàn)表明黏滯阻尼器能減小固定墩墩頂及活動支座的縱向位移[6].

近年來，土木工程領(lǐng)域發(fā)展了利用慣質(zhì)元件產(chǎn)生的慣性力進(jìn)行結(jié)構(gòu)抗震的新方法，其通過滾珠絲杠、齒輪齒條及杠桿擺等力學(xué)放大機(jī)制可獲得的表觀質(zhì)量遠(yuǎn)大于實(shí)際質(zhì)量.Watanabe、Nakamura和陳政清等分別把慣質(zhì)元件與不同形式的阻尼元件聯(lián)合形成黏滯質(zhì)量阻尼器、電磁質(zhì)量阻尼器和電渦流質(zhì)量阻尼器，產(chǎn)生的大量級抵抗力達(dá)到了結(jié)構(gòu)減震需求[7-9].Ikago等提出先將慣質(zhì)元件和黏滯阻尼元件并聯(lián)，再與彈簧串聯(lián)，形成調(diào)諧黏性質(zhì)量阻尼器（TVMD），并詳細(xì)推導(dǎo)了無阻尼單自由度結(jié)構(gòu)在簡諧荷載作用下TVMD最優(yōu)參數(shù)解析式[10].新城季樹等研究了多質(zhì)點(diǎn)系TVMD的布置方式及其減震效果，采用數(shù)值法和解析法獲取阻尼器的最佳參數(shù)[11].文永奎等詳細(xì)闡述了TVMD用于單自由度時的減振機(jī)理，分析了附加剛度和附加阻尼效應(yīng)，通過基于H2性能的梯度優(yōu)化法完成MTVMD的參數(shù)優(yōu)化[12]. 閻武通等建立了地震作用下安裝了MTVMD的多自由度結(jié)構(gòu)的狀態(tài)空間控制模型與傳遞函數(shù)模型，提出了分步參數(shù)掃描法進(jìn)行MTVMD的參數(shù)優(yōu)化[13]. 裴星洙等建立了安裝TVMD的鋼框架結(jié)構(gòu)在地震作用下的能量方程，提出了質(zhì)量阻尼和黏性阻尼能量分散系數(shù)的簡化計算公式，并利用時程分析法驗(yàn)證了其準(zhǔn)確性[14].中南滋樹等采用定點(diǎn)理論優(yōu)化了兩重調(diào)諧黏性質(zhì)量阻尼器參數(shù)，通過試驗(yàn)驗(yàn)證了兩重調(diào)諧質(zhì)量阻尼器減震效果遠(yuǎn)勝于單重調(diào)諧黏性質(zhì)量阻尼器[15].

以往研究提出的TVMD參數(shù)優(yōu)化方法多針對單調(diào)諧頻率黏性質(zhì)量阻尼器，對多調(diào)諧頻率黏性質(zhì)量阻尼器研究甚少，且尚未考慮實(shí)際工程中MTVMD系統(tǒng)自身參數(shù)的隨機(jī)偏離，沒有對參數(shù)偏離后MTVMD的減震效果做出有效評估.針對以上不足，本文研究了多調(diào)諧頻率黏性質(zhì)量阻尼器的減震性能，分析了單自由度結(jié)構(gòu)在簡諧激勵作用下的動力響應(yīng)，給出了基于位移及加速度響應(yīng)為控制目標(biāo)的MTVMD參數(shù)優(yōu)化方法，探究了服從正態(tài)分布的MTVMD參數(shù)在最不利偏離狀態(tài)時，結(jié)構(gòu)阻尼比、質(zhì)量比、調(diào)諧頻率個數(shù)和參數(shù)最大偏離率對減震性能的影響，對MTVMD的設(shè)計具有一定的參考價值.

1? ?MTVMD減震機(jī)理與參數(shù)優(yōu)化方法

模式搜索法是一種不需要對目標(biāo)函數(shù)求導(dǎo)的直接優(yōu)化方法，具有迭代簡單，編程容易的特點(diǎn).對于式（11）（12），不易求得對各參數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)，因此采用模式搜索法具有極大的優(yōu)勢. 傳統(tǒng)模式搜索法求解含n個變量的函數(shù)f（x1? x2? …? xn）最小值的計算流程如圖2（a）所示[16].

傳統(tǒng)模式搜索法求得的最優(yōu)解與初始基點(diǎn)和允許誤差ε大小有關(guān)，可能陷入局部最優(yōu)解. 為了改善傳統(tǒng)模式搜索法的全局尋優(yōu)能力，在搜索范圍（LB，UB）內(nèi)隨機(jī)生成m個初始基點(diǎn)（x（1）1 x（1）2 x（1）m），其中第 i個初始基點(diǎn)的計算如式（15），式中LB和UB分別為搜索上、下邊界，rand（0，1）為0到1之間的隨機(jī)數(shù)，利用傳統(tǒng)模式搜索法求得與各個初始基點(diǎn)相對應(yīng)的最優(yōu)解（Xopt1 Xopt2 Xoptm）.

為了提高該算法的局部尋優(yōu)能力，首先根據(jù)式（16）生成各最優(yōu)解的鄰域（LBnew，UBnew） ，式中α1為搜索范圍收縮率，再根據(jù)式（17）在鄰域內(nèi)隨機(jī)生成初值Xsjd，對已得到的m個最優(yōu)點(diǎn)進(jìn)行N次局部尋優(yōu)，計算流程如圖2（b）所示[17]：

2? ?MTVMD參數(shù)優(yōu)化后系統(tǒng)動力響應(yīng)

2.1? ?調(diào)諧頻率個數(shù)效應(yīng)

為研究調(diào)諧頻率個數(shù)對系統(tǒng)響應(yīng)的影響，取主結(jié)構(gòu)阻尼比ξp = 2%，MTVMD總質(zhì)量比μ = 1%，分別以式（11）和式（12）為目標(biāo)函數(shù)，按改進(jìn)模式搜索法求得不同調(diào)諧頻率個數(shù)下位移和加速度最優(yōu)頻響曲線，及其對應(yīng)的最優(yōu)參數(shù)組合分別如圖3和圖4所示.

由圖3（a）和圖4（a）可知，具有n個調(diào)諧頻率的MTVMD系統(tǒng)，其最優(yōu)頻響曲線有n+1個等高波峰;調(diào)諧頻率個數(shù)相同時，加速度頻響曲線峰值略大于位移，但不超過1%;隨著調(diào)諧頻率個數(shù)增多，位移和加速度放大系數(shù)峰值都降低，當(dāng)調(diào)諧頻率個數(shù)大于5時，峰值降低速率減緩.主結(jié)構(gòu)未加裝TVMD時，其位移和加速度動力放大系數(shù)峰值分別為25.00和25.02，加裝STVMD的減震效果分別為62.47%和62.29%，與文獻(xiàn)[12]利用穩(wěn)態(tài)諧振掃頻分析所得結(jié)果幾乎一致，MTVMD的減震效果更加明顯.由圖3（b）和4（b）可知，STVMD的最優(yōu)調(diào)諧頻率大于主結(jié)構(gòu)的基頻，位移響應(yīng)最優(yōu)時的調(diào)諧頻率略高于加速度，隨著調(diào)諧頻率個數(shù)增加，MTVMD控制的頻帶寬增大，更有利于結(jié)構(gòu)減震;各子TVMD的最優(yōu)頻率比近似線性分布;由圖3（c）和圖4（c）易知，各子TVMD的最優(yōu)阻尼比近乎相等，與調(diào)諧頻率個數(shù)呈負(fù)相關(guān).考慮位移和加速度得到的最優(yōu)參數(shù)不同，但差距不大，特別是在質(zhì)量比較小時.工程中如要同時考慮兩者，最優(yōu)參數(shù)可取為兩者的平均值，也可根據(jù)側(cè)重點(diǎn)的不同，可賦予位移和加速度權(quán)重后求加權(quán)作為目標(biāo)函數(shù)尋找最優(yōu)解.

2.2? ?主結(jié)構(gòu)參數(shù)變化后的魯棒性

使用MTVMD進(jìn)行減震控制時，主結(jié)構(gòu)參數(shù)變化必然導(dǎo)致MTVMD的頻率比和阻尼比偏離最優(yōu)值，減震效果減弱.主結(jié)構(gòu)的質(zhì)量通常不會發(fā)生改變，僅考慮剛度和阻尼系數(shù)的變化.定義評估系統(tǒng)魯棒性指標(biāo)為R=SDAF（h）或R=ADAF（h），即主結(jié)構(gòu)參數(shù)偏離后動力放大系數(shù)曲線峰值，R越大，表示結(jié)構(gòu)參數(shù)變化后減震能力越弱，系統(tǒng)魯棒性越差. 圖5～圖7分別是主結(jié)構(gòu)質(zhì)量、剛度和阻尼系數(shù)發(fā)生偏離，位移放大系數(shù)最優(yōu)時系統(tǒng)的魯棒性指標(biāo). 由圖5及圖6可知，結(jié)構(gòu)質(zhì)量或剛度發(fā)生偏離時，魯棒性指標(biāo)曲線呈“V”型，子TVMD個數(shù)相同時，質(zhì)量比增大，魯棒性增強(qiáng);質(zhì)量比相同，剛度負(fù)向偏離時，MTVMD的放大系數(shù)峰值變化幅度大于STVMD，但其魯棒性仍然優(yōu)于STVMD，且子TVMD個數(shù)越多，魯棒性越好. 由圖7可知，系統(tǒng)阻尼系數(shù)偏離時，魯棒性指標(biāo)曲線呈單邊下降，結(jié)構(gòu)阻尼系數(shù)增大，魯棒性增強(qiáng);阻尼系數(shù)偏離對MTVMD帶來的影響遠(yuǎn)不及質(zhì)量和剛度偏離.結(jié)構(gòu)-TVMD系統(tǒng)耗能來自結(jié)構(gòu)阻尼和TVMD提供的阻尼;質(zhì)量和剛度的變化都會改變結(jié)構(gòu)自身頻率，導(dǎo)致按原結(jié)構(gòu)計算得到的TVMD最優(yōu)頻率比和阻尼比不再最優(yōu)，使阻尼器的減震作用減弱，系統(tǒng)耗能取決于TVMD，所以魯棒性指標(biāo)曲線呈“V”型;而結(jié)構(gòu)阻尼系數(shù)變化對結(jié)構(gòu)的頻率影響甚微，但對振幅有較大影響.結(jié)構(gòu)阻尼系數(shù)變化，程序?qū)さ玫腡VMD最優(yōu)參數(shù)變化甚微，減震作用削弱小，結(jié)構(gòu)耗能取決于自身阻尼，阻尼系數(shù)增大，耗能增加，魯棒性增強(qiáng)，所以魯棒性指標(biāo)單邊下降.

3? ?MTVMD自身參數(shù)偏離可靠性分析

3.1? ?MTVMD系統(tǒng)自身參數(shù)偏離模型

MTVMD在實(shí)際制作、運(yùn)輸、安裝以及使用過程中參數(shù)均可能偏離最優(yōu)值，假定各參數(shù)獨(dú)立且服從正態(tài)分布，數(shù)學(xué)表達(dá)式如下：

式中：上標(biāo)real表示阻尼器處于實(shí)際工作狀態(tài)，f? reali、ξ? reali分別為第i個子TVMD實(shí)際工作狀態(tài)時的頻率比和阻尼比，上標(biāo)opt表示阻尼器處于理想工作狀態(tài)， f? opti? 、ξ? opti? 分別為理論上的最優(yōu)頻率比和最優(yōu)阻尼比. σ 2fi、σ 2ξi分別為隨機(jī)變量f? reali、ξ? reali的方差.

記子TVMD頻率比和阻尼比的最大偏離率分別為ηf和ηξ，由概率論“3σ”法則可知，一個服從正態(tài)分布N（E，σ2）的數(shù)落在區(qū)間（E - 3σ，E + 3σ）內(nèi)的概率為99.74%，幾乎為必然事件，則第i個子TVMD頻率比和阻尼比的標(biāo)準(zhǔn)差σf i、σξ i可由下式計算：

3.2? ?MTVMD減震有效性和可靠性分析方法

定義MTVMD系統(tǒng)最不利偏離狀態(tài)時的減震可靠性指標(biāo)βmax如式（23），即參數(shù)偏離后與參數(shù)最優(yōu)時減震有效性的波動程度. βmax越大，MTVMD減震可靠性越弱.

式中：ropt為阻尼器處于理想工作狀態(tài)時，即參數(shù)最優(yōu)時的減震有效性.

3.3? ?數(shù)值模擬結(jié)果與分析

取子TVMD頻率比和阻尼比的最大偏離率ηf和ηξ分別為5%和25%，蒙特卡羅試驗(yàn)次數(shù)N =

10 000，以位移放大系數(shù)曲線為目標(biāo)函數(shù)，分別對STVMD和MTVMD系統(tǒng)進(jìn)行分析.工程中考慮工作空間不足或避免因單個阻尼器質(zhì)量過大而引起局部應(yīng)力過大，會采用分布布置形式，將STVMD分為參數(shù)均相同的n個子TVMD，此時仍只具有單一調(diào)諧頻率;MTVMD各子TVMD參數(shù)各不相同，具有n個調(diào)諧頻率. 圖8和圖10是計算了5種工況下STVMD和MTVMD兩種系統(tǒng)在最不利偏離狀態(tài)時的減震有效性指標(biāo)，圖9和圖11為減震可靠性指標(biāo).

圖8和圖10表明在最不利偏離狀態(tài)時，隨著子TVMD個數(shù)的增加，STVMD的減震有效性越來越強(qiáng)，增強(qiáng)趨勢先快后慢，減震有效性指標(biāo)是反比狀曲線，呈收斂狀，可預(yù)測最終將趨于參數(shù)最優(yōu)時的減震有效性;然而，MTVMD的減震有效性是先增大后減小，減震有效性指標(biāo)是凹形曲線，呈發(fā)散狀，凹點(diǎn)對應(yīng)的子TVMD個數(shù)即為最佳調(diào)諧頻率個數(shù). 一方面MTVMD的減震有效性隨著子TVMD個數(shù)的增加而增強(qiáng)，另一方面，MTVMD的子TVMD參數(shù)互不相同，其參數(shù)組合復(fù)雜性隨子TVMD個數(shù)增加而增大，因此給予參數(shù)微小擾動便會引起減震有效性減弱.所以當(dāng)子TVMD個數(shù)較少時，前者為主導(dǎo)因素，子TVMD個數(shù)達(dá)到一定量時，后者為主導(dǎo)因素，因而MTVMD減震有效性指標(biāo)成凹形曲線，存在最優(yōu)調(diào)諧頻率個數(shù).

另外，隨著主結(jié)構(gòu)阻尼比和阻尼器質(zhì)量比增大，STVMD和MTVMD系統(tǒng)的減震有效性均增強(qiáng).數(shù)值結(jié)果表明，在自身參數(shù)偏離模型的最不利狀態(tài)時，STVMD的減震有效性會優(yōu)于MTVMD，子TVMD個數(shù)越多、結(jié)構(gòu)阻尼比或質(zhì)量比越小時表現(xiàn)越明顯，圖10中，ξp = 2%，μ = 1%時，STVMD的減震有效性始終優(yōu)于MTVMD.

圖9和圖11表明，在自身參數(shù)偏離的最不利狀況下，STVMD的減震可靠性隨著子TVMD個數(shù)的增加而增強(qiáng)，MTVMD則相反;STVMD的減震可靠性明顯優(yōu)于MTVMD，子TVMD個數(shù)越多，優(yōu)勢越明顯.增大結(jié)構(gòu)阻尼比和質(zhì)量比均能提高STVMD和MTVMD的減震可靠性.減震可靠性是減震有效性的另一表現(xiàn)形式，所以變化規(guī)律與減震有效性相同.

為了分析MTVMD自身參數(shù)偏離模型的最大偏離率對減震性能的影響，取最大偏離率η = ηf = ηξ∈（0，0.6），間隔0.02計算一次，STVMD和MTVMD的子TVMD個數(shù)均為5，ξp = 2%，蒙特卡羅數(shù)N=10 000進(jìn)行數(shù)值計算. 圖12與圖13描述了最不利偏離狀態(tài)時，STVMD和MTVMD兩種系統(tǒng)的減震有效性與可靠性.

由圖12和圖13可知，在各種質(zhì)量比下，最大偏離率較小時，MTVMD減震有效性和可靠性優(yōu)于STVMD，隨著最大偏離的增大，STVMD和MTVMD的減震有效性和可靠性指標(biāo)逐漸增大，呈發(fā)散狀態(tài)，STVMD減震性能優(yōu)于MTVMD，說明MTVMD自身參數(shù)發(fā)生較小波動時，各參數(shù)可能彼此靠近最優(yōu)值;由圖13可知，當(dāng)最大偏離率大于0.3時，STVMD和MTVMD的減震可靠性下降速度加快，但質(zhì)量比較小時（μ = 1%）并不相符，原因在于小質(zhì)量比MTVMD系統(tǒng)自身參數(shù)發(fā)生較大偏離時，減震效果已經(jīng)趨于無控結(jié)構(gòu)，也說明了較大質(zhì)量比的MTVMD系統(tǒng)更能抵抗因自身參數(shù)偏離導(dǎo)致的減震性能變差.

4? ?結(jié)? ?論

1） 改進(jìn)模式搜索法能較準(zhǔn)確搜尋以位移或加速度響應(yīng)為控制目標(biāo)時的MTVMD最優(yōu)參數(shù);系統(tǒng)參數(shù)最優(yōu)時，MTVMD的減震效果優(yōu)于STVMD，調(diào)諧頻率個數(shù)越多，減震效果越好.

2）主結(jié)構(gòu)參數(shù)偏離會影響MTVMD的減震性能，提高結(jié)構(gòu)阻尼比和MTVMD的質(zhì)量比及子TVMD個數(shù)，能夠提高M(jìn)TVMD的減震性能，同時可以提高系統(tǒng)魯棒性.

3）結(jié)構(gòu)及MTVMD系統(tǒng)參數(shù)不變或只有結(jié)構(gòu)自身參數(shù)發(fā)生變化時，增加子TVMD個數(shù)可增強(qiáng)減震性能和魯棒性;MTVMD自身參數(shù)發(fā)生偏離時，STVMD的減震有效性和可靠性隨著子TVMD個數(shù)增加而增強(qiáng);MTVMD則存在一個最優(yōu)子TVMD個數(shù)使得減震有效性最佳;MTVMD減震性能與參數(shù)最大偏離率呈負(fù)相關(guān).

4）實(shí)際工程中，黏滯阻尼器多為油阻尼器，漏油現(xiàn)象嚴(yán)重，必然導(dǎo)致阻尼器自身參數(shù)發(fā)生變化而偏離理論工作狀態(tài)，從而削弱了阻尼器的減震作用.所以，在設(shè)計MTVMD時，當(dāng)不能保證阻尼器性能穩(wěn)定、質(zhì)量絕對可靠時，不要盲目追求增加子TVMD個數(shù)來增強(qiáng)魯棒性.

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