魏 穎，王立波

(1.北華大學(xué)計(jì)算機(jī)科學(xué)技術(shù)學(xué)院，吉林 吉林 132021；2.北華大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，吉林 吉林 132013)

近年來(lái)，具p-Laplace算子或脈沖效應(yīng)的非線性邊值問(wèn)題的多解存在性研究受到了諸多學(xué)者的廣泛關(guān)注[1-9]，其中多數(shù)要求方程右端非線性項(xiàng)在次線性及超線性之間具有某些擾動(dòng)性.2010年，Wang L等[10]研究了一類具p-Laplace算子的 Sturm-Liouville脈沖邊值問(wèn)題在線性邊界條件下無(wú)界解序列的存在性.

受上述文獻(xiàn)啟發(fā)，本文主要研究具p-Laplace算子的脈沖邊值問(wèn)題(BVP)：

-(Φp(u′))′=f(t，u)，t∈(0，1){t1，…，tm}，

(1)

u′(0)=g0(u(0))，u′(1)=-g1(u(1))，

(2)

ΔΦp(u′(tk))=Ik(u(tk))，k∈{1，2，…，m}

(3)

無(wú)界解序列的存在性結(jié)果.其中：1

1 主要結(jié)果

為方便起見(jiàn)，本文用(H) 表示如下條件：

(H)函數(shù)f：[0，1]×→連續(xù)，函數(shù)g0、g1、Ik：→連續(xù)且單調(diào)不減，k=1，2，…，m.

定義泛函φ：W1，p(0，1)→為

(4)

其中：W1，p(0，1)為通常的Sobolev空間，范數(shù)配備為

定義1稱函數(shù)α∈W1，p(0，1)為BVP(1)～(3)的下解，若

-(Φp(α′(t)))′≥f(t，α(t))，t∈(0，1){t1，…，tm}，

α′(0)≥g0(α(0))，α′(1)≤-g1(α(1)).

稱函數(shù)β∈W1，p(0，1)為BVP(1)～(3)的上解，若β滿足上述相反的不等式.

定理1令α、β為BVP(1)～(3)的下、上解且滿足α≤β，t∈[0，1].假設(shè)條件(H)成立，則由式(4)定義的泛函φ在[α，β]上能取到最小值，即存在滿足α≤u≤β，t∈[0，1]的u∈W1，p(0，1)使得

進(jìn)一步，u為BVP(1)～(3)的解.

證明：考慮修正問(wèn)題

-(Φp(u′))′+φp(u)=φp(q(t，u))+f(t，q(t，u))，t∈(0，1){t1，…，tm}，

(5)

u′(0)=g0(u(0))，u′(1)=-g1(u(1))，

(6)

ΔΦp(u′(tk))=Ik(u(tk))，k∈{1，2，…，m}，

(7)

其中q(t，u)=max{α(t)，min{u，β(t)}}.

下面分2步證明.

對(duì)任意的v∈W1，p(0，1)，有

從而u滿足

(Φp(u′))′-φp(u)+φp(q(t，u))+f(t，q(t，u))=0，t∈(tk，tk+1)，

即u滿足式(5).

即ΔΦp(u′(tk))=Ik(u(tk))，?k∈{1，2，…，m}.

對(duì)式(5)在(0，1)上應(yīng)用分部積分，由u滿足式(5)及式(7)，可得

[-Φp(u′(0))+Φp(g0(u(0)))]v(0)+[Φp(u′(1))+Φp(g1(u(1)))]v(1)=0.

下證u滿足式(6).不失一般性，假設(shè)u′(0)-g0(u(0))>0.令v(t)=1-t∈C，可得以下矛盾：

0=-Φp(u′(0))+Φp(g0(u(0)))>0，

從而u′(0)=g0(u(0)).類似可得u′(1)=-g1(u(1))，從而u為問(wèn)題(5)～(7)的解.

第2步.u為BVP(1)～(3)的解.

只需證明α≤u≤β，t∈[0，1].

[Φp(u′(1))-Φp(β′(1))](u(1)-β(1))+-[Φp(u′(0))-Φp(β′(0))](u(0)-β(0))+-

由Φp的單調(diào)性，有

若u(0)-β(0)≤0，有

[Φp(u′(0))-Φp(β′(0))](u(0)-β(0))+=0.

若u(0)-β(0)>0，由上下解的定義及函數(shù)g0的單調(diào)性可得

u′(0)-β′(0)≥g0(u(0))-g0(β(0))≥0.

從而Φp(u′(0))-Φp(β′(0))>0且-[Φp(u′(0))-Φp(β′(0))](u(0)-β(0))+≤0.

類似可得[Φp(u′(1))-Φp(β′(1))](u(1)-β(1))+≤0.從而

即u(t)≤β(t)，t∈[0，1].類似可得u(t)≥α(t)，t∈[0，1]，從而u為BVP(1)～(3)的解.

定理2設(shè)函數(shù)f：[0，1]×→連續(xù).假設(shè)

(A2)在[0，1]上一致地有

-

(A3)ug0(u)≥0，?u∈且

則BVP(1)～(3)有兩個(gè)解序列{un}及{vn}，滿足

…≤vn+1≤vn≤…≤v1≤u1≤…≤un≤un+1≤…

及

證明：下面分5步證明.

第1步.對(duì)任意的M≥0，BVP(1)～(3)存在上解β，使得β≥M，t∈[0，1].

由(A1)，存在K≥0使得在[0，1]×[0，+)上有

f(t，u)+K≥0

(8)

及

F(t，u)+Ku≥0.

(9)

對(duì)任意給定的M>0，選取充分小的正數(shù)ε.由(A3)，存在d>0，使得

(10)

定義β為初值問(wèn)題

(Φp(u′))′+f(t，u)+K=0，u(0)=d，u′(0)=0

F(t，β(t))+Kβ(t)≥0，t∈[0，t0].

由式(10)，有

即0≤-β′(t)≤εd.則對(duì)任意的t∈[0，t0]，d-β(t)≤εdt0≤εd，得如下矛盾：

β′(0)-g0(β(0))≤0

及

第2步.對(duì)任意的M≥0，BVP(1)～(3)存在下解α，使得α≤-M，t∈[0，1].

由(A1)，存在L≥0使得在[0，1]×(-，0]上有

f(t，u)-L≤0

(11)

及

F(t，u)-Lu≥0.

(12)

對(duì)任意給定的M>0，選取充分小的正數(shù)δ.由(A3)，存在d>0，有

(13)

定義α為初值問(wèn)題

(Φp(u′))′+f(t，u)-L=0，u(0)=-d，u′(0)=0

即0≤α′(t)≤δd，從而對(duì)任意的t∈[0，t0]，α(t)+d≤δdt0≤δd，得矛盾：

α′(0)-g0(α(0))≥0

且

第3步.存在滿足sn→+的正數(shù)序列{sn}使得φ(sn)→-.

由(A2)，存在正數(shù)序列{sn}，使得sn→+且

則有

第4步.存在滿足tn→-的負(fù)數(shù)序列{tn}使得φ(tn)→-.

由(A2)，存在負(fù)數(shù)序列{tn}，使得tn→-且

則有

第5步.由第1步及第2步，BVP(1)～(3)存在下、上解α1、β1使得α1≤β1，從而由定理1，BVP(1)～(3)存在解u1，使得α1≤u1≤β1.

由第3步，存在s1使得s1>u1且φ(s1)<φ(u1).進(jìn)一步，由第1步，存在上解β2使得u1≤s1≤β2.由定理1，BVP(1)～(3)存在解u2使得u1≤u2≤β2，且

從而u1≠u2.

繼續(xù)下去，可得

un≤un+1≤βn+1，φ(un+1)≤φ(sn)<φ(un)，n=1，2，…，

由φ(sn)→-，有φ(un)→-，即

類似可證BVP(1)～(3)存在解序列{vn}，使得

證畢.

2 數(shù)值算例

例1考慮p-Laplacian脈沖邊值問(wèn)題

-(Φp(u′))′=f(t，u)，t∈(0，1){t1，…，tm}，

(14)

u′(0)=g0(u(0))，u′(1)=-g1(u(1))，

(15)

ΔΦp(u′(tk))=Ik(u(tk))，k∈{1，2，…，m}，

(16)

其中p=5.函數(shù)f：→定義為

其中λ=ee，函數(shù)g0、g1、Ik：→定義為

則易見(jiàn)

及

ug0(u)≥0， ?u∈，

則由定理2，邊值問(wèn)題(14)～(16)有兩個(gè)解序列{un}及{vn}，滿足

…≤vn+1≤vn≤…≤v1≤u1≤…≤un≤un+1≤…