岳玉環(huán)，趙永華，郜峰

(嘉興職業(yè)技術(shù)學院，浙江 嘉興 314036)

0 引言

眾所周知，在很多情況下，精確地求解系統(tǒng)吸引區(qū)域是非常困難的，所以只能采用估算的方法來盡可能地近似地求解吸引區(qū)域。常用的方法是基于Lyapunov 函數(shù)的方法。由于Lyapunov 函數(shù)的選擇對于吸引區(qū)域的估計有很大的影響，所以如何選擇一個合適的Lyapunov函數(shù)來估計吸引區(qū)域仍然具有很大的難度。 其中相對簡單的二次Lyapunov 函數(shù)常用來進行吸引區(qū)域的估算[1]。此外，文獻[2-3]對多項式系統(tǒng)的吸引區(qū)域估計提出不同解決方法。然而，其中很多實際系統(tǒng)，例如輪擺、有飽和系統(tǒng)等都屬于非多項式系統(tǒng)。在文獻[4] 中提出了針對非多項式系統(tǒng)尋找吸引區(qū)域的估計方法。這些方法都是基于線性矩陣不等式(LMI)展開式求解多項式最優(yōu)解實現(xiàn)的，計算量很大。

本文以兩輪自平衡車為例，介紹利用二次Lyapunov 函數(shù)通過坐標變換方法來擴大吸引區(qū)域估算值。通過與吸引區(qū)域估算結(jié)果的對比，證明了該坐標變換方法的有效性和計算的簡便性。

1 兩輪自平衡車的數(shù)學模型

兩輪自平衡車以其結(jié)構(gòu)簡單，運動靈活的特點廣泛應(yīng)用于現(xiàn)代交通中。它是一種多變量、 非線性、絕對不穩(wěn)定的兩輪機器人系統(tǒng)，典型的商業(yè)化產(chǎn)品有Segway。兩輪自平衡車在靜止狀態(tài)下不能穩(wěn)定平衡。車體的平衡是一個動態(tài)過程，在平衡點附近根據(jù)車體實時的方位信息和運動速度來調(diào)節(jié)控制信號以保持車體的平衡，這實際上是一個運動的倒立擺平衡系統(tǒng)[5-9]。兩輪自平衡車的結(jié)構(gòu)簡圖如圖1所示，變量定義及具體數(shù)值見表1[10]。本文只研究兩輪自平衡車沿直線運動的情況。

圖1 兩輪自平衡車結(jié)構(gòu)簡圖

接下來應(yīng)用拉格朗日方程建立系統(tǒng)的數(shù)學模型。

系統(tǒng)的總動能T包括車體的動能T1, 左、右輪子動能T2，即

T=T1+T2=

表1 兩輪自平衡車的變量

以車輪中心軸線所在的x-y平面為零勢能面，系統(tǒng)的勢能為U=mpgLcosθ。

(1)

(2)

式中τ為電動機的轉(zhuǎn)矩。為了計算簡便，此處忽略了電動機電刷處的摩擦力。

由此得到系統(tǒng)的狀態(tài)方程為

應(yīng)用文獻[11] 中的部分反饋線性化方法，將電動機的轉(zhuǎn)矩τ作為控制輸入信號，并選擇如下形式：

(3)

此外，在構(gòu)造平衡車結(jié)構(gòu)時，使條件α=η成立。此時，該系統(tǒng)的狀態(tài)方程可表示為

(4)

為了控制車體在豎直方向的平衡穩(wěn)定，將系統(tǒng)在期望的平衡點(x1,x2,x3)=(0,0,ν0) 處進行線性化。這里需要說明的是：在x3=C(常數(shù))時(狀態(tài)變量x3是相對角速度)，(x1,x2,x3)=(0,0,C)均為系統(tǒng)平衡點。

應(yīng)用泰勒展開得到該系統(tǒng)的線性狀態(tài)方程

x=Ax+Bu

(5)

該線性系統(tǒng)顯然是可控的，所以可以通過選擇合適參數(shù)的PID控制策略u=-Kx實現(xiàn)該系統(tǒng)在豎直位置的平衡控制，此處K=(k1,k2,k3)。

2 吸引區(qū)域估算結(jié)果對比

2.1 基于二次Lyapunov函數(shù)吸引區(qū)域估計

從最基本的二次Lyapunov函數(shù)出發(fā)，在吸引區(qū)域內(nèi)部通過尋找適當?shù)膸缀螆D形來逼近吸引區(qū)域邊界，從而近似估計吸引區(qū)域的大小。

將控制信號u=-Kx施加到式(5)中，得到的閉環(huán)系統(tǒng)的表達式為

(6)

進一步得到

(7)

在橢球中，最大的球體可以表示為

(8)

采用表1中的數(shù)值， 應(yīng)用Python語言編寫程序進行吸引區(qū)域的數(shù)值估算[13]。通過調(diào)用scipy庫中的linalg.solve_continuous_are()函數(shù)和solve_lyapunov()函數(shù)，估算出吸引區(qū)域約為R=1.2×10-3。可見，該吸引區(qū)域的估算數(shù)值非常小，不足以滿足系統(tǒng)實際控制和調(diào)試之用。

2.2 利用坐標變換，擴大吸引區(qū)域估算值

本小節(jié)，通過坐標變換的方法尋找更大的吸引區(qū)域估計值。為了簡單起見，假定

(9)

在新坐標系下，式(6)可寫作

與原坐標系下的閉環(huán)系統(tǒng)表達式(6)對比，得到

在新坐標系下，線性系統(tǒng)的Lyapunov方程

至此，可以得到如式(8)相同定義的最大球體

(10)

觀察式(10)，它實質(zhì)上是一個在原坐標系下受到M值影響的橢球。

(11)

通過選取合理的M值，相當于對原坐標系下的式(8)進行適當?shù)乩欤梢暂^為明顯地擴大x的取值范圍，即擴大吸引區(qū)域。

3 系統(tǒng)仿真

參照得到的較大的吸引區(qū)域估算值，選取偏離平衡位置較遠的點x=(0.1rad,-0.5rad/s,3rad/s)作為系統(tǒng)的初始條件，利用Python程序進行系統(tǒng)的響應(yīng)仿真，仿真結(jié)果如圖2所示。

圖2 系統(tǒng)的響應(yīng)曲線

圖2中實線為K=(-90.18,-2.83,-0.79)，可以看出車體在4s內(nèi)達到平衡點并穩(wěn)定下來，說明了線性控制器u=-Kx的有效性，同時證明了吸引區(qū)域的估算值的可用性。虛線為K=(-90.18,-10,-0.79)得到的系統(tǒng)響應(yīng)效果，發(fā)現(xiàn)系統(tǒng)獲得了較好的動態(tài)響應(yīng)效果。由此也可以得出：在進行吸引區(qū)域估計時得到的K能夠?qū)崿F(xiàn)系統(tǒng)的穩(wěn)定控制，并且為PID線性控制器的參數(shù)整定優(yōu)化提供一定的方向性指導。

4 結(jié)語

基于二次Lyapunov函數(shù)，對兩輪自平衡車的平衡控制通過變換坐標的方法來獲得較大吸引區(qū)域估算值，并從幾何學上直觀地解釋了坐標變化的意義。通過Python程序仿真系統(tǒng)響應(yīng)過程，驗證了在擴大的吸引區(qū)域內(nèi)的初始條件，均可通過PID線性控制器達到穩(wěn)定平衡的控制效果。這種利用開源的Python 對控制系統(tǒng)的控制仿真獲得了成本更低、更簡便直觀的良好效果，對Python在眾多科研人員中的普及和推廣有很好的借鑒意義。