陳龍龍

【摘要】坐標(biāo)系與參數(shù)方程作為選考內(nèi)容，出現(xiàn)在全國(guó)卷高考中的第二十二題。該內(nèi)容作為選考常被棄或在被輕視。學(xué)生選考，雖選不解，迫于時(shí)間有限，走馬觀花式的解決此內(nèi)容。教學(xué)中亦出現(xiàn)對(duì)該內(nèi)容價(jià)值挖掘不深，單純從解決單一問題角度出發(fā)去處理該內(nèi)容。坐標(biāo)系與參數(shù)方程本質(zhì)屬于解析幾何，所以可以處理解析幾何內(nèi)容，為學(xué)生理解解析幾何的帶來新視角，是解析幾何培養(yǎng)學(xué)生核心素養(yǎng)另一途徑的有力工具。本文從這些思考去探討坐標(biāo)系與參數(shù)方程的深入價(jià)值。

【關(guān)鍵字】坐標(biāo)系與參數(shù)方程? ?核心素養(yǎng)? ?解析幾何

【中圖分類號(hào)】G633.6【文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼】A【文章編號(hào)】1992-7711（2020）08-022-02

經(jīng)歷了幾輪課程改革，數(shù)學(xué)的育人價(jià)值由注重知識(shí)轉(zhuǎn)變?yōu)樽⒅貙W(xué)生情感態(tài)度價(jià)值觀培養(yǎng)，著眼于學(xué)生的全面發(fā)展，著眼于學(xué)生的探究性學(xué)習(xí)，讓學(xué)生有終身學(xué)習(xí)的發(fā)展理念。培養(yǎng)目標(biāo)也隨時(shí)代要求進(jìn)一步完善，提出了六大核心素養(yǎng)。

而引導(dǎo)核心素養(yǎng)培養(yǎng)的課程理論，從知識(shí)構(gòu)架方面，要求教師在設(shè)計(jì)課程中要有全局意識(shí)，培養(yǎng)素養(yǎng)的立意。其中解析幾何在培養(yǎng)學(xué)生邏輯推理、直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算等核心素養(yǎng)有重要作用。而坐標(biāo)系與參數(shù)方程在教學(xué)中從內(nèi)容及知識(shí)應(yīng)用上都未得到重視。坐標(biāo)系和參數(shù)方程可以解決自身問題，也可以將坐標(biāo)系與參數(shù)方程問題轉(zhuǎn)化為直角坐標(biāo)方程，但教學(xué)中出現(xiàn)了遇到極坐標(biāo)與參數(shù)方程問題一般轉(zhuǎn)化為直角方程問題來處理的偏頗。坐標(biāo)系與參數(shù)方程的引入本身具有解析性質(zhì)，那么解析幾何問題能否用坐標(biāo)系與參數(shù)方程知識(shí)解決呢？

坐標(biāo)系與參數(shù)方程的引入是幾何問題代數(shù)化的標(biāo)志，坐標(biāo)系與參數(shù)方程有更豐富的幾何意義，理解掌握幾何意義，是掌握其應(yīng)用的關(guān)鍵。

近年高考中，解析幾何必考，但坐標(biāo)系與參數(shù)方程的方法未引起重視，需要教師引導(dǎo)學(xué)生前往探索。可以構(gòu)建學(xué)生情境與問題、知識(shí)與技能、思維與表達(dá)、交流與反思的學(xué)習(xí)過程的理解。

本文圍繞實(shí)際問題探求解析問題的坐標(biāo)系與參數(shù)方程視角下的解法，希望能給讀者帶來新的理解。希望推動(dòng)解析幾何下坐標(biāo)系與參數(shù)方程教學(xué)為載體的學(xué)生核心素養(yǎng)培養(yǎng)的又一次思考。

例1.（2010年·全國(guó)Ⅱ·12）? 已知橢圓C：

（a>b>0）的離心率為? ? ? ?，過右焦點(diǎn)F且斜率為k（k>0）的直線與C相交于A、B兩點(diǎn)。若AF=3FB ，則k= .

[解法一]：設(shè)橢圓方程為? ? ? ? ? ? ? ? ? ?，則F（ 3? ，0）

過F的直線的參數(shù)方程為

代入橢圓方程得

AF=3FB，則|AF|=3|FB|.即t1= -3t2 ，由①②? k=? ? ? .

[解法二]：以右焦點(diǎn)F為極點(diǎn)，x正半軸為極軸，F(xiàn)點(diǎn)到右準(zhǔn)線距離為p，e為離心率。由橢圓第二定義，設(shè)任意一點(diǎn)P（? ，? ? ）點(diǎn)在橢圓上，則

即橢圓的極坐標(biāo)方程.

利用上述結(jié)果，則

極坐標(biāo)本身含有夾角與長(zhǎng)度內(nèi)容，是溝通角度與長(zhǎng)度的重要載體。根據(jù)極坐標(biāo)的特點(diǎn)，若用極坐標(biāo)解決恰好將角度和長(zhǎng)度在同一個(gè)方程里表示，而且明確了兩者之間的關(guān)系。正因?yàn)槿绱?，極坐標(biāo)在處理與角度和長(zhǎng)度相關(guān)問題更有其優(yōu)越性與生命力。

例2.（2016年·全國(guó)Ⅱ）已知橢E：? ? ? ? ? ? ? ? ? ?的焦點(diǎn)在x軸上.A是E的左頂點(diǎn)，斜率為k（k>0）的直線交E于A，M兩點(diǎn)，點(diǎn)N在E上，MA⊥NA.

（1）略.

（2）當(dāng)2|AM|=|AN|時(shí)，求k的取值范圍.

解：? 過A（-? m，0），過A直線參數(shù)方程為

代入橢圓（3cos2θ+msin2θ ）t2 -6 m tcosθ=0

t=

2|AM|=|AN|

直線的參數(shù)方程亦能將長(zhǎng)度與角度聯(lián)系起來，直線的參數(shù)方程不僅具有消參可以使得變量統(tǒng)一的功能，更能根據(jù)自身特點(diǎn)聯(lián)系長(zhǎng)度與角度，解決與夾角和長(zhǎng)度相關(guān)的問題。

例3.（2016年·全國(guó)Ⅰ·19 ）設(shè)橢圓C：? ? ? ? ? ? ? ，右焦點(diǎn)為F，過F的直線l與C交于A，B兩點(diǎn)，M的坐標(biāo)為（2，0）.

（1）設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，證明：∠OMA=∠OMB.

證：（1）F（1，0），過F點(diǎn)的直線的參數(shù)方程為

例4.（廣東佛山2019屆高三質(zhì)量檢測(cè)（一））已知橢圓C1：? ? ? ? ? ? ? ? ?（a>b>0）的焦點(diǎn)與拋物線C2： y2=8? 2 x的焦點(diǎn)F重合，且橢圓右頂點(diǎn)P到F的距離為3-2? 2.

（1）求橢圓C1的方程.

（2）設(shè)直線l與C1交于A，B兩點(diǎn)，且滿足PA⊥PB，求Δ PAB面積的最大值.

解：（1）

（2）P（3，0）設(shè)過PA的直線參數(shù)方程為

結(jié)束語(yǔ)

坐標(biāo)系與參數(shù)方程又是平面幾何中曲線的又一重要表64現(xiàn)形式，有著重要的幾何意義，溝通了夾角與距離兩個(gè)重要幾何量之間的關(guān)系。因此，可以用來解決解析幾何問題，應(yīng)根據(jù)問題的實(shí)際意義，探索性的使用極坐標(biāo)與參數(shù)方程解決問題。坐標(biāo)系與參數(shù)方程雖然是選考內(nèi)容，但是對(duì)培養(yǎng)學(xué)生的幾何直觀，數(shù)學(xué)運(yùn)算，邏輯推理等核心素養(yǎng)方面有著重要作用。在教學(xué)中需要教師挖掘極坐標(biāo)與參數(shù)方程在解決具體問題中的實(shí)用價(jià)值，同時(shí)在平時(shí)的教學(xué)中要利用該內(nèi)容滲透數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，培養(yǎng)學(xué)生豐富的數(shù)學(xué)認(rèn)知，健全學(xué)生知識(shí)體系，培養(yǎng)學(xué)生深層次的全方位個(gè)性發(fā)展，構(gòu)建學(xué)生終身發(fā)展學(xué)習(xí)理念。所以坐標(biāo)系與參數(shù)方程在培養(yǎng)學(xué)生的解析幾何下的核心素養(yǎng)有重要作用，應(yīng)該引起教師的足夠的重視。

【補(bǔ)充案例】

1.（2017全國(guó)卷1·理）已知F為拋物線C：y2=4x的焦點(diǎn)，過F做相互垂直的直線l1，l2，直線l1與C交于A，B兩點(diǎn)，直線l2與C交于D，E兩點(diǎn)，求|AB|+|DE|的最小值。

2.（湖南長(zhǎng)沙2019屆高三模擬（節(jié)選）） 已知橢圓C：

，過x軸正半軸上一點(diǎn)M作l直線交橢圓C于A、B兩點(diǎn).

問：是否存在定點(diǎn)M，使當(dāng)直線l繞點(diǎn)M轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)

為定值.

3.（2019年湖北第四屆高考測(cè)評(píng)·理·16）過拋物線y2=2px（p>0）的焦點(diǎn)F作兩條互相垂直弦AB、CD.若Δ=AFC與ΔBDF面積之和的最小值為16，則拋物線的方程為? ? ? ? ? ? ? ? ? .

[參 考 文 獻(xiàn)]

[1] 人民教育出版社.普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書（A版）：數(shù)學(xué)4-4（選修）.

[2]教育部.普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn).