余雪嬌

【摘要】鄭毓信教授在《數(shù)學(xué)思維之深思》提出：數(shù)學(xué)教育應(yīng)當(dāng)致力于促進(jìn)學(xué)生更加積極地進(jìn)行思考。學(xué)生的主體作用和教師的主導(dǎo)作用應(yīng)表現(xiàn)出能動(dòng)性，這一能動(dòng)性應(yīng)統(tǒng)一在形式多樣（動(dòng)腦、動(dòng)口、動(dòng)手）的數(shù)學(xué)活動(dòng)中。

【關(guān)鍵字】數(shù)學(xué)思維? ?小專題復(fù)習(xí)課? ?設(shè)計(jì)原則

【中圖分類號(hào)】G633.6【文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼】A【文章編號(hào)】1992-7711（2020）08-064-02

現(xiàn)在流行的復(fù)習(xí)課形式基本上是知識(shí)清單加題海戰(zhàn)術(shù)。學(xué)生不停地動(dòng)手寫，復(fù)習(xí)課就是習(xí)題課。重復(fù)機(jī)械的勞動(dòng)，從應(yīng)試的角度來(lái)看可以提高常規(guī)題的命中率，有其積極的一面。但學(xué)生缺乏時(shí)間動(dòng)腦、動(dòng)口;缺乏思維碰撞。一者，學(xué)生覺得數(shù)學(xué)乏味，另者不利于學(xué)生數(shù)學(xué)思維的培養(yǎng)。沒(méi)有深層次的理解，不會(huì)變通，不靈活。小專題復(fù)習(xí)正是突破常規(guī)復(fù)習(xí)的形式，走出單純的知識(shí)記憶模式，提升學(xué)生數(shù)學(xué)思維為主要目的一種復(fù)習(xí)形式。

小專題指的是以一道中等題目為主基調(diào)，抽出要學(xué)習(xí)的主題;通過(guò)“以退為進(jìn)”，讓學(xué)生“退”到題目的最基本概念和原理。再在“以小見大”部分解決新的問(wèn)題，突出核心知識(shí)和數(shù)學(xué)思想的思維的訓(xùn)練。小專題著力點(diǎn)在于思維，其學(xué)案設(shè)計(jì)尤為重要。結(jié)合具體的例子談?wù)勗O(shè)計(jì)要遵循的3個(gè)原則。

《直角三角形中求線段長(zhǎng)度》學(xué)案

（A版）

一、以退為進(jìn)

1. 在Rt△ABC中，∠A=90°，

AB=5，AC=12;

（1）求BC的長(zhǎng)度.

（2）如圖1，若AE⊥CB于E，

則AE=? ? ? ? ? ;

（B版）

一、以退為進(jìn)

1. 在Rt△ABC中，∠A=90°，

AB=5，AC=12;

（1）如圖1，若AE⊥CB于E，

則AE=? ? ? ? ? ?;

（2）如圖2，若點(diǎn)O在AC上，

過(guò)點(diǎn)O做OE⊥CB，且

OC=8，求OE長(zhǎng)。

二、以小見大

2.如圖3，在Rt△ABC中，

∠A=90°， AB=5，AC=12，

點(diǎn)O在AC上，

⊙O切BC于點(diǎn)E，點(diǎn)A在

⊙O上，求⊙O的半徑。

（你能想到幾種方法？）

三、變式遷移

3.拋物線y=-x2-2x+3與x 軸交于A，B兩點(diǎn)（點(diǎn)A 在點(diǎn)B的左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C，頂點(diǎn)為D，連接AD，拋物線的對(duì)稱軸與x軸的交點(diǎn)為E.拋物線的對(duì)稱軸上是否存在點(diǎn)P使得點(diǎn)P到AD的距離等于點(diǎn)P到X軸的距離？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)P的坐標(biāo);若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由。

一、以題點(diǎn)知，學(xué)習(xí)中心原則，提升學(xué)生思維的慎密性。（以退為進(jìn)）

用簡(jiǎn)單的題目激活學(xué)生的已有知識(shí)。不是干巴巴的概念或定理的填空。學(xué)生通過(guò)完成題組形式，去喚醒知識(shí)點(diǎn)。設(shè)計(jì)時(shí)要考慮學(xué)生已有的經(jīng)驗(yàn)，心理發(fā)展水平;要了解學(xué)情，尊重學(xué)生，因人制宜。針對(duì)不同的班級(jí)，設(shè)計(jì)的起點(diǎn)、幅度要相應(yīng)的變化。讓不同程度學(xué)生都能參與其中的數(shù)學(xué)活動(dòng)中。A版設(shè)計(jì)適合于學(xué)生層次較低的，B版是層次較高的。以學(xué)生的學(xué)習(xí)為中心，針對(duì)不同層次學(xué)生適當(dāng)?shù)耐恕１ＷC每位學(xué)生都有可完成的數(shù)學(xué)活動(dòng)，都有可思考的問(wèn)題?；貧w到原理或者基本概念的學(xué)，追根尋源。教師在學(xué)生學(xué)的過(guò)程中啟發(fā)誘導(dǎo)，把幾個(gè)零散的知識(shí)點(diǎn)用一條主線（主線可以是一個(gè)基本圖形，例如圖2）串聯(lián)起來(lái)，形成知識(shí)鏈（相似、三角函數(shù)、等面積法、勾股定理）。形成學(xué)生良好的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，提升學(xué)生思維的縝密性。

二、簡(jiǎn)化經(jīng)典，凸顯知識(shí)主干，提升思維的深刻性，廣闊性。（以小見大）

中考的壓軸題是命題者精心設(shè)置的，思維含量極高。但對(duì)大部分學(xué)生來(lái)說(shuō)：偏難。教師可以選取某個(gè)點(diǎn)，略去其他無(wú)關(guān)的部分?；睘楹?jiǎn)，適當(dāng)?shù)拇钅_手架，降低難度，改編為中檔題。不失為鍛煉學(xué)生思維的上好素材。

例如：2016年廣州中考24題：

已知二次函數(shù)y=mx2+（1-2m）x+1-3m與x軸相交于不同的兩點(diǎn)A、B.

（1）求m的取值范圍。

（2）證明拋物線一定經(jīng)過(guò)非坐標(biāo)軸上的一點(diǎn)P，并求點(diǎn)P坐標(biāo)。

（3）當(dāng)0.25≤m≤8時(shí)，由（2）求出的P點(diǎn)和A、B點(diǎn)構(gòu)成的△ABP的面積是否有最值，若有，求出最值及相對(duì)應(yīng)的m值，若沒(méi)有，請(qǐng)說(shuō)明理由。

我們可以把中考真題從不同角度進(jìn)行改編。若選取面積作為小專題，則可以拋棄恒過(guò)定點(diǎn)問(wèn)題;如果恒過(guò)定點(diǎn)問(wèn)題，則可拋開面積最值。改編后放在以小見大的位置，著重在于解題背后的思想方法提煉。通過(guò)師生、生生交流，分享而引發(fā)思維碰撞。

第2題是把原題中的直角坐標(biāo)系去掉，保留核心主干改編題。本題的方法較多，至少有五種方法。學(xué)生先是獨(dú)立的思考完成，進(jìn)而交流。不同的解法，收獲不同的思維。教師可以適時(shí)提出問(wèn)題：

1.“以小見大”與“以退為進(jìn)”的題有什么異同點(diǎn) ？

2.你是怎樣想到這種解法？不同解法之間的有什么共同點(diǎn)？那些解法是可以推廣的？

3.你可以提出什么樣的問(wèn)題，或者說(shuō)這題可以有怎么樣的變式（從動(dòng)態(tài)的觀點(diǎn)看o點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，例：o點(diǎn)在線段CA的延長(zhǎng)線上）。

學(xué)生圍繞著這些問(wèn)題，又進(jìn)入新的學(xué)習(xí)、交流。抓住生成會(huì)使課堂大放光彩，讓復(fù)習(xí)課有新意。不是炒冷飯，從而煥發(fā)生機(jī)。這樣精心改編設(shè)置的題不僅融合了核心主干知識(shí)，還在簡(jiǎn)單的題目中培養(yǎng)學(xué)生審?fù)娈愅杏^異的好思維。學(xué)生經(jīng)過(guò)思考，交流，再現(xiàn)核心知識(shí)，最后通過(guò)新問(wèn)題的討論學(xué)習(xí)，使理解進(jìn)入更高層次，是深度的理解。當(dāng)知識(shí)發(fā)生過(guò)程成為一個(gè)有內(nèi)在需求的，非被動(dòng)接受的過(guò)程時(shí)，才能更好的主動(dòng)建構(gòu)知識(shí)體系。教師及時(shí)的歸納，滲透數(shù)學(xué)思想方法，比如轉(zhuǎn)化與化，歸特殊到一般，分類等。學(xué)生感悟數(shù)學(xué)理性的精神，提升思維的深刻性，廣闊性。這種解題背后的思考，才能把相應(yīng)的解題行為看作是真正的數(shù)學(xué)活動(dòng)，即由單純的“問(wèn)題解決”過(guò)渡到“數(shù)學(xué)思維”。學(xué)生才會(huì)更深刻的理解知識(shí)本質(zhì)，題型特征，提升思維，能得心應(yīng)手的解決一大類問(wèn)題。就像由一顆樹看到幾顆樹甚至是一片森林，起到以小見大的作用。

三、聚焦基本點(diǎn)，題與題之間連貫性原則，提升思維的靈活性敏捷性

現(xiàn)代認(rèn)知心理學(xué)認(rèn)為：理解，無(wú)非就是指新學(xué)習(xí)的知識(shí)與主體已有的知識(shí)與經(jīng)驗(yàn)之間建立了直接的聯(lián)系（包括同化與順應(yīng)），其程度也完全取決于聯(lián)系的數(shù)目和強(qiáng)度。如果潛在的相關(guān)的各個(gè)概念中，心理表征只有一部分建立聯(lián)系或者說(shuō)聯(lián)系脆弱，這時(shí)的理解是有限的。小專題學(xué)案在設(shè)計(jì)上必須圍繞一個(gè)主題，以退為進(jìn)，以小見大，變式遷移的三個(gè)環(huán)節(jié)中，題與題之間必須是相關(guān)聯(lián)的（題量不宜多，4題左右）。體現(xiàn)的均是同一塊核心知識(shí)的本質(zhì)屬性。只是呈現(xiàn)形式不一樣罷了。例如第1題僅僅是直角三角形斜邊上的高，第2題添加圓背景，第3題就在直角坐標(biāo)系下拋物線的背景，并把靜態(tài)問(wèn)題變?yōu)閯?dòng)態(tài)問(wèn)題。這3個(gè)題目是一脈相承的，本質(zhì)特征都是直角三角形中求線段長(zhǎng)度，但又有其不同的地方。在特定的背景下，又會(huì)有特定的方法。例如直角坐標(biāo)系可以從函數(shù)角度求線段，思路會(huì)更寬更廣。這種注重題與題之間的聯(lián)系，可以使學(xué)生對(duì)已學(xué)的知識(shí)有更深刻的認(rèn)識(shí)，可以較為系統(tǒng)的把握知識(shí)間的邏輯。便于比較、鑒別、取舍、融合。能在新背景下較快地找到解題的突破口，提高了思維的靈活性與敏捷性。

數(shù)學(xué)新課標(biāo)指出：思維能力主要指會(huì)觀察、實(shí)驗(yàn)、比較、猜想、分析、綜合、抽象和概括;會(huì)歸納、演繹、類比進(jìn)行推理;合乎邏輯的準(zhǔn)確的闡述自己的思想和觀點(diǎn)。小專題在題量少，相互聯(lián)系中，給時(shí)間和空間，讓學(xué)生觀察，思考，抽象，概括表達(dá)，對(duì)提升數(shù)學(xué)思維有積極的意義。

[參 考 文 獻(xiàn)]

[1] 劉永東.例談數(shù)學(xué)小專題復(fù)習(xí)的策略和應(yīng)用[J].教育導(dǎo)刊（上半月）2013（1）.