杜聰王金東? 秦曉娟魏正軍於亞飛張智明

1)(華南師范大學(xué),廣東省量子調(diào)控工程與材料重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,信息光電子科技學(xué)院,廣州510006)

2)(廣東理工職業(yè)學(xué)院工程技術(shù)系,廣州510091)

(2020年1月29日收到;2020年7 月2日收到修改稿)

1 引 言

量子密鑰分發(fā)(quantum key distribution,QKD)是指一種通過在公開信道中傳輸量子態(tài)來使通信雙方之間分享密鑰的方法,它的安全性是由量子力學(xué)的基本原理,而不是計算復(fù)雜度來保證的,所以從理論上保證了密鑰傳輸?shù)慕^對安全.自1984年Bennett和Brassard提出了第一個QKD協(xié)議——BB84協(xié)議[1]以來,QKD在理論和實(shí)驗(yàn)上都得到了快速的發(fā)展[2,3].盡管無條件安全性是QKD的主要優(yōu)勢,但在實(shí)際應(yīng)用中,由于設(shè)備的不完美性可能帶來的安全隱患使它的應(yīng)用前景飽受爭議.人們普遍認(rèn)為缺乏完美的單光子源和探測器的固有損耗會使系統(tǒng)產(chǎn)生安全漏洞并限制傳輸距離,進(jìn)而降低QKD的應(yīng)用性能[2].但幸運(yùn)的是,Lo,Curty和Qi在2012年提出測量設(shè)備無關(guān)量子密鑰分發(fā)(measurement device independent quantum key distribution,MDI-QKD)協(xié)議[4,5],它不僅可抵御所有針對測量端的攻擊漏洞,而且當(dāng)它與誘騙態(tài)方法結(jié)合[6,7]時,還可以顯著提升系統(tǒng)的傳輸距離.由于這些優(yōu)點(diǎn),到目前為止,MDI-QKD已經(jīng)吸引了領(lǐng)域內(nèi)大量的關(guān)注,并且出現(xiàn)了大量的理論[8?16]和實(shí)驗(yàn)[17?22]的后續(xù)工作.值得注意的是,在2016年,有兩個里程碑的實(shí)驗(yàn)被報道出來.在第一個工作中,Yin等[23]利用低損耗光纖和參數(shù)優(yōu)化技術(shù)將MDI-QKD的距離延長到了404 km.在第二個工作中,Comandar等[24]利用種子激光器技術(shù)將MDI-QKD系統(tǒng)的時鐘頻率提高到了1 GHz.但是,相對于原始的BB84協(xié)議來說,MDIQKD的安全碼率仍然比較低,一種解決方案就是基于高維(high dimensional,HD)編碼的QKD協(xié)議.

目前大多數(shù)有關(guān)HD QKD協(xié)議的工作都集中于通過提升光子的某一種自由度的希爾伯特空間維度來提升QKD協(xié)議的信息容量[25],例如基于空間模式、基于時間能量糾纏光子對以及基于軌道角動量的HD QKD協(xié)議等[26?31], 其中, Ali-Khan等[26]在2007年完成第一個基于時間能量糾纏光子對的HD QKD協(xié)議,而在2017年,Sit等[29]在渥太華進(jìn)行了基于軌道角動量的HD QKD協(xié)議的實(shí)地測試實(shí)驗(yàn),這些工作有力地證明了HD QKD協(xié)議的可行性.HD QKD協(xié)議不僅可以在一個自由度(degree of freedom,DOF)上進(jìn)行編碼,還可以同時在多個DOF上進(jìn)行編碼,即混合編碼協(xié)議[32].例如2010年wang等[33]提出的基于DPS編碼和偏振編碼的HD QKD協(xié)議,2019年Mao等[34]提出的基于RRDPS和偏振編碼的HD QKD協(xié)議.最近,有人提出利用HD編碼來提升MDI-QKD協(xié)議的安全碼率,例如Dellantonio等[31]在2018年提出的兩種分別基于空間和時間模式的HD MDIQKD協(xié)議和Cui等[35]于2019年提出的基于空間模式和偏振模式的混合編碼HD MDI-QKD協(xié)議,但是這兩種協(xié)議在實(shí)際應(yīng)用上都面臨一些困難,前者提出的基于空間模式編碼的方案中其解碼裝置需要更多的單光子探測器,基于時間模式編碼的方案中對其編碼裝置的帶寬要求更高,而后者提出的混合編碼方案需要分辨高維貝爾態(tài),所以目前該協(xié)議在實(shí)驗(yàn)上仍然是一個挑戰(zhàn)[25].

本文提出了一種另外一種基于相位和偏振的混合編碼HD MDI-QKD協(xié)議.該協(xié)議利用了光子的相位和偏振兩種自由度進(jìn)行編碼[4,8?9],但是解碼裝置還是和原MDI-QKD協(xié)議一樣,只利用了4個單光子探測器(single-photon detector,SPD)進(jìn)行部分貝爾態(tài)檢測(bell-state measurement,BSM)[4],因此該協(xié)議完全可以利用現(xiàn)有實(shí)驗(yàn)條件實(shí)現(xiàn).而且該協(xié)議不需要用戶端增加其設(shè)備的重復(fù)頻率就可以增加系統(tǒng)的安全碼率,所以該協(xié)議可能在未來具有潛在的應(yīng)用前景.

本文的安排如下.第2節(jié)詳細(xì)介紹了本協(xié)議的編解碼規(guī)則.第3節(jié)在考慮某些實(shí)際情況的影響下,得出該協(xié)議的安全碼率,并且進(jìn)行數(shù)值仿真,證明該協(xié)議對于安全碼率的提升.第4節(jié)討論該協(xié)議的實(shí)驗(yàn)實(shí)現(xiàn)需要滿足的條件并且在第5節(jié)給出本文的結(jié)論.

2 協(xié)議介紹

圖1基于混和編碼的MDI-QKD協(xié)議原理圖.其中,LD為光源,Pol-M,PM和IM分別為偏振調(diào)制器、相位調(diào)制器和強(qiáng)度調(diào)制器,DL為光延時線,BS為50:50的光分束耦合器,PBS為偏振分束器,DH和DV為單光子探測器.首先,Alice和Bob分別通過Pol-M將偏振信息加載到光脈沖上,然后又通過PM和IM加載時間-相位信息.Charlie將接收兩者發(fā)出的光子并進(jìn)行部分BSM,然后公開其測量結(jié)果.Alice和Bob通過基比對然后利用Charlie所公開的BSM結(jié)果就能在他們原始密鑰之間建立關(guān)聯(lián)Fig.1.Schematic diagram of MDI-QKD protocol based on hyper-encoding.LD is the light source.Pol-M,PM and IM are polarization modulator,phase modulator and intensity modulator,respectively.DL is the optical delay line,BS is the 50:50 optical beam splitter,PBS is the polarization beam splitter,DH and DV are single-photon detector.First,Alice and Bob load the polarization information to the light pulse through Pol-M,respectively,and then load the phase information through PM and IM.Charlie or Eve will receive the photons emitted by both and perform part of the BSM,and then disclose their measurements.Alice and Bob can correlate their original keys by comparing the basis information and using Charlie's published BSM results.

本節(jié)提出了一種基于混合編碼的MDI-QKD協(xié)議,該協(xié)議編碼部分利用了相位編碼MDIQKD[8]和偏振編碼MDI-QKD[4]的方法,解碼部分的裝置與原始提出的偏振編碼MDI-QKD協(xié)議一樣,利用4個單光子探測器組成了一個部分BSM裝置,如圖1所示.假設(shè)Alice和Bob都擁有完美的單光子源,忽略信道和SPD的損耗以及暗計數(shù).而在下一節(jié)中會分析某些實(shí)際情況對該協(xié)議的影響.本協(xié)議的編碼過程與BB84協(xié)議類似,不同之處在于要同時利用偏振和相位這兩個自由度對光脈沖進(jìn)行調(diào)制.首先Alice和Bob分別從兩組共軛的偏振基Z基和X基中隨機(jī)選取一個偏振態(tài),然后通過Pol-M將偏振比特(Po-bits)信息加載到光脈沖上.接著光脈沖通過50∶50的分束器(BS)和光延時線(DL)后被分為參考和信號兩種模式,在Alice端的兩個模式分別標(biāo)記為ar,as,在Bob端的兩個模式分別標(biāo)記為br,bs,如果相位態(tài)在Z基中選取,那么相位比特(Ph-bits)將只加載在參考光脈沖中或者信號光脈沖中,另外一個模式的光脈沖會被IM損耗掉,如果Ph-bits在X基中選取,那么信號光脈沖在經(jīng)過PM時會被隨機(jī)加載{0,π}兩種相位.特別指出,編碼過程中偏振基和相位基的選擇是獨(dú)立的.可以看出,兩個發(fā)送端相位基和偏振基的不同選擇共有16種可能的組合類別,下面將詳細(xì)討論這些組合的BSM結(jié)果,并且給出對應(yīng)的解碼規(guī)則.

2.1 相位比特在X基中選擇

首先考慮相位比特在X基中選取的情況,在不考慮編碼誤差的情況下,Alice和Bob制備的量子態(tài)可以表示為

其中,θa和θb分別表示Alice和Bob所調(diào)制的相位,j,k表示所調(diào)制的偏振態(tài).此處忽略了全局相位.為了更好理解所提出的協(xié)議,本節(jié)后面的討論中會忽略實(shí)際情況下器件的非理想特性,包括量子信道中的損耗,環(huán)境擾動對偏振態(tài)和相對相位的影響以及單光子探測器的暗計數(shù)等的影響.

接下來,將詳細(xì)介紹該協(xié)議的解碼過程.從(1)式可以看出,到達(dá)Charlie端進(jìn)行干涉的光子模式分為兩大類,一類是雙光子干涉,包括第一項(xiàng)和第四項(xiàng),另一類是單光子干涉,包括中間兩項(xiàng).因此,后文會繼續(xù)分為兩種情況討論BSM的結(jié)果以及對應(yīng)的解碼規(guī)則.

2.1.1 雙光子干涉

對于雙光子干涉的一類,加載的相位ei(θa+θb)對最后的干涉結(jié)果不起作用,即相位編碼信息會舍棄掉.因此,在后面的討論中忽略相位因子.由式可得雙光子干涉的兩項(xiàng)可以分別寫為

在不引起歧義的情況下,后文中量子態(tài)的下標(biāo)都會和上式中最后一項(xiàng)一樣被省略.上式中UBS表示50∶50的BS對光子產(chǎn)生算符的作用,具體可以表示為

其中,x(x=r,s),y(y=j,k)分別表示量子態(tài)的時間模式和偏振模式,上式假設(shè)BS對量子態(tài)的時間模式和偏振模式?jīng)]有影響.

將BB84協(xié)議的四種偏振態(tài)代入(4)式中就可以得到BSM的結(jié)果.顯然,該協(xié)議的解碼過程與偏振編碼MDI-QKD協(xié)議類似,唯一的區(qū)別是前者可能在r和s兩個時刻發(fā)生符合計數(shù)事件.根據(jù)Charlie公布的符合計數(shù)事件和Alice與Bob所使用的基,他們就可以知道其數(shù)據(jù)比特之間的關(guān)聯(lián)性.這里以一個簡單的例子進(jìn)行說明,當(dāng)j=H,k=V時,有:

類似地,可以寫出|Ψ4?的表達(dá)式.因此,當(dāng)BSM出現(xiàn)以下四種符合計數(shù)情況時,可認(rèn)為是成功事件,即:

a)事件D1:a端的兩個探測器在r時刻或者s時刻同時響應(yīng);

b)事件D2:a端的DV探測器和b端的DH探測器在r時刻或者s時刻同時響應(yīng);

c)事件D3:a端的DH探測器和b端的DV探測器在r時刻或者s時刻同時響應(yīng);

d)事件D4:b端的兩個探測器在r時刻或者s時刻同時響應(yīng);

其他的情況也可以做類似的分析,下面分析單光子干涉的情況.

2.1.2 單光子干涉

對于單光子干涉的情況,入射態(tài)的剩余兩項(xiàng)經(jīng)過50∶50分束器的作用后的結(jié)果可以由式得到:

上式中利用到了從(5)式和式推導(dǎo)得出的公式:

其中x=j,k.從式和式可以看出,干涉的結(jié)果與偏振態(tài)有關(guān),下面將分類討論.

1)j=k且j,k∈Z,下面以j=k=H為例.將j,k代入(8)式和(9)式中可得:

由于相位基匹配,那么現(xiàn)在可能出現(xiàn)兩種干涉結(jié)果,當(dāng)θa?θb=0 時, ei(θa?θb)=1,此時干涉的結(jié)果為

而當(dāng)θa?θb=±π時,ei(θa?θb)=?1,此時干涉的結(jié)果為

由于這種干涉結(jié)果完全公開了編碼的偏振態(tài)信息,因此偏振信息需要被舍去.但是,這兩項(xiàng)的干涉結(jié)果并沒有泄露相位信息,因此Alice和Bob可以利用與相位編碼MDI-QKD協(xié)議相同的方式來獲取Ph-bits信息.即,當(dāng)兩發(fā)送方偏振態(tài)都在Z基中選擇時,且出現(xiàn)在r時刻a端和b端的DH(DV)探測器同時響應(yīng)的事件,或者s時刻a端和b端的DH(DV)探測器同時響應(yīng)的事件時,兩者Ph-bits相同,當(dāng)出現(xiàn)r時刻a端的DH(DV)探測器和s時刻b端的DH(DV)探測器同時響應(yīng)的事件,或者r時刻b端的DH(DV)探測器和s時刻a端的DH(DV)探測器同時響應(yīng)的事件時,兩者Ph-bits相反.

2)j=k且j,k∈Z,下面以j=H,k=V為例.同樣將j,k代入(8)式和(9)式中可得:

可以看出,上面兩式內(nèi)部的8個子項(xiàng)各不相同,因此兩式的直接相加或相減并不能消去任何一個子項(xiàng).此時的干涉結(jié)果表明,BS不僅抹去了輸入態(tài)的路徑信息,同時也把相位信息抹去了.但是,正因?yàn)槿肷鋺B(tài)的路徑信息被抹去了,那么最終的干涉結(jié)果只能表明兩個發(fā)送方所加載的偏振態(tài)的相互關(guān)系,而沒有泄露關(guān)于兩個發(fā)送方所編碼信息的確切值,因此,可以利用此探測結(jié)果來獲取Pobits信息.即,當(dāng)兩發(fā)送方偏振態(tài)都在Z基中選擇時,干涉結(jié)果為r時刻和s時刻各有一個探測器響應(yīng),而且這兩個探測器所代表的偏振態(tài)不相同時,Alice和Bob的Po-bits翻轉(zhuǎn).

3)j=k且j,k∈X,下面以j=k=+為例.同樣將j,k代入(8)式和(9)式中可得:

容易看出,上兩式除了中間兩項(xiàng)的符號相反外,其余部分都相同,即|ψ2?1?=|ψ3?1?,|ψ2?4?=|ψ3?4?,|ψ2?2?=?|ψ3?2?,|ψ2?3?=?|ψ3?3?.利用這個規(guī)律可以簡化后面的計算.當(dāng)θa?θb=0 時,ei(θa?θb)=1,此時干涉的結(jié)果為

而當(dāng)θa?θb=±π時,ei(θa?θb)=?1 ,此時干涉的結(jié)果為雖然上面兩種干涉結(jié)果完全不相同,似乎可以用來獲取Ph-bits信息,但是這只是在j=k=+條件下的特殊情況,事實(shí)上從下部分j=+,k=?的推導(dǎo)結(jié)果可以看出,干涉的結(jié)果會受到偏振態(tài)和相位的共同影響,所以此類情況的解碼規(guī)則將在下部分一起介紹.

4)j=k且j,k∈X,下面以j=+,k=+為例.此條件下的推導(dǎo)過程與上一種情況類似,這里不再贅述,下面直接寫出結(jié)果.當(dāng)θa?θb=0 時,ei(θa?θb)=1,此時干涉的結(jié)果為

將(22)式、(23)式與(20)式、(21)式比較可得, 在θa?θb=0(±π) 時,|H0H0?,|V0V0?,|0H0H?,|0V0V?(|H00H?,|V00V?,|0H H0?,|0V V0?)這四種量子態(tài)被探測到的事件都會發(fā)生,不會隨著初始偏振態(tài)而變化,而剩下幾種量子態(tài)被探測到的事件是否會發(fā)生受到偏振態(tài)的影響.定義事件

表示|H0H0?,|V0V0?,|0H0H?,|0V0V?這四種量子態(tài)中某個量子態(tài)被探測到的事件.同樣可以寫出:

那么可以將第3類和第4類情況的BSM結(jié)果歸納在表1中.

表1當(dāng)相位比特在X基中選擇時,本協(xié)議單光子干涉的第3類和第4類情況的BSM結(jié)果比較Table 1.BSM results for class 3 and class 4 cases of single-photon interference in this protocol are compared when phase bits are selected in the X basis.

由表1可知,在第三類和第四類情況下,只要事件A0(A1)發(fā)生,那么就可以斷定發(fā)送方的Phbits相同(相反).對于B0和B1事件,發(fā)送方可以通過公布其Po-bits的信息, 來獲取Ph-bits的信息.

5)j與k所代表的Po-bits相同,且j∈Z,k∈X,下面以j=H,k=+為例.將j,k的值代入(8)式和(9)式中可得:

可以看出,干涉結(jié)果的最后兩項(xiàng)與第1類情況的干涉結(jié)果,即式和式的結(jié)果一樣,所以用同樣的方法可以從這兩項(xiàng)提取出Ph-bits信息.而前面8項(xiàng)所引起的響應(yīng)結(jié)果顯然無法提取任何有效信息.

由于對稱性,容易得出關(guān)于偏振基不匹配的其他三種情況的干涉結(jié)果也是類似的,這里就不再贅述.上文對所有相位比特在X基中選擇的情況進(jìn)行了討論,下文將分別討論相位比特在Z基中選擇和相位比特在不同基中選擇的情況.

2.2 相位比特在Z基中選擇時

接下來討論相位比特在Z基中選擇的情況.假設(shè)用l和m和分別表示Alice和Bob選取的Ph-bits,即l(m)=0(1)時表示Alice(Bob)選擇的Ph-bits為0(1).下面分情況討論解碼過程.

1)l=m且l,m∈Z,下面以l=m=0為例.此時Alice和Bob入射的量子態(tài)為

顯然,(32)式與(1)式中的|?1? 相同,因此干涉結(jié)果和解碼過程與雙光子干涉類完全一樣.

2)l=m且l,m∈Z,下面以l=0,m=1為例.此時Alice和Bob入射的量子態(tài)為

容易得出,光脈沖對經(jīng)過BS后路徑信息會被抹去,而Po-bits信息會被泄露出來,所以這種條件下,通信雙方無法提取任何Po-bits信息,但是卻可以獲取所有的Ph-bits信息.即當(dāng)相位態(tài)在Z基中選擇時,無論通信雙方偏振基的選擇是什么,只要Charlie端公布的探測結(jié)果為r時刻和s時刻分別各有一次探測器響應(yīng),那么就可以斷定兩者的Ph-bits是相反的.

2.3 相位比特在不同的基中選擇時

接下來討論當(dāng)相位比特的基不匹配的情況.根據(jù)l,m是否相等以及屬于兩種不同的基,可以分成四種不同的情況討論,但是又根據(jù)Alice和Bob的對稱性以及比特0,1之間的對稱性,發(fā)現(xiàn)只需要討論其中一種情況就夠了.下面以為例,此時輸入態(tài)可以寫為

顯然,上式無法提取任何Ph-bits信息,但是上式前半部分卻可以提取出Po-bits信息,其解碼規(guī)則與雙光子干涉的情況也是一樣的.綜上所述完成了所有情況下的解碼規(guī)則的介紹,結(jié)果整理在表2中.

2.4 高信息容量

本節(jié)將分析在理想單光子源的情況下,本文提出的協(xié)議與原始協(xié)議相比的優(yōu)勢.在后文中將比較在誘騙態(tài)協(xié)議下的優(yōu)勢.

將本協(xié)議所有情況下的信息容量總結(jié)在表3中.假設(shè)選擇兩種基的概率相等,那么由表中的數(shù)據(jù)可以計算出本協(xié)議每個光子傳送的信息容量,即光子利用效率為11/32,而原始MDI-QKD協(xié)議,無論是基于相位編碼還是偏振編碼,其光子利用效率都只有1/4,那么容易得出本協(xié)議相比于原始MDI-QKD協(xié)議提升的效率為

上式證明了在本協(xié)議相對于原始MDI-QKD協(xié)議在光子利用效率上的提升.

表2本協(xié)議的解碼規(guī)則,其中flip表示比特翻轉(zhuǎn),No flip表示比特相同,C0表示事件{在r時刻和s時刻分別有且只有一個探測器響應(yīng)},0表示沒有成功事件Table 2.The decoding rules of this protocol,where flip represents the bit flip,No flip represents the same bit,C0 represents the event{there is only one detector response at time r and time s respectively},and 0 indicates that no success event occurred.

表3 本協(xié)議不同情況下可能獲得的比特信息及其相應(yīng)的概率.其中Ph(Po)-z(x)表示獲取以Z(X)基編碼的Phbits(Po-bits)信息Table 3.The bitwise information that may be obtained under different circumstances in this agreement and its corresponding probability.Where Ph(Po)-z(x)represents the Ph-bits(Po-bits)information encoded by z(x)basis.

3 實(shí)際性能評估

上節(jié)詳細(xì)介紹了本協(xié)議在理想情況下的編解碼過程,本節(jié)將考慮實(shí)際情況下的器件的非理想特性,首先引入4強(qiáng)度誘騙態(tài)方法[36]來解決實(shí)際光源的多光子問題,除此之外還考慮了有限碼長條件下的統(tǒng)計波動[37]、信道損耗、實(shí)際單光子探測器的暗計數(shù)和探測效率問題,最后利用全參數(shù)優(yōu)化方法[38,39]得出該協(xié)議的最優(yōu)安全碼率.

3.1 誘騙態(tài)方法

眾所周知,誘騙態(tài)方法的目的是為了更加緊湊地估計單光子響應(yīng)率的下界和誤碼率的上界從而極大地提高協(xié)議的安全密鑰速率[6?7],而4強(qiáng)度誘騙態(tài)方法不僅將不同強(qiáng)度誘騙態(tài)光源的統(tǒng)計波動聯(lián)合求解[37],而且同時估計出的值,從而直接將安全密鑰的最小值求解出來[36].這種方法不僅直接提高了安全密鑰率,而且還縮短了產(chǎn)生新密鑰所需的時間.本節(jié)將詳細(xì)介紹如何利用4強(qiáng)度誘騙態(tài)方法[36]來估計本協(xié)議的相關(guān)參數(shù),并且最終得出在有限碼長條件下的安全碼率.

用下標(biāo)A或B來定義光源是屬于Alice或者Bob.在光子數(shù)空間中,四種不同強(qiáng)度光源發(fā)出的量子態(tài)可以分別表示為

其強(qiáng)度和概率分別為μiA(B)和piA(B)(i=x,y,z,o).在本協(xié)議中,當(dāng)Alice選擇源z發(fā)送光脈沖時,其相位基和偏振基都選擇Z基;當(dāng)Alice選擇源y發(fā)送光脈沖時,其相位基和偏振基的選擇不相同,且不相同的兩種情況的概率都為0.5;當(dāng)Alice選擇源x發(fā)送光脈沖時,其相位基和偏振基都選擇X基.誘騙態(tài)具體方案總結(jié)在表4中.定義源lr表示Alice選擇源l,Bob選擇源r發(fā)送光脈沖(l,r=x,y,z,o),定義符號其中當(dāng)X=S(D)時,該符號表示源lr中X(Z)基比特的響應(yīng)率,當(dāng)X =T,E時,該符號表示源lr中X(Z)基比特的誤碼率,上標(biāo)j=ph,po分別表示該物理量從ph-bits和po-bits中獲得,下標(biāo)i=o,h,r分別表示該物理量由原MDI協(xié)議求得、由本協(xié)議所求得和由本協(xié)議求得的值再經(jīng)過修正后求得.例如表示本協(xié)議從源xx中獲取的屬于X基的Phbits的響應(yīng)率的修正值.

顯然,本協(xié)議的誘騙態(tài)方法所獲取的安全密鑰由Ph-bits和Po-bits兩部分組成. 但是,與原MDI-QKD協(xié)議不同的是,本協(xié)議不同源lr所獲得的不同基的比特信息是不一樣的(如表5所示),那么這就導(dǎo)致不同源的X基和Z基的單光子對的響應(yīng)率不相等,即因此不能和原MDI協(xié)議一樣直接利用去估計而是應(yīng)先找出從源lr(l,r=x,y,o)獲取的X基的比特信息與從源zz獲取的Z基比特信息的比例關(guān)系,如果定義它們的比例為一個正常數(shù)Mlr, 那么有接著將Mlr與本協(xié)議對應(yīng)源lr的響應(yīng)率相乘就可以得到修正后的響應(yīng)率然后利用這個關(guān)系先求出X基的單光子對響應(yīng)率最后再利用去估計就可以求出最終安全密鑰.

表4 本協(xié)議的誘騙態(tài)方案以及不同強(qiáng)度光源所獲得的比特信息.其中Po-X(Z)和Ph-Z(X)分別表示加載信息時偏振基選擇Z(X)基和相位基選擇Z(X)基, p x,p y,p z 分別表示三種強(qiáng)度光源的概率,分?jǐn)?shù)表示獲得比特信息的概率,z(x)-ph(po)表示該信息是用相位(偏振)解碼方式獲得的z(x)基下的比特信息Table 4.The scheme of decoy state and the bit information obtained by different intensity light sources.Where,Po-X(Z)and Ph-Z(X)respectively represent the polarization basis selection Z(X)basis and phase basis selection Z(X)basis when loading information,p x,p y,p zrespectively represent the probability of three intensity light sources,fraction represents the probability of obtaining bit information,and z(x)-ph(Po)represents the bit information under z(x)basis obtained by phase(polarization)decoding.

表5本協(xié)議的誘騙態(tài)方法獲得的比特信息.其中x,y,z分別表示三種強(qiáng)度的光源,Ph和Po分別表示相位比特和偏振比特,數(shù)字表示獲得比特信息的概率,z和x表示獲得信息所屬的基Table 5.The bit information obtained by the decoy state method of this protocol.Where x,y and z represent the light source of three kinds of intensity,Ph and Po respectively represent phase bit and polarization bit,fraction represents the probability of obtaining bit information,and z and x represent the basis to which the obtained information belongs.

下面以本協(xié)議獲取的Ph-bits信息去估計單光子對響應(yīng)率的下界為例來進(jìn)行說明.通過將表5和原MDI協(xié)議比較可知,對于Ph-bits來說,源yy的響應(yīng)率為原MDI協(xié)議響應(yīng)率的1/8,那么可以得到修正的響應(yīng)率為

又由于響應(yīng)率的降低表示此條件下的有效事件發(fā)生概率的降低,因此源yo和oy的響應(yīng)率也應(yīng)該對應(yīng)降低,保守估計降低后的響應(yīng)率為原協(xié)議響應(yīng)率的1/8,即:

而其他源的響應(yīng)率都不變,即:

確定了響應(yīng)率變化的關(guān)系后,還必須要考慮統(tǒng)計波動的影響.根據(jù)文獻(xiàn)[37],在考慮有限碼長效應(yīng)后,需要引入響應(yīng)率的均值?Slr?來 估計參數(shù)而均值?Slr?與實(shí)驗(yàn)可觀測值Slr之間的關(guān)系為

其中Nlr表示源lr所發(fā)送光脈沖的總數(shù),如果將(43)式兩邊同時乘以一個系數(shù)m(m>0), 可以得到:

上式滿足的約束條件為其中,D1∈{oo,ox,xo,xx},D2∈{oy,y o,y y} .顯然,與文獻(xiàn)[36]比較之后可以發(fā)現(xiàn),上面的表達(dá)式中只有約束條件中與源lr(l r∈D2)相關(guān)的不等式才會發(fā)生變化,其他的表達(dá)式都沒有變化.而且,約束條件的這種變化表明了統(tǒng)計波動的范圍變大了, 這也符合本協(xié)議源lr(l r∈D2)的響應(yīng)率下降這一事實(shí).

那么可以得到安全碼率關(guān)于H的函數(shù)表達(dá)式為

利用同樣的方法,可以求出本協(xié)議偏振比特安全碼率的下界Rpo(具體過程見附錄A),那么總的安全碼率為

3.2 數(shù)值仿真

本節(jié)將展現(xiàn)本協(xié)議的數(shù)值仿真結(jié)果,并與文獻(xiàn)[36]的結(jié)果進(jìn)行比較.為了簡化計算,只關(guān)注對稱的情形,即Alice端的實(shí)驗(yàn)裝置與Bob端完全一樣,兩者信道也完全相同.并且假設(shè)Charlie端的4個探測器是相同的,即它們有相同的暗計數(shù)和探測效率,而且探測效率不依賴于入射的信號.除此之外,還假設(shè)兩發(fā)送端都是隨機(jī)弱相干態(tài)光源,那么以強(qiáng)度為μ的相干態(tài)密度矩陣可以寫為ρ=而且對于所有的k有當(dāng)l=r時關(guān)于統(tǒng)計波動的處理,也與文獻(xiàn)[36]一樣,假設(shè)當(dāng)失敗概率為?=10?7時,有γ=5.3.

首先利用文獻(xiàn)[38]中的MDI的線性模型模擬出原始MDI協(xié)議中不同源和不同基的響應(yīng)率和誤碼率,當(dāng)然,與文獻(xiàn)[38]中的模型不同的是,在這一過程中考慮了本協(xié)議每個比特解碼過程都會使用8個SPD的門,也就是說通過時分復(fù)用的方法每臺SPD都使用了兩個門,而不是1個門.此時如果令P(ij|lilj) 表示Charlie端第i個和第j個探測器分別有l(wèi)i和lj個光子入射并同時發(fā)生響應(yīng)的概率,那么有:

由于在MDI-QKD數(shù)值模型中已經(jīng)將探測器與光路的損耗合并計算,所以上式中并沒有出現(xiàn)探測器損耗參數(shù).接下來利用前文中推導(dǎo)出的本協(xié)議和原始MDI協(xié)議的關(guān)系,得出本協(xié)議的響應(yīng)率和誤碼率,將其分別代入相位比特和偏振比特的單光子對的響應(yīng)率和誤碼率的公式中,通過文獻(xiàn)[37]中的方法求出其解析表達(dá)式,再代入安全碼率公式中就可以求出最終安全密鑰.最后,本文還對本協(xié)議進(jìn)行了全參數(shù)優(yōu)化[39],但與文獻(xiàn)[39]中待優(yōu)化參數(shù)的初值可以利用其他文獻(xiàn)的結(jié)果不同,本文提出的是一個新的協(xié)議,如果直接用其他文獻(xiàn)的結(jié)果作為初值搜索最優(yōu)參數(shù)可能迭代次數(shù)較多,求解時間較長.所以本文在進(jìn)行每個參數(shù)的優(yōu)化過程中,首先以文獻(xiàn)[36]中的最優(yōu)化參數(shù)作為初值,l利用進(jìn)退法搜索待優(yōu)化參數(shù)的最優(yōu)值的可能存在區(qū)間,然后再利用黃金分割法確定最優(yōu)化參數(shù)的取值.

圖2不同協(xié)議的最優(yōu)安全碼率比較.這里我們利用了表6第a列的條件,并且是以40 km處的安全碼率為優(yōu)化目標(biāo),本協(xié)議的參數(shù)優(yōu)化結(jié)果見表7第a列.圖中紅色實(shí)線表示本協(xié)議的結(jié)果,黑色虛線表示文獻(xiàn)[36]的結(jié)果Fig.2.Comparison of optimal security key rates for different protocols.Here,we take advantage of the conditions in column a of Table 6,and take the security key rate at 40 km as the optimization objective.The parameter optimization results of this protocol are shown in column a of Table 7.The solid red line in the figure represents the result of this agreement,and the dotted black line represents the result of Ref.[33].

為了便于和文獻(xiàn)[36]中的結(jié)果進(jìn)行比較,在仿真中也使用了兩組不同的參數(shù),具體參數(shù)見表6.安全碼率隨距離變化的數(shù)值仿真結(jié)果見圖2和圖3,圖中紅色實(shí)線為本協(xié)議的結(jié)果,黑色虛線為文獻(xiàn)[36]的結(jié)果.從圖中可以看出,本協(xié)議對于安全密鑰確實(shí)有一定的提升作用.具體來說,本協(xié)議在兩種條件下分別使最優(yōu)安全碼率提升了52.83%和50.55%,相關(guān)結(jié)果總結(jié)在表8中.

圖3不同協(xié)議的最優(yōu)安全碼率比較.這里利用了表6中第b列的條件,并且是以50 km處的安全碼率為優(yōu)化目標(biāo),本協(xié)議的參數(shù)優(yōu)化結(jié)果見表7中第b列.圖中紅色實(shí)線表示本協(xié)議的結(jié)果,黑色虛線表示文獻(xiàn)[36]的結(jié)果Fig.3.Comparison of optimal security key rates for different protocols.Here,we take advantage of the conditions in column b of Table 6,and take the security key rate at 50 km as the optimization objective.The parameter optimization results of this protocol are shown in column b of Table 7.The red solid line in the figure represents the result of this agreement,and the black dotted line represents the result of Ref.[36].

表6數(shù)值模擬相關(guān)參數(shù).e0是當(dāng)Alice或Bob發(fā)送空脈沖時的誤碼率; e d 為參考系對準(zhǔn)誤差;p d為暗計數(shù)率;ηd為探測效率;f e為誤碼糾錯效率;N為每個發(fā)送端發(fā)送的光脈沖總數(shù)Table 6.Relevant parameters of numerical simulation.e0is the bit error rate when Alice or Bob sends an empty pulse; e d is the reference system alignment error;p dis the dark count rate;ηd is the detection efficiency;f eis the error code correction efficiency;N is the the total number of light pulses sent by each sender.

表7 本協(xié)議兩種條件下的參數(shù)優(yōu)化結(jié)果.Table 7.Parameter optimization results under the two conditions of this agreement.

表8最優(yōu)安全碼率的比較.R p和 R t分別表示文獻(xiàn)[36]中的工作和本工作在不同條件下的計算結(jié)果.Improvement表示R t相對于 R p提升的比例Table 8.Comparison of optimal security key rates.R pand R trespectively represent the calculation results of the work in Ref.[36]and this work under different conditions.Improvement is the ratio of R t to R p.

接下來將從兩方面來說明為什么數(shù)值模擬部分只對文獻(xiàn)[36]的結(jié)果進(jìn)行比較.一方面,相比對于其他的基于高維編碼的MDI-QKD協(xié)議來說,本協(xié)議主要的優(yōu)勢在于實(shí)驗(yàn)實(shí)現(xiàn)更加簡單,而在安全碼率上不一定有提升,所以與其他的基于高維編碼的MDI-QKD協(xié)議的數(shù)值模擬結(jié)果的比較并不能完全體現(xiàn)本協(xié)議的優(yōu)勢;另一方面,對于原MDI-QKD協(xié)議來說,四誘騙態(tài)協(xié)議[36]是目前在實(shí)驗(yàn)中性能最好的誘騙態(tài)MDI-QKD協(xié)議.因此,基于上述理由,證明本協(xié)議相比于原四誘騙態(tài)MDI-QKD協(xié)議在性能上的提升已經(jīng)足夠說明本協(xié)議的意義.

4 討 論

本文提出了一種更加簡單的基于相位自由度和偏振自由度的混合編碼MDI-QKD協(xié)議.首先,相比于文獻(xiàn)[35]中提出的基于空間模式和偏振模式兩種自由度的混合編碼MDI-QKD協(xié)議,雖然碼率的提升不如后者,但是實(shí)驗(yàn)實(shí)現(xiàn)更簡單,特別是在Charlie端,相對于原MDI-QKD協(xié)議來說不需要做出任何變化.其次,相比于文獻(xiàn)[31]中提出的基于時間模式的HD MDI-QKD協(xié)議,本協(xié)議優(yōu)勢在于不需要提升用戶端的重復(fù)頻率就可以提升系統(tǒng)的安全密鑰率.下面將討論兩種不同的MDIQKD協(xié)議要改進(jìn)為本協(xié)議需要在實(shí)驗(yàn)實(shí)施上有哪些變化.

一方面,對于原始的時間編碼MDI-QKD協(xié)議來說[8],要改進(jìn)為本協(xié)議需要滿足三個條件:首先需要在發(fā)送方增加偏振編碼裝置,其次信道中需要增加偏振補(bǔ)償模塊[40?43],最后接收方需要增加兩臺單光子探測器.目前,第一個條件很容易滿足.對于第二個條件,最近的文獻(xiàn)中已經(jīng)報道了最遠(yuǎn)達(dá)到68 km的偏振補(bǔ)償實(shí)地測試實(shí)驗(yàn)[43],說明基于偏振編碼的協(xié)議已經(jīng)可以滿足在較短距離的應(yīng)用.對于第三個條件,在星型量子網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)中[44?45],接收方增加兩臺單光子探測器就可以使多個用戶的密鑰效率提高,可認(rèn)為這種成本增加是值得的.

另一方面,對于原始的偏振編碼MDI-QKD協(xié)議來說[4],與本協(xié)議不同的地方在于三點(diǎn):其一需要在發(fā)送方增加相位編碼裝置;其二需要增加相位補(bǔ)償裝置;其三為需要使接收方單光子探測器的飽和計數(shù)率增加一倍.前兩個條件都可以利用現(xiàn)有的實(shí)驗(yàn)設(shè)備實(shí)現(xiàn)[23],針對最后一個條件同樣以星型量子網(wǎng)絡(luò)為例來進(jìn)行說明,此時僅僅只需要一個接收方的成本增加,而且所有的本地用戶的設(shè)備重復(fù)頻率不用變化,就可以使全部本地用戶的密鑰率得到提高,所以同樣認(rèn)為這種成本增加是可以接受的.

另外,需要指出的是,上述有關(guān)利用4強(qiáng)度誘騙態(tài)方法[36]來估計本協(xié)議單光子對的相關(guān)參數(shù)的分析還比較粗糙,更加細(xì)致的討論可能會進(jìn)一步提升安全碼率.比如在估計參數(shù)時,與文獻(xiàn)[36]一樣,只利用了源lr(l,r∈D1,D2)的相關(guān)約束條件,而沒有利用可以獲取更多X基比特信息的源xy和yx的相關(guān)約束條件,這樣就導(dǎo)致了估計參數(shù)時考慮了更大的統(tǒng)計波動,從而降低了密鑰率.所以關(guān)于該協(xié)議更加完善的誘騙態(tài)方案還有待討論.

5 結(jié) 論

本文提出了另外一種更加簡單的基于相位和偏振兩個自由度的混合編碼MDI-QKD協(xié)議,該協(xié)議不僅可以提高安全碼率,而且完全可以利用現(xiàn)有的實(shí)驗(yàn)設(shè)備實(shí)現(xiàn).首先詳細(xì)介紹了該協(xié)議在理想條件下的編解碼規(guī)則,然后利用4強(qiáng)度誘騙態(tài)方法分析并得出該協(xié)議在實(shí)際條件下的安全碼率,當(dāng)然,本協(xié)議的誘騙態(tài)方法分析還不夠完善,還有待未來的工作去改進(jìn).特別指出該協(xié)議非常適用于量子網(wǎng)絡(luò),例如在星型量子網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)中,對于所有的本地用戶來說,只需要給其設(shè)備增加一個成本較低的相位編碼器或偏振編碼器和對應(yīng)的補(bǔ)償模塊,就可以實(shí)現(xiàn)比原始MDI-QKD協(xié)議更高的安全碼率,因此該協(xié)議在未來具有較大的應(yīng)用價值.

感謝清華大學(xué)物理系于宗文博士的討論.

附錄A

上式滿足的約束條件為

其中D1∈{oo,ox,xo,xx},D2∈{oy,yo,y y} .同樣,利用文獻(xiàn)[37]中的方法可以求出的解析表達(dá)式.關(guān)于Po-bits單光子對的誤碼率上界可認(rèn)為本協(xié)議不同源的誤碼率Tlr與原MDI-QKD協(xié)議一樣.那么根據(jù)文獻(xiàn)[36]可得:

那么可以得到Po-bits的安全碼率關(guān)于H的函數(shù)表達(dá)式為