呂康玄，劉章軍

(1.三峽大學(xué) 土木與建筑學(xué)院，湖北 宜昌 443002；2.武漢工程大學(xué) 土木工程與建筑學(xué)院，湖北 武漢 430074)

海洋工程結(jié)構(gòu)在其建設(shè)與服役過程中，可能遭受波浪、風(fēng)、地震及海流等多種災(zāi)害作用，而波浪力是海洋工程結(jié)構(gòu)的主要控制荷載之一。一般地，考慮到波浪力具有顯著的時(shí)空動(dòng)態(tài)特性，工程中通常采用連續(xù)隨機(jī)場理論來描述隨機(jī)波浪力。國內(nèi)外學(xué)者多以Morison 方程[1]為基礎(chǔ)研究波高譜與波力譜的關(guān)系，該理論認(rèn)為波浪力可視為由未受擾動(dòng)波浪場產(chǎn)生的拖曳力和慣性力組成。1958 年Borgman[2]對(duì)拖曳力進(jìn)行了線性化處理，形成了線性化波浪力分析系統(tǒng)。1967 年Borgman[3]又將線性化的Morison 方程與譜分析相結(jié)合，從而建立了波高譜與波力譜的聯(lián)系。1992 年俞聿修[4]從方差譜密度變換的角度給出了波力譜的類似形式，并基于P-M 譜對(duì)質(zhì)點(diǎn)水平速度均方根值予以簡化，其計(jì)算結(jié)果與原譜誤差較小。以上方法多是從激勵(lì)響應(yīng)的角度，利用傳遞函數(shù)直接刻畫了波高譜與波力譜之間的關(guān)系。而在波浪力數(shù)值模擬方面，Han 等[5]采用P-M 譜和Morison 方程建立了隨機(jī)波浪力計(jì)算模型，并以海上柔性塔結(jié)構(gòu)為例進(jìn)行驗(yàn)證。Mardfekri 等[6]基于線性不規(guī)則波理論對(duì)海洋隨機(jī)波浪進(jìn)行了模擬，同時(shí)結(jié)合Morison 方程對(duì)單樁基礎(chǔ)波浪荷載進(jìn)行計(jì)算，提出了概率需求模型。武昕竹等[7]基于Fluent 軟件對(duì)直立圓柱聚焦波浪進(jìn)行了數(shù)值模擬。

上述隨機(jī)波浪力的生成多以Monte Carlo 方法為基礎(chǔ)，往往需要大量的隨機(jī)抽樣，計(jì)算量大，且難以形成完備的概率集。文獻(xiàn)[8-9]從數(shù)學(xué)建模角度引入隨機(jī)函數(shù)的約束，實(shí)現(xiàn)僅用1～2 個(gè)隨機(jī)變量便可精確模擬離散狀態(tài)下波浪力隨機(jī)過程。為此，本文在推導(dǎo)隨機(jī)波浪力的功率譜密度函數(shù)時(shí)，引入隨機(jī)函數(shù)思想，并結(jié)合FFT 算法實(shí)現(xiàn)了僅用1 個(gè)隨機(jī)變量便可精確模擬波浪力隨機(jī)過程，且生成的代表性波浪力樣本具有完備的概率集，從而可結(jié)合概率密度演化理論[10-11]對(duì)連續(xù)波浪力作用下的結(jié)構(gòu)動(dòng)力響應(yīng)與可靠度進(jìn)行精細(xì)化分析。

1 隨機(jī)波浪力的譜密度

隨機(jī)波浪力的譜分析法是利用波浪力的頻率響應(yīng)函數(shù)，由已知的波高譜推求作用于建筑物上的波浪力譜。本文將從平穩(wěn)隨機(jī)過程自相關(guān)函數(shù)的角度，對(duì)波高譜與波浪力譜之間的關(guān)系進(jìn)行分析，進(jìn)而導(dǎo)出隨機(jī)波浪力的譜密度。

根據(jù)Morison 方程，單個(gè)小尺度直立樁柱上的隨機(jī)波浪力是由包含速度項(xiàng)的拖曳力和包含加速度項(xiàng)的慣性力兩部分組成：

式中： KD=0.5CDρD ， KI=0.25CIρπD2， CD和 CI分別為拖曳力系數(shù)和慣性力系數(shù)，根據(jù)《港口與航道水文規(guī)范》（JTS 145—2015），可取CD=1.2，CI=2.0； ρ為 海水密度； D 為樁柱直徑；u (z,t)和 a (z,t)分別是水質(zhì)點(diǎn)的水平速度和水平加速度，它們都是零均值的平穩(wěn)隨機(jī)過程，其功率譜密度函數(shù)[12]分別為：

式中：Sη(ω)為 波浪隨機(jī)過程η (t) 的功率譜密度，即波高譜；z 是 以海底為坐標(biāo)原點(diǎn)的豎向坐標(biāo)；ω和 k 分別為頻率和波數(shù)，它們之間滿足彌散關(guān)系ω2=gktanh(kh)， 其中g(shù) 為 重力加速度， h為海水深度。

根據(jù)Borgman 的線性化處理[2]，得到：

式中：σu(z)為 水平速度過程u (z,t)的均方差，即：

將式（3）代入式（1）中，得到隨機(jī)波浪力的等價(jià)線性表達(dá)式：

考察隨機(jī)波浪力的自相關(guān)函數(shù)，對(duì)于任意位置z 處的波浪力隨機(jī)過程，其自相關(guān)函數(shù)為：

式中：τ 為時(shí)間間隔。E[·]表示取均值，根據(jù)平穩(wěn)隨機(jī)過程與其均方導(dǎo)數(shù)在同一時(shí)刻t 上總是互不相關(guān)的理論，可得：

根據(jù)自相關(guān)函數(shù)與功率譜密度函數(shù)之間的關(guān)系，得到：

式（8）為任意位置坐標(biāo)z 處的波浪力功率譜密度函數(shù)。因此，隨機(jī)波浪力是一個(gè)零均值的平穩(wěn)隨機(jī)過程，可以直接應(yīng)用隨機(jī)過程的譜表示法來模擬任意給定位置z 處的波浪力過程，從而實(shí)現(xiàn)隨機(jī)波浪力連續(xù)場的高效模擬。

2 基于源譜表達(dá)的降維模擬

由于任意給定位置坐標(biāo)z 處的波浪力是一個(gè)零均值的實(shí)平穩(wěn)隨機(jī)過程，根據(jù)平穩(wěn)隨機(jī)過程的譜表示理論，其源譜表達(dá)式為：

式中： ωk為第k 個(gè)離散點(diǎn)的頻率； ?ω 為頻率步長； N 為頻率截?cái)囗?xiàng)數(shù)； ωu為 截?cái)囝l率；{ Xk,Yk}為一組標(biāo)準(zhǔn)正交隨機(jī)變量，滿足以下基本條件：

式中： δjk為Kronecker 記號(hào)。

如果直接假定式（9）中的標(biāo)準(zhǔn)正交隨機(jī)變量集 {Xk,Yk}為一組相互獨(dú)立的標(biāo)準(zhǔn)高斯隨機(jī)變量，則式（9）就是所謂的非確定性幅值譜表示法，此時(shí)波浪力連續(xù)場的隨機(jī)度為 2N，這種高維的隨機(jī)度問題，對(duì)于非線性隨機(jī)動(dòng)力學(xué)是一個(gè)挑戰(zhàn)。為此，考慮到隨機(jī)變量集 {Xk,Yk}僅 需滿足式（11）的基本條件，其概率分布未知，因此可以引入隨機(jī)函數(shù)，實(shí)現(xiàn)隨機(jī)波浪力連續(xù)場的降維模擬。首先，定義一組標(biāo)準(zhǔn)正交隨機(jī)變量集為基本隨機(jī)變量 Θ的正交函數(shù)：

式中： Θ為基本隨機(jī)變量，服從( ?π,π)上 的均勻分布； α為 任意確定性參數(shù)，通常可取α =π/4。

其中，?k(Θ)為 基本隨機(jī)變量 Θ的函數(shù)，其表達(dá)式為：

為保證模擬精度，定義任意給定位置坐標(biāo)z 處波浪力過程的截?cái)嗾`差為：

一般地，ε (N)?1， 對(duì)于隨機(jī)波浪力連續(xù)場的模擬，本文建議ε (N)≤0.001。

在小學(xué)語文教學(xué)過程中運(yùn)用經(jīng)典誦讀對(duì)于課堂教學(xué)效率與教學(xué)質(zhì)量的提高、小學(xué)生閱讀能力與寫作能力的提升等方面具有重要的促進(jìn)作用。綜上所述，在小學(xué)語文教學(xué)中運(yùn)用經(jīng)典誦讀是促進(jìn)學(xué)生語文綜合素養(yǎng)養(yǎng)成的重要途徑。

3 隨機(jī)波浪力連續(xù)場的FFT 算法

為進(jìn)一步提高模擬效率，本文將FFT 算法[14]應(yīng)用于隨機(jī)波浪力連續(xù)場的模擬中。首先，將式（13）改寫成如下形式：

式中：R e[·]表 示取實(shí)部，i為虛數(shù)單位。

將時(shí)間t 進(jìn)行離散，取時(shí)間步長為 ?t，離散步r=1,2,…,2N, 則式（16）可進(jìn)一步寫成：

其中

為避免隨機(jī)過程模擬失真，頻率步長 ?ω滿足如下要求[15]：

在FFT 算法中，通過構(gòu)建頻率步長和時(shí)間步長之間的聯(lián)系，能夠?qū)㈩l率求和與時(shí)間離散同步進(jìn)行，因而可極大地提高隨機(jī)波浪力連續(xù)場的模擬效率。

4 數(shù)值算例

為了進(jìn)一步闡述本文方法的有效性，以某一單個(gè)小尺度直立圓柱樁所受的隨機(jī)波浪力進(jìn)行分析?，F(xiàn)以樁底為原點(diǎn)，海底平面水平方向?yàn)?x軸 ，豎直方向?yàn)?z軸，建立如圖1 所示的坐標(biāo)系。

式中：無因次常數(shù)μ =8.1×10?3，β =0.74； 重力加速度g =9.81 m/s2； v19.5表示海面上19.5 m 高度處的平均風(fēng)速。

對(duì)于Pierson-Moscowitz 譜，式（4）可近似地簡寫為[4]：

其中， H1/3為1/3 有效波高，可按下式計(jì)算：

數(shù)值算例中具體參數(shù)如下：圓樁直徑3 m，海水深24 m，海水密度為1 025 kg/m3，模擬持時(shí)1 000 s，平均風(fēng)速16.24 m/s，頻率截?cái)囗?xiàng)數(shù)1 024，F(xiàn)FT 變換點(diǎn)數(shù)2 048，頻率步長0.006 28 rad/s，時(shí)間步長0.488 s，計(jì)算最大截?cái)嗾`差為2 .72×10?13。

為生成隨機(jī)波浪力的代表性樣本集合，首先需要對(duì)基本隨機(jī)變量 Θ在 (?π,π)上 選取代表性點(diǎn)集其中 nsel為代表性點(diǎn)的數(shù)量（本文中 nsel=200 ），并計(jì)算每一個(gè)代表性點(diǎn) θi的賦得概率 Pi。顯然，所有代表性點(diǎn)的賦得概率之和為了說明本文方法的有效性，分別采用降維模擬方法和Monte Carlo 方法生成200 條隨機(jī)波浪力樣本，計(jì)算得到均值誤差、標(biāo)準(zhǔn)差誤差及模擬時(shí)間分別為0.059%(5.750%)，3.43%(3.94%)和11.97 s(12.07 s)?？梢?，降維模擬方法的均值誤差遠(yuǎn)小于Monte Carlo 方法，標(biāo)準(zhǔn)差誤差也略小于Monte Carlo 方法，表明降維模擬方法具有較高的模擬精度。此外，在模擬效率方面，降維模擬方法也略優(yōu)于Monte Carlo 方法。

圖2 給出了降維模擬方法與Monte Carlo 方法生成的第100 條隨機(jī)波浪力樣本函數(shù)（以 z=17 m 為例）。由圖2 可知，上述兩種方法生成的波浪力樣本函數(shù)在幅值、波長等方面具有相似性，且均具有零均值平穩(wěn)隨機(jī)過程的基本特征。

圖2 隨機(jī)波浪力的樣本函數(shù)Fig.2 Sample functions of random wave force

圖3 繪出了隨機(jī)波浪力在時(shí)間和空間兩個(gè)維度上的分布，其中從z=0.01 m 起，取高度間隔為0.01 m，利用本文方法生成2 400 個(gè)樁柱位置處的隨機(jī)波浪力代表性樣本，并取各樁柱位置處的第1 條代表性樣本繪制而成。從圖3 可知，沿著樁柱的高度方向，波浪力的幅值逐漸增大，且在靠近海平面位置處波浪力幅值增長的速率加快；而在時(shí)域方向，波浪力表現(xiàn)出顯著的零均值特征和平穩(wěn)特征。

圖4 為模擬的均值及標(biāo)準(zhǔn)差與目標(biāo)值比較（以z=17m 為例）。從圖4 可以看出，模擬的均值、標(biāo)準(zhǔn)差均與目標(biāo)值一致。圖5 給出了 z=17 m 處隨機(jī)波浪力的自相關(guān)函數(shù)比較。

圖3 不同高度處波浪力代表性時(shí)程三維圖Fig.3 3-D figure of representative time-histories for wave force at different heights

圖4 z =17 m處均值及標(biāo)準(zhǔn)差比較Fig.4 Comparison of mean and standard deviation atz=17 m

圖5 z =17 m處自相關(guān)函數(shù)比較Fig.5 Comparison of auto-correlation functions atz=17 m

圖6 為z1=17 m 和 z2=21 m之間的互相關(guān)函數(shù)比較，其中自（互）相關(guān)函數(shù)均進(jìn)行了無量綱處理。顯然，自相關(guān)函數(shù)和互相關(guān)函數(shù)的模擬值與目標(biāo)值幾乎完全擬合，進(jìn)一步說明了降維模擬方法的有效性。

圖7 進(jìn)一步給出了本文方法與Monte Carlo 方法關(guān)于相干函數(shù)的比較。圖中以 z1=17 m 和 z2=21 m處的兩個(gè)隨機(jī)波浪力過程為例，在有效頻率0.4～2.8 rad/s范圍內(nèi)，計(jì)算其相干函數(shù)的模擬值和目標(biāo)值。從圖7可見，在有效頻率范圍內(nèi)，模擬的相干函數(shù)值在目標(biāo)值上下波動(dòng)，且比Monte Carlo 方法的結(jié)果更接近于目標(biāo)值，表明本文方法的模擬精度更高。

圖6 z1=17 m 和z2=21 m處互相關(guān)函數(shù)比較Fig.6 Comparison of cross-correlation functions between z1=17 m andz2=21 m

圖7 z1=17 m 和z2=21 m處空間相干函數(shù)比較Fig.7 Comparison of spatial coherence functions between z1=17 m andz2=21 m

5 結(jié) 語

本文利用線性化的Morison 方程，從平穩(wěn)隨機(jī)過程自相關(guān)函數(shù)的角度推導(dǎo)出隨機(jī)波浪力的功率譜密度函數(shù)。同時(shí)，在平穩(wěn)隨機(jī)過程的源譜表達(dá)基礎(chǔ)上，結(jié)合隨機(jī)函數(shù)的降維思想，建立了隨機(jī)波浪力連續(xù)場的降維模型。研究表明，該降維模型具有以下特點(diǎn)：

（1）利用任意高度處隨機(jī)波浪力的功率譜密度函數(shù)，實(shí)現(xiàn)了用1D-1V 平穩(wěn)隨機(jī)過程的譜表示理論模擬2D-1V 隨機(jī)波浪力連續(xù)場的目的。本質(zhì)上，本文方法是一種連續(xù)的方法，可以對(duì)任意高度處的隨機(jī)波浪力進(jìn)行快速模擬，避免了傳統(tǒng)離散方法對(duì)于模擬點(diǎn)數(shù)量和位置的限制。

（2）基于隨機(jī)函數(shù)的降維思想，實(shí)現(xiàn)了僅用1個(gè)基本隨機(jī)變量即可精細(xì)地模擬隨機(jī)波浪力連續(xù)場。與Monte Carlo 方法相比，本文方法生成的代表性樣本能夠構(gòu)成一個(gè)完備的概率集，在模擬效率和精度方面也略高于Monte Carlo 方法。