（遼寧工業(yè)大學(xué) 機械工程與自動化學(xué)院，遼寧 錦州 121001）

葉片在長時間工作時容易產(chǎn)生裂紋、折斷等現(xiàn)象，這大大降低了葉片的工作壽命，產(chǎn)生此現(xiàn)象的主要原因是葉片振動，因此，對葉片進行振動分析至關(guān)重要，而葉片在旋轉(zhuǎn)工作的過程中，存在升速與降速的情況，不考慮轉(zhuǎn)速的影響對葉片輪盤系統(tǒng)進行建模仿真，會導(dǎo)致測量結(jié)果不準確，而目前大多數(shù)的分析方法都是在不考慮轉(zhuǎn)速影響的情況下進行，因此本文在考慮轉(zhuǎn)速影響的情況下，對葉盤系統(tǒng)進行建模仿真與振動參數(shù)測量，使得出的結(jié)果更加符合實際。

本文采用葉尖定時法[1-4]的測量原理對葉片振動進行仿真分析，原因在于該方法應(yīng)用廣泛，與頻率調(diào)制法[5]、激光全息法[6]、激光多普勒法[7-9]和聲發(fā)射多普勒法[10]等其他測量方法相比，其容易安裝，不會對葉片的原有材料屬性造成影響，而且能夠測量出較多葉片的振動參數(shù)。然而，葉尖定時法不能直接測量出葉片的全部振動參數(shù)，因此，為了解決這一問題，需結(jié)合雙參數(shù)法[11]、自回歸法、均布法[12]、速矢端跡法[13]等參數(shù)辨識算法辨識出葉片的全部振動參數(shù)。然而，以上所述的各種算法均不是很成熟，都存在各自的缺點，國內(nèi)外很多研究者對其缺點研究與改進，提出了更加完善的參數(shù)辨識算法。如歐陽濤[14]提出了一種多傳感器參數(shù)辨識算法，該方法應(yīng)用多支葉尖定時傳感器，并任意分布在葉輪一周。其原理是通過檢測葉片頂端經(jīng)過葉尖定時傳感器的時間，計算其時間差值，利用葉片半徑、葉片轉(zhuǎn)動角速度等參數(shù)計算葉片振動位移。這種方法的適用范圍廣，其優(yōu)點在于對傳感器的安裝角度、布局方式?jīng)]有固定要求。因此本文利用該種參數(shù)辨識算法對恒速下葉片同步振動進行參數(shù)辨識，證明在考慮轉(zhuǎn)速時對葉盤系統(tǒng)進行振動分析的仿真結(jié)果正確。因此，本文對考慮轉(zhuǎn)速影響時的葉片輪盤振動系統(tǒng)進行振動仿真測量，為葉片振動測量提出了一種更加貼合實際的振動參數(shù)測量方式。

1 建立葉尖定時測振系統(tǒng)

本文所采用的整個葉片輪盤系統(tǒng)具有8 個葉片，并將整個輪盤系統(tǒng)看成是剛體。由此建立8 葉片振動系統(tǒng)模型，如圖1 所示。

圖1 8 葉片振動系統(tǒng)模型

由該8 葉片振動系統(tǒng)模型，可以得到如下公式。

整體阻尼矩陣：

整體質(zhì)量矩陣：

整體剛度矩陣：

通過振動理論可列出該葉片輪盤系統(tǒng)的振動微分方程，其方程如下式（4）所示：

式中：{y}為振動位移，{F(t)}為外部激振力，將式（1）、式（2）和式（3）代入式（4），化簡得到下式（5）。因該葉盤系統(tǒng)為8 葉片結(jié)構(gòu)，所以i的取值為0,1……7，且令0-1=7,7+1=0。

式（5）為單葉片與單輪盤振動系統(tǒng)方程，由此建立單葉片振動系統(tǒng)模型與單輪盤振動系統(tǒng)模型。如圖2、圖3 所示。

圖2 單葉片振動系統(tǒng)模型

為了方便測量，將激光轉(zhuǎn)速傳感器J0 安裝在旋轉(zhuǎn)軸一側(cè)，在旋轉(zhuǎn)軸上設(shè)置檢測標(biāo)記，使激光轉(zhuǎn)速傳感器能夠準確捕捉到轉(zhuǎn)速信號，并將此作為基準傳感器，即安裝角度設(shè)置為0 度，另外采用電渦流傳感器采集葉片頂端到達傳感器的時間信號，為了確保測量精度，將數(shù)量設(shè)置成 4 支,編號為TIP0～TIP3 傳感器，將其與基準傳感器形成一定的夾角分別安裝在傳感器安裝支架上。由此傳感器布局圖，如圖3 所示。

圖3 傳感器布局圖

在Simulink 中模擬葉尖定時測量原理，如圖4 所示，令葉片旋轉(zhuǎn)到激光轉(zhuǎn)速傳感器J0 時的t=0，即該時刻為初始時間。轉(zhuǎn)子角速度ω=2πfv（fv為轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)速頻率），因為葉片旋轉(zhuǎn)為周期性運動，可用正弦函數(shù)關(guān)系表述，所以，當(dāng)電渦流傳感器可以檢測到某個葉片的振動信號時，等式αi=2πfv*t成立，因此用sin(2πfv*t)=sin(αi)的成立與否來斷定葉片頂端經(jīng)過電渦流傳感器的時間，當(dāng)上述等式成立時，葉片頂端到達電渦流傳感器，圖4 中的YTIP=y，若等式不成立時，說明葉片頂端沒有到達傳感器，此時令電渦流傳感器輸出值YTIP=0。最后將圖2、圖3 與圖4 相關(guān)聯(lián)，本文采用的葉盤結(jié)構(gòu)具有8 個葉片，且采用4 支電渦流傳感器對葉片振動進行測量，由此可建立8 葉片測振系統(tǒng)模型，如圖5 所示。

圖4 葉尖定時測振原理模擬圖

2 失諧葉盤動頻分析與參數(shù)擬合

2.1 失諧葉片-輪盤動頻分析

由圖1 的8 葉片-輪盤振動系統(tǒng)模型可知，本文采用的葉盤系統(tǒng)為8 葉片-輪盤結(jié)構(gòu)，因此編號8個葉盤分別為NO0～NO7。在諧調(diào)葉盤系統(tǒng)結(jié)構(gòu)為葉盤系統(tǒng)中各葉片材料、幾何參數(shù)均相同。而對于失諧葉盤系統(tǒng)結(jié)構(gòu)，可通過改變?nèi)~盤系統(tǒng)中各葉盤的材料、幾何參數(shù)，使各葉片材料、幾何參數(shù)不相同，即為失諧葉盤系統(tǒng)，由此，本文通過改變?nèi)~盤的彈性模量使8 葉片-輪盤系統(tǒng)達到失諧的目的，所設(shè)定的材料及材料參數(shù)如表1 所示。

圖5 8 葉片測振系統(tǒng)模型

表1 葉片輪盤材料及材料參數(shù)

建立8 葉片-輪盤系統(tǒng)的有限元模型，并利用有限元對其進行不同轉(zhuǎn)速下的動頻分析，轉(zhuǎn)速頻率設(shè)置為0～200 Hz，為確保進行曲線擬合時的計算精度，令轉(zhuǎn)速頻率步長為40 Hz，進行有限元動頻分析后NO0 號葉片在不同轉(zhuǎn)速下的葉片振動陣型圖。如圖6 所示。通過此圖，可以獲取NO0 號葉片在不同轉(zhuǎn)速頻率下的固有頻率。

圖6 不同轉(zhuǎn)速頻率下NO0 號葉片振型圖

同理，根據(jù)上述做法，可以得出另外7 個葉片，即NO1～NO7 號葉片在0～200 Hz 轉(zhuǎn)速頻率下的葉片振動振型圖，據(jù)此，將NO0～NO7 號葉片在不同轉(zhuǎn)速頻率下的固有頻率匯總，可得出8 葉片在不同轉(zhuǎn)速頻率下的動頻，如表2 所示。

表2 8 葉片在不同轉(zhuǎn)速下的動率 (Hz)

2.2 數(shù)據(jù)擬合

根據(jù)表2 的NO0～NO7 號葉片在不同轉(zhuǎn)速頻率下的動頻，通過MATLAB 數(shù)據(jù)擬合功能擬合出葉片動頻fi（i=1,2,…7）隨轉(zhuǎn)速頻率fv變化的公式。如式（7）所示。

根據(jù)上述數(shù)據(jù)擬合結(jié)果，可繪制NO0 號葉片振動坎貝爾圖，如圖7 所示。

圖7 NO0 號葉片振動坎貝爾圖

從中可以看出，當(dāng)激勵倍頻為1 時，NO0 號葉片不會發(fā)生共振現(xiàn)象，當(dāng)激勵倍頻為2、3、4 時，NO0 號分別在轉(zhuǎn)速頻率為44.77 Hz、23.4 Hz、15.96 Hz 時會發(fā)生共振現(xiàn)象。

3 信號仿真分析與參數(shù)辨識

3.1 恒速時葉片同步振動信號仿真分析

查閱資料，取該葉片材料45 號鋼的阻尼系數(shù)為0.005，由此可以求出c0=c1=…=c6=c7=0.287 N·s/m，葉片的質(zhì)量為m0=m1=…=m6=m7=0.287 kg，在本文所采用的的葉盤系統(tǒng)模型中，相鄰葉片之間無任何部件連接，葉片之間無耦合，即k01=k12=…=k67=k71=0，c01=c12=…=c67=c71=0。葉片發(fā)生同步振動時，滿足f=Nefv，Ne為激振倍頻，且Ne為正整數(shù)，因此在8 葉片葉尖定時測振系統(tǒng)模型中，葉片受到的激振力為F(t)=FAcos(2πNεfvt+φ)。令Ne=2，初始相位角φ0=0，恒偏量C=0，激振力幅值為FA=0.163 N。將TIP0～TIP3 四支葉尖定時傳感器按照0°、14°、29°和43°分布安置，從上述圖7 的坎貝爾圖可知，當(dāng)振動激勵倍頻為2 時，NO0 號葉片在44.77 Hz 轉(zhuǎn)速頻率時發(fā)生共振現(xiàn)象，因此，將轉(zhuǎn)速頻率設(shè)置為44.77 Hz，仿真時間5 s，利用8 葉片測振系統(tǒng)模型進行仿真，求解后可以得出恒速時NO0號葉片同步振動響應(yīng)圖與各傳感器測得的NO0 號葉片同步振動位移圖，如圖8、圖9 所示。

圖8 恒速下NO0 號葉片同步振動響應(yīng)

圖9 恒速下各傳感器測得NO0 號葉片同步振動位移

從圖8 中可看出當(dāng)葉片振動趨于穩(wěn)定時，其振動位移為1.03 mm，而從圖9 可以得出各傳感器測得NO0 號葉片振動位移，其穩(wěn)定振動位移參數(shù)如下表3 所示，其結(jié)果用于恒速下葉片同步振動參數(shù)辨識。

表3 各傳感器測得振動位移

3.2 恒速下葉片同步振動參數(shù)辨識

將傳感器數(shù)量設(shè)置為n，旋轉(zhuǎn)葉片頂端經(jīng)過葉尖定時傳感器的時刻為ti，且葉片同步振動的振動頻率ω=NeΩ，因此，恒速下不同傳感器測得的葉片同步振動位移表達式為：

令采用葉尖定時傳感器的數(shù)量設(shè)置為n，因此在式（9）中，i=0,1,2…n。

葉片頂端經(jīng)過TIP0 傳感器的時刻設(shè)置為t0=0，則4支電渦流傳感器與TIP0電渦流傳感器之間的安裝角度差為αi=Ωti，則TIP0 電渦流傳感器安裝角度α0=Ωt0=0°，將αi代入到上式（9）中，可以得到：

將式（10）展開后可寫成：

結(jié)合采用的傳感器數(shù)量，可將n支電渦流傳感器測得的葉片同步振動位移改寫為：

將式（12）寫成矩陣形式Y(jié)=BX，分別令其表達式如下：

由公式Y(jié)=BX中B、X 的矩陣表達形式可知，該計算公式中含有Ne、A、φ和C4 個振動參數(shù)未知，因此在Y的表達式中至少需要4 支葉尖定時傳感器測得的葉片振動位移值。將Ne設(shè)定取值范圍，將其在取值范圍內(nèi)進行倍頻遍歷，將可能的Ne取值代入到公式Y(jié)=BX中，通過最小二乘法求得其對應(yīng)的解向量Xk：

將Nek作為遍歷倍頻，且Nek=1～20，因此當(dāng)殘差的方差Sk取得最小值時，葉片振動遍歷倍頻與實際倍頻相等，即Nek=Ne*，從而可求得相對應(yīng)的X*，對此，為得出實際激勵倍頻Ne*，需求得計算出的位移結(jié)果與測量的位移值之間的殘差，并計算其殘差的方差Sk，計算方法與求得公式如下：

將Xk代入到Y(jié)=BX中，計算其與測得的振動位移Y之間的殘差Ek：

在式（17）中，Ek是由eki組成的列向量，即Ek=(ek0ek1ek2…ekn-1)T。

用殘差Ek的方差Sk來表示遍歷結(jié)果與測量結(jié)果的誤差：

綜上所述，可以列出恒定轉(zhuǎn)速下葉片同步振動參數(shù)的計算公式，其公式如下所示：

振幅A：

初相位φ：

恒偏量C：

將 TIP0～TIP3 四支葉尖定時傳感器按照α0=0°、α1=14°、α2=29°、α3=43°的角度差進行布置，利用表3 的恒速下4 支葉尖定時傳感器測得的NO0 號葉片振動位移結(jié)果，對NO0 號葉片的同步振動參數(shù)進行參數(shù)辨識，遍歷倍頻取1～20，得到其參數(shù)辨識曲線如圖10 所示，其中1～10 遍歷倍頻下的參數(shù)辨識結(jié)果如表4 所示。

圖10 恒速下NO0 號葉片同步振動參數(shù)辨識曲線

表4 參數(shù)辨識結(jié)果

由圖7 的NO0 號葉片同步振動參數(shù)辨識曲線可知可以看出，Sk的最小值為0.00048，且當(dāng)Sk取得最小值時，激勵倍頻Ne=2，因此實際振動激勵倍頻為2，這與恒速下葉片同步振動信號仿真時設(shè)定的激振倍頻一致，由該種辨識算法計算后得到的振動參數(shù)為：振幅A=1.0191 mm，初相位φ=-0.4362°，恒偏量C=0.0134 mm。在恒速下葉片同步振動信號仿真時的振動參數(shù)為：振幅A=1.03 mm，初相位φ=0°，恒偏量C=0 mm。將此兩組參數(shù)進行對比，振幅的絕對誤差為0.0109 mm，恒偏量的絕對誤差為0.00134 mm，初相位的絕對誤差為0.4362°，各參數(shù)之間絕對誤差均極小，說明利用考慮轉(zhuǎn)速影響的葉盤系統(tǒng)仿真模型得出測量結(jié)果的準確性。

5 結(jié)論

通過對葉片振動進行理論推導(dǎo)，并結(jié)合葉尖定時測振原理與傳感器的布置方式，建立8 葉片葉尖定時測振系統(tǒng)模型；對失諧葉盤系統(tǒng)進行有限元動頻分析，得出動頻隨轉(zhuǎn)速頻率變化的關(guān)系式，據(jù)此計算出葉片剛度，繪制NO0 號葉片振動坎貝爾圖，通過坎貝爾圖可知，當(dāng)轉(zhuǎn)速頻率為44.77 Hz 時，NO0號葉片會發(fā)生共振現(xiàn)象；因此，在恒定44.77 Hz 轉(zhuǎn)速頻率時對NO0 號葉片進行葉片同步振動信號仿真分析，得出葉片振幅值與各傳感器測得的振動位移；由此進行恒速下葉片同步振動參數(shù)辨識，得出較為全面的葉片振動參數(shù)，將辨識結(jié)果與恒速下葉片同步振動信號仿真得到振動參數(shù)進行對比，兩者相差極小，說明該種考慮轉(zhuǎn)速影響對葉片振動系統(tǒng)進行建模仿真的測量方法是準確的，因此，該種考慮轉(zhuǎn)速影響對葉片輪盤系統(tǒng)進行振動仿真分析的方法，為葉片振動測量提供了一種更加貼合實際的測量方式。