蔣文榮 康 雯 鄧 慧 譚勢威

（[1]桂林市第十九中學 廣西·桂林 541001；[2]廣西師范大學 廣西·桂林 541004）

1 問題提出

兩院院士大會提出：要把關鍵核心技術掌握在自己手中，才能從根本上保障國家經(jīng)濟安全、國防安全和其他安全。關鍵核心技術源于基礎研究，特別是數(shù)學研究，甚至有專家指出高技術本質上就是數(shù)學技術。數(shù)學已廣泛滲透到各個領域，特別是人工智能時代的到來，數(shù)學在各行各業(yè)中扮演著越來越重要的角色。與此同時對人才的培養(yǎng)提出了更高的要求，在數(shù)學教育教學中，如何培養(yǎng)學生的數(shù)學應用意識與應用能力已成為迫切需要解決的問題。數(shù)學建模是數(shù)學溝通現(xiàn)實世界的橋梁，是培養(yǎng)數(shù)學應用意識與應用能力的重要活動形式。

數(shù)學建模是數(shù)學思想的一大核心內容，在中學數(shù)學教學中培養(yǎng)學生的建模意識和建模思想方法是十分必要的，許多中學數(shù)學教師也重視數(shù)學建模教學。但在數(shù)學建模的實際教學中，存在著“數(shù)學建模教學難實施”、“費時費力”、“學生學不懂”等問題?，F(xiàn)代信息技術的發(fā)展為數(shù)學建模創(chuàng)新教育注入了新的活力，如何利用動態(tài)數(shù)學技術改善數(shù)學建模教學中存在的“增負”和“弱化數(shù)學本身學習”等問題？本文借助Hawgent動態(tài)數(shù)學軟件，以“費馬點”問題為例，探討利用動態(tài)數(shù)學技術助力數(shù)學建模教學。

數(shù)學建模的主要步驟如圖1所示：

圖1

2 案例呈現(xiàn)

平面解析幾何往往有著濃厚的實際背景，經(jīng)由高度的數(shù)學抽象而來。關注平面解析幾何的實際背景，從數(shù)學的視角發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、分析問題、進而解決問題，是發(fā)展學生數(shù)學建模素養(yǎng)的好素材?！百M馬點”問題是十七世紀法國數(shù)學家、被譽為業(yè)余數(shù)學家之王的皮埃爾·德·費馬（PierredeFermat，1601-1665）提出的，本質上是一道選址問題，在生產生活、物流、甚至軍事中都有著非常廣泛的應用。

2.1 作出合理假設，建立數(shù)學模型

2.1.1 實際情境引入

問題（三村短路問題）：有一個村莊，由于條件有限，打算合建一所小學，并且共同修筑從小學到各村的道路。假如你是工程設計師，請問應該將小學的地址選在什么地方，才能使修筑的道路總長最短呢？

師：你能試著從這個實際情境中提出數(shù)學問題嗎？

生1：三個村莊的位置中心構成一條直線時，在位于中間位置的村莊建立學校可使得道路總長最短（兩點之間線段最短）。因而著重考慮三個村莊的位置構成三角形時的情況。

生2：在 ABC中，點P在 ABC內，問：P點在何處時使得PA+PB+PC的值最??？

圖2

2.1.2 分析問題

師：觀察示意圖，請找出變化的對象和不變的對象，并明確要解決的目標。

生：變的對象：點P、PA、PB、PC；不變的對象：ABC。要解決的目標：PA+PB+PC的最小值。

2.1.3 小組探究活動

請以小組為單位，借助皓駿動態(tài)數(shù)學軟件，尋找點P的位置。（教師巡回指導）在探究過程中，請注意以下兩個問題：（1）判斷三個點所形成的位置關系；（2）嘗試借助皓駿動態(tài)數(shù)學軟件尋找P點的最優(yōu)位置。

小組通過探究活動發(fā)現(xiàn)：（1）三角形為銳角三角形或直角三角形時，P點在三角形的內部。（2）三角形為鈍角三角形時，P點在三角形的內部，有時在三角形的鈍角頂點上。借助皓駿動態(tài)數(shù)學軟件進一步探究發(fā)現(xiàn)：當三角形有一個角等于120。時，P點在120°角頂點上時PA+PB+PC最小。當三角形有一個角大于120。時，此時P點的位置在最大角的頂點上。

【評析】首先，有效的數(shù)學建模教學始于精心的問題設計。以著名的“三村短路”問題引入本次教學，感受數(shù)學來源于實際生活，并服務于實際生活，激發(fā)數(shù)學建模興趣。其二，完整的數(shù)學建模過程需要進行合理假設。數(shù)學建模的目的在于解決現(xiàn)實生活中的實際問題，要用數(shù)學知識解決實際問題，必須進行合理的假設。

數(shù)學建模不能沖淡對數(shù)學本身的學習，強調把數(shù)學知識的系統(tǒng)學習置于首位。引導學生利用皓駿動態(tài)數(shù)學軟件，使學生通過拖動、測量等，快速判斷最優(yōu)選址的大概位置，減輕學生分情況討論最優(yōu)選址位置的負擔，使其親身經(jīng)歷對實際問題進行合理假設和抽象，從實際問題中提出數(shù)學問題的完整過程。

2.2 尋求已有經(jīng)驗，求解數(shù)學模型

2.2.1 聯(lián)系已知

師：你之前解決過相似的題目嗎？

生1：和“將軍飲馬”最短路徑問題相似，“將軍飲馬”問題是通過構造對稱變換，將折線段轉化為直線段，利用“兩點之間線段最短”公理解決。

生2：解決過“造橋選址”的問題，通過構造平移變換，將三條線段的問題轉化成兩定點之間的距離問題。

師：你能從中受到什么啟發(fā)？

生3：我們能否利用某種變換將這個問題轉化成求兩個定點之間的距離的問題。

2.2.2 遷移運用，小組探究

小組討論交流：我們學習過什么基本變換？采取那種變換比較合適？怎么變換？并借助皓駿動態(tài)數(shù)學軟件驗證結論。

問題預設：學習過對稱變換、平移變換、旋轉變換。采取旋轉變換比較合適，如圖所示，可將 APC繞點A逆時針旋轉60。得到 AP′C′，此時，PA=PP′，PC=P′C′，PA+PB+PC 就轉化成了PB+PP′+P′C′。P點是動點，P′經(jīng)由P點繞點A旋轉60。得到，隨P點變化而變化。此時點B和點C′為定點，轉化成了求兩定點之間的距離問題，當B、P、P′、C′四點共線時，有 PA+PB+PC=PB+PP′+P′C′最短。

圖3

【評析】建構主義學習理論認為，學生并不是空著腦袋走進課堂的，教師不能無視學生的已有經(jīng)驗，而應該把已有知識經(jīng)驗作為新知識的生長點。數(shù)學建模本身就是一個微型的科學研究過程，這個過程必須以扎實、優(yōu)化的數(shù)學知識結構為基礎。本問題的難點就在于構造圖形旋轉變換，從學生熟悉的最短路徑問題“將軍飲馬”和“造橋選址”問題中發(fā)現(xiàn)規(guī)律，動態(tài)數(shù)學技術助力探究發(fā)現(xiàn)，破解難點，為成功數(shù)學建模指明方向，促使學生成功構造旋轉變換解決問題。

2.3 把握問題中心，優(yōu)化模型解決

2.3.1 回歸問題

問題1：題目要求的是什么？你能準確找到點P的位置嗎？

問題預設：求解目標是找到點P的位置，使得PA+PB+PC的值最小。

生 1：借助皓駿動態(tài)數(shù)學軟件，拖動點 P，使得 B、P、P′、C′共線時，P點的位置即可確定。

生2：借助動態(tài)數(shù)學軟件拖動可能存在一定的誤差，且沒有動態(tài)數(shù)學技術支持時更難找到點P的位置。

2.3.2 優(yōu)化方法

問題2：不借助皓駿動態(tài)數(shù)學軟件，嘗試找到點P的位置。

問題預設：如圖所示，將 APB繞點A向三角形外旋轉60°，得到 AP′′B′，當 B′、P′′、P、C 共線時，有 PA+PB+PC=PP′′+PB′+PC最短。此時，連結點 B′、點C，B′C與線段 BC′的交點即為所求P點。

圖4

2.3.3 結果檢驗

借助Hawgent動態(tài)數(shù)學技術軟件，在 ABC內任取一點P1，連結P1A、P1B、P1C并分別測出其長度，拖動點P1，驗證P點是否為使PA+PB+PC最小的點。

【評析】首先，主動發(fā)現(xiàn)問題，樂于數(shù)學建模。如果學生能主動積極地提出有價值的、自己感興趣的問題，那么學生建模時會更有創(chuàng)造性、積極性，會樂于從不同的角度、層次探索建模的方法。如果可能，在討論結果的過程中，仍要不斷地提出問題，同時把一個特殊的問題放到更加寬闊的背景里，這樣才有可能發(fā)現(xiàn)新的數(shù)學結論，這些機會對于培養(yǎng)學生的創(chuàng)新思維是非常重要的。引導學生抓住問題中心，明確“找到點P的確切位置”這一目標，讓學生發(fā)現(xiàn)借助技術來解決問題的不足——不能精準找到P點的位置，促使學習源起于學習者的主動需要，進而促使學生主動借助嚴謹?shù)臄?shù)學推理來解決這一問題。

其次，在數(shù)學建模的過程中應始終明確解決的目標，鼓勵學生依據(jù)要解決的目標自主評價數(shù)學模型、模型解決方法等，發(fā)現(xiàn)不足，并不斷優(yōu)化模型，調整解決的方式方法，最終解決問題。

最后，檢驗是數(shù)學建模不可或缺的一個重要步驟，引導學生進行檢驗和完善有利于養(yǎng)成良好的數(shù)學建模習慣。

2.4 變式中發(fā)現(xiàn)規(guī)律，完善數(shù)學模型

變式 1：如圖，P為 ABC內的一點，當∠APB=∠BPC=120。時，證明點P到 ABC三個頂點的距離之和最短。

圖5

證明：將 APC繞點A向外旋轉60°，得到 AP′C′，由“有一個角為60°的等腰三角形是等邊三角形”知 P′AP為等邊三角 形；∴∠APP′=60°，∠AP′P=60°，又∵∠APC=∠AP′C′=120°，根據(jù)平角等于 180°可知 B、P、P′、C′四點共線，由“兩點之間線段最短”可知，P點到 ABC三個頂點的距離之和最短。得證。

2.4.1 觀察發(fā)現(xiàn)，提出并驗證猜想

（1）猜想：在三角形內部對3邊張角均為120°的點P到ABC三個頂點的距離之和最短。

（2）借助皓駿動態(tài)數(shù)學軟件，改變三角形 ABC的形狀和大小，觀察點P對3邊張角的度數(shù)，發(fā)現(xiàn)點P對3邊張角的度數(shù)均為120°，猜想得到驗證。

變式2：如圖，已知矩形ABCD，AB=4，BC=6，M為矩形內一點，E為BC邊上任一點，求MA+MD+ME的最小值。

圖6

【評析】發(fā)現(xiàn)問題、提出問題并解決問題是發(fā)展數(shù)學建模素養(yǎng)的主要途徑。變式1由費馬點的另一定義改編而來，經(jīng)歷了之前找費馬點的過程，學生要成功解決該問題并不難。設置變式1的目的在于：一，通過遷移運用，鞏固數(shù)學建模思想方法；二，引導學生發(fā)現(xiàn)問題，提出問題并解決問題，從練習中發(fā)現(xiàn)規(guī)律，技術助力猜想，形成對費馬點的深刻、完備的認識。變式2將費馬點問題放在矩形當中，打破“只有看到三角形求三條線段最短之和”時才想到“費馬點問題”的定勢思維，緊緊抓住費馬點問題的本質，從而達到以不變應萬變之效。兩道變式緊扣教學主題，層層遞進，引發(fā)思考，促進深度理解。

3 總結歸納，體會模型思想

3.1 小結歸納

1643年，在一封寫給意大利數(shù)學家和物理學家托里拆利的私人信件中，費馬提出了這個極富挑戰(zhàn)性和趣味性的幾何難題，請求托里拆利幫忙解答（也有一種說法是費馬本人實際上已經(jīng)找到了這個問題的答案，他是為了挑戰(zhàn)托里拆利才寫信向他“請教”的），托里拆利和他的學生維微安尼經(jīng)過一段時間的研究終于解決了這個問題，這個特殊點P后來被成為費馬點。同學們，今天我們成功解決的就是著名的“費馬點”問題。你能試著描述費馬點嗎？

生1：在三角形內且到三角形三個頂點距離之和最短的點稱為△ABC的費馬點。

生2：在△ABC中如果有一點P，使∠APB=∠BPC=∠CPA=120°，則稱P為其費馬點。

3.2 拓展延伸

你還能用其它方法找到費馬點嗎？

【評析】形成結論是數(shù)學建?；顒颖夭豢缮俚囊画h(huán)。以費馬點的故事背景結尾，給學生以成功的體驗；引導學生描述費馬點的定義，形成對費馬點系統(tǒng)的認識；引導學生總結問題解決方法，以便學生進行歸納并進行遷移運用。