李振

摘要：針對(duì)點(diǎn)擴(kuò)散函數(shù)形式未知的模糊圖像復(fù)原的問(wèn)題，提出一種基于超拉普拉斯先驗(yàn)的分?jǐn)?shù)階全變分正則模型。為了消除的整數(shù)階全變分模型中圖像復(fù)原中的振鈴效應(yīng)， 本文引入了分?jǐn)?shù)階差分來(lái)作為圖像的先驗(yàn)信息，在基于最大后驗(yàn)概率估計(jì)（MAP）的圖像盲去模糊模型的基礎(chǔ)上，提出了一種[Lp]范數(shù)分?jǐn)?shù)階正則項(xiàng)的全變分復(fù)原模型，利用分裂Bregman算法交替求解得到對(duì)點(diǎn)擴(kuò)散函數(shù)的估計(jì)，再利用非盲復(fù)原的方法求得原始清晰圖像。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，此模型能夠有效地處理不同形態(tài)的模糊核，得到了較為理想的復(fù)原結(jié)果，復(fù)原圖像中的振鈴效應(yīng)有效地降低。

關(guān)鍵詞：超拉普拉斯先驗(yàn);全變分正則模型;分?jǐn)?shù)階微積分;圖像盲去卷積

中圖分類(lèi)號(hào)：TP311 ? ? ?文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A

文章編號(hào)：1009-3044（2020）25-0043-0c

20世紀(jì)末，數(shù)字圖像技術(shù)被廣泛應(yīng)用于包括醫(yī)療診斷、航空遙感、工業(yè)檢測(cè)、顯微成像、軍事用途和公共交通中。數(shù)字圖像在產(chǎn)生、采集、傳輸、處理的過(guò)程中，會(huì)受到各種因素的影響，導(dǎo)致得到的圖像與原始圖像不符，這一過(guò)程我們稱(chēng)之為圖像的退化，需要通過(guò)各種形式上的數(shù)學(xué)方法從退化圖像的先驗(yàn)信息和退化方式恢復(fù)出原始圖像。在這其中本文的研究重點(diǎn)是基于稀疏先驗(yàn)正則化的模糊圖像盲復(fù)原。

圖像復(fù)原是一種線(xiàn)性病態(tài)問(wèn)題，無(wú)論點(diǎn)擴(kuò)散函數(shù)是否已知，復(fù)原圖像的計(jì)算在數(shù)學(xué)上都是不適定的。在某些特定的情形中，圖像的退化形式可以被先驗(yàn)地假設(shè)為參數(shù)化的點(diǎn)擴(kuò)散函數(shù)并加以求得。但是在更廣泛的應(yīng)用場(chǎng)景中，圖像的點(diǎn)擴(kuò)散函數(shù)很難被獲取到。所以圖像的盲復(fù)原有很大的研究?jī)r(jià)值。

在減輕盲反卷積病態(tài)性的過(guò)程中，模糊核先驗(yàn)和圖像先驗(yàn)常常作為正則項(xiàng)加入圖像盲去模糊模型中。吉洪諾夫（Tikhonov）正則化方法[1]基于平滑準(zhǔn)則，采用了[H1Ω]中的半范數(shù)平方作為正則項(xiàng)，也就是圖像梯度的[L2]范數(shù)，將病態(tài)的求解過(guò)程轉(zhuǎn)換為穩(wěn)定的良態(tài)過(guò)程，所以吉洪諾夫正則化成為圖像去噪中常用的工具：

該方法在有效消除噪聲的同時(shí)也很好地保護(hù)了圖像邊緣，因此在此基礎(chǔ)上人們又做了大量的研究。You[3]提出了擴(kuò)散率固定點(diǎn)迭代數(shù)值算法，在迭代求解全變分模型時(shí)近似線(xiàn)性化;Chan[4]具有很強(qiáng)的魯棒性?；贚1范數(shù)提出了全變分正則化的盲復(fù)原模型，聯(lián)合求解了清晰圖像和點(diǎn)擴(kuò)散函數(shù)。Fergus[5]等提出的復(fù)原算法利用零均值混合高斯分布（Mixture of Gaussians）來(lái)模擬自然場(chǎng)景圖像梯度域中的重尾分布，用混合指數(shù)作為模糊核先驗(yàn)知識(shí)，對(duì)相機(jī)抖動(dòng)模糊問(wèn)題取得了良好的效果。Shan[6]連續(xù)分段函數(shù)模擬自然場(chǎng)景梯度圖的重尾分布先驗(yàn)，同時(shí)求解模糊核和清晰圖像，抑制了振鈴效應(yīng)對(duì)模糊核估計(jì)的影響。Levin[7]將圖像盲復(fù)原分成清晰圖像估計(jì)和模糊核估計(jì)兩個(gè)獨(dú)立的子過(guò)程，證明了算法的有效性。Krishnan和Fergus[8]將圖像的超拉普拉斯先驗(yàn)（ Hyper-Laplacian） 作為正則項(xiàng)，得到的結(jié)果保留了相當(dāng)?shù)母哳l信息，同時(shí)一定程度上抑制了振鈴效應(yīng)。Kotera[9]同樣采用超拉普拉斯先驗(yàn)對(duì)圖像進(jìn)行建模，為了模糊核的稀疏性，采用L1 范數(shù)作為模糊核的先驗(yàn)信息. Krishnan等人[10]在稀疏表示壓縮感知領(lǐng)域提出一種L1 /L2 范數(shù)正則化模型，并用迭代收縮閾值算法（Iterative Shrinkage-Thresholding Algorithm，ISTA）進(jìn)行求解。Goldstein和Li[11]等人將圖像復(fù)原問(wèn)題轉(zhuǎn)化為鞍點(diǎn)問(wèn)題，提出自適應(yīng)PDHG算法加以求解。同時(shí)期Chen[12]結(jié)合全變分正則先驗(yàn)和分?jǐn)?shù)階微分提出了一種新的分?jǐn)?shù)階總變分正則化函數(shù)：

而圖像的復(fù)原過(guò)程就是通過(guò)觀(guān)測(cè)到的模糊圖像[g]，對(duì)形式未知或者可以參數(shù)化的模糊核[h]進(jìn)行估計(jì)，最終得到清晰圖像[u]。由式（5）可以看到，圖像復(fù)原過(guò)程可以視作清晰圖像退化過(guò)程的逆問(wèn)題，所有的反問(wèn)題都有不同程度的病態(tài)性（Ill-posed problem），而正則化模型則是在病態(tài)性問(wèn)題解決上的比較好用的框架。

從Bayesian統(tǒng)計(jì)框架的角度來(lái)看，清晰圖像[u]和模糊核[h]的同時(shí)求解相當(dāng)于求解標(biāo)準(zhǔn)最大后驗(yàn)（Maximum A Posteriori，MAP）估計(jì)：

慣常使用的圖像灰度值梯度是在微小鄰域內(nèi)定義的（通常是二方向或四方向的一階差分），容易造成復(fù)原圖像整體呈現(xiàn)“階梯效應(yīng)[17]”，而在圖像復(fù)原的過(guò)程中我們非常需要一種具有長(zhǎng)時(shí)記憶的灰度值梯度的度量方法來(lái)描述圖像的中頻信息來(lái)解決階梯效應(yīng)。為此考察微積分理論中高階微分[18]與分?jǐn)?shù)階微分[19]兩個(gè)數(shù)學(xué)工具。高階微分可以減少圖像復(fù)原中的階梯效應(yīng)，同時(shí)會(huì)造成圖像地過(guò)平滑，破壞圖像的邊界。分?jǐn)?shù)階微分，可以視作整數(shù)階微分在復(fù)數(shù)域上的自然延拓，在數(shù)值計(jì)算上具有記憶性和全局性。

前人給出了不同角度給出了分?jǐn)?shù)階微積分的定義，包括基于廣義函數(shù)的分?jǐn)?shù)階微積分定義、Caputo分?jǐn)?shù)階微積分定義，R-L（Riemann-Liouville）分?jǐn)?shù)階微積分定義以及G-L（Gru?wald-Letnikov）分?jǐn)?shù)階微積分定義這幾類(lèi)。本文選擇Gru?wald-Letnikov定義[α]階微分定義：

式（12）中第一項(xiàng)是數(shù)據(jù)保真項(xiàng)，用于保證求解時(shí)[u*h]的正確性和圖像[u]解的范圍，[Q（u）]和[R（h）]分別為空域中對(duì)圖像[u]的分?jǐn)?shù)階[Lp]范數(shù)約束以及對(duì)模糊核[h]的非負(fù)[Lp]范數(shù)約束，[（i，j）]為圖像像素坐標(biāo)二元組，[γ]為正則化參數(shù)，用于平衡數(shù)據(jù)保真項(xiàng)和正則項(xiàng)。

2模型求解

一般來(lái)說(shuō)，超拉普拉斯先驗(yàn)可以為正則化模型帶來(lái)更好的反問(wèn)題解效果，但是令模型本身變成高度非凸的。并且如果不考慮先求解點(diǎn)擴(kuò)散函數(shù)再通過(guò)非盲去卷積求得清晰圖像的策略，則模型求解目標(biāo)為清晰圖像和點(diǎn)擴(kuò)散函數(shù)兩個(gè)子問(wèn)題。Goldstein和Osher[20]在2009年提出的分裂Bregman算法是近年來(lái)圖像處理領(lǐng)域里運(yùn)用廣泛的迭代方法，可以看作是縮放版的交替乘子算法， 收斂速度快，在求解過(guò)程中的正則參數(shù)保持不變。為了從數(shù)值上找到[u]，[h]的解，借鑒文獻(xiàn)[20]利用分裂Bregman（Split-Bregman）迭代的思路，在求解過(guò)程中交替地固定一個(gè)變量，最小化另外一個(gè)變量，將模型（12）分解為[u]步驟和[h]步驟兩個(gè)子問(wèn)題。在每個(gè)最小化子問(wèn)題中，使用增廣拉格朗日乘子法（ALM）進(jìn)行求解。主迭代完成后，利用求解得到的模糊核通過(guò)非盲去卷積得到最終的復(fù)原清晰圖像。

2.1U步驟

在更新圖像[u]變量的過(guò)程中，我們用上一次迭代中求得的模糊核結(jié)果[H]固定另外一個(gè)待求變量[h]。在最小化問(wèn)題的求解中忽略常量，此時(shí)U步驟子問(wèn)題整理為：

3 實(shí)驗(yàn)結(jié)果和結(jié)論

我們?cè)谖墨I(xiàn)[7]提供的數(shù)據(jù)集上測(cè)試了我們模型的可計(jì)算型，該數(shù)據(jù)集由四個(gè)[255 × 255]灰度清晰圖像和八個(gè)尺寸為[13 × 13 ～ 27 × 27]真實(shí)運(yùn)動(dòng)模糊的PSF組成，生成了32個(gè)測(cè)試降質(zhì)模糊圖像。實(shí)驗(yàn)給出了本文和其他幾種方法的圖像恢復(fù)結(jié)果及估計(jì)PSF，以及恢復(fù)圖像對(duì)應(yīng)原始圖像的峰值信噪比（ PSNR） 。此外，所有實(shí)驗(yàn)均在MacBook Pro （15-inch， 2018）筆記本上完成，運(yùn)行macOSMojave10.14.6系統(tǒng)以及MATLAB 2019a計(jì)算平臺(tái)。

在式（15）和式（21）中各參數(shù)選取為[γ= 100，α= 100，β=1， p = 0.5]，分?jǐn)?shù)階[α=1.25]，主迭代和u、h步驟的迭代次數(shù)分別為10次，得出結(jié)果并和近年來(lái)盲去模糊較為經(jīng)典和效果比較好的算法進(jìn)行比較，圖3是以Painting+5號(hào)模糊核為例各模型的計(jì)算結(jié)果。

在基于MAP 估計(jì)的圖像盲復(fù)原框架下，本文提出了一種基于拉普拉斯先驗(yàn)分?jǐn)?shù)階變分的圖像盲復(fù)原算法。針對(duì)整數(shù)階微分在圖像處理中信息利用過(guò)少的問(wèn)題，引入了分?jǐn)?shù)階微積分的處理方式，同時(shí)對(duì)待估模糊核L1稀疏正則項(xiàng)進(jìn)行約束，優(yōu)化求解過(guò)程中通過(guò)多尺度處理框架下的分裂Bregman法進(jìn)行處理。在實(shí)驗(yàn)中本文提出的算法和其他算法相比，不僅復(fù)原效果更好，計(jì)算速度也得到了提高。

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【通聯(lián)編輯：光文玲】