邱 義，王俊升,2

（1. 北京理工大學材料學院，北京 100081；2. 北京理工大學前沿交叉科學研究院，北京 100081）

增材制造是一種近凈成形熱加工方法。相對于傳統(tǒng)減材制造方法，增材制造節(jié)約材料用量，不需要模具，可實現(xiàn)快速設計與加工，能夠滿足個性化需求，適用于復雜結構件，被譽為未來制造方法[1–2]，目前廣泛應用于航空航天、國防軍工、醫(yī)療器械等領域[3–4]。金屬增材制造根據(jù)材料送給方式可分為兩種：（1） 預置粉末床，通過激光或等離子弧作為集中熱源選區(qū)熔化技術；（2）同步送粉/絲金屬熔融沉積或電弧增材制造技術[5–6]。如圖1 所示，在金屬基板上，同步送粉/絲或粉末床，當集中熱源按3D 模型路徑掃描之后，形成熔池，凝固后獲得所需金屬零件[2,7]。

然而，由于增材制造是借助于激光或者電弧對一個點快速熔化與凝固，其冷卻速率在103K/s 以上，不可避免產(chǎn)生熱應力；同時，無論是粉體還是絲材的熔化與凝固都會伴隨著氣孔產(chǎn)生，研究表明鋁合金增材制造氣孔率高達5%以上；此外，由于熔池非平衡凝固過程熱量分布不均勻，溶質(zhì)分布不均勻造成偏析，降低零部件性能[8–10]。增材制造熔化和凝固過程不僅涉及溶質(zhì)擴散、熱擴散、流運等物理過程，而且相變界面動力學過程還存在界面能與界面曲率的吉布–斯湯姆遜效應（Gibbs–Thomson effect）[11–12]。

圖1 兩種增材制造示意圖Fig.1 Schematic diagram of two main ways of metal additive manufacturing

相場法是一種介觀尺度模擬方法，其理論基礎是Landau 提出的朗道連續(xù)相變理論[13]，它提供了一種可通過模擬來更好地理解相變機理的途徑。針對增材制造非平衡凝固相場模擬已有大量研究。本文將對其研究現(xiàn)狀進行總結與展望。

經(jīng)典相場模型

相場法通過一組或多組序參量表達系統(tǒng)自由能。以凝固為例，序參量φ 代表固相體積分數(shù)。與傳統(tǒng)明銳界面模型相比，相場法在計算的過程中通過對固液界面進行彌散處理，使計算過程不需對固液界面追蹤。圖2（a）代表傳統(tǒng)明銳界面模型，固液兩相界面明顯，需對界面法向速度和位置進行追蹤計算。而相場通過序參量來表達系統(tǒng)自由能，當序參量φ=1 時代表此處為固相，當序參量φ=0 時代表此處是液相。在固液界面之間序參量是連續(xù)變化，從而避免對固液界面位置追蹤。

系統(tǒng)亥姆霍茲自由能F（φ，c，T）是序參量φ（x，t）的函數(shù)，其表達式為：

式中，εφ為序參量梯度能系數(shù)；εc為濃度梯度能系數(shù)；fbulk（φ，c，T）為體自由能。

Wheeler 等[14]提出了WBM 模型用于模擬Ni–Cu 二元合金凝固，該模型將體自由能fbulk（φ，c，T）描述為：

式中，H·g（φ）為雙阱函數(shù)項，其中H 為勢壘能；fA（φ，T），fB（φ，T） 分別為Ni 和Cu 的純物質(zhì)態(tài)的自由能密度；Vm是Ni–Cu 二元合金的摩爾體積；p（φ）是插值函數(shù)。其中，fA（φ，T）的具體表達式為：

對式（1）進行變分即可得到WBM 模型相場和濃度場求解公式：

其中，Mφ與Mc分別為相場和濃度場動力學系數(shù)；Δ為自由能函數(shù)下的矢性微分算子。

通過對式（4）和式（5）進行數(shù)值求解，在相場法研究凝固初期可得到較好結果，尤其是解析了各向異性條件下枝晶、柱狀晶等合金凝固組織形態(tài)產(chǎn)生機理[15–17]，并驗證了經(jīng)典凝固理論的界面穩(wěn)定性理論、凝固過程物理參數(shù)與枝晶間距等[18]。該模型可耦合溫度場與流場進行計算，獲得溫度場以及流場對微觀組織的影響[19–21]。然而，該模型難以模擬實際合金的凝固過程。為模擬實際合金，Echebarria 等[22]提出了基于溶質(zhì)分配系數(shù)的模型，該模型通過分配系數(shù)修正了溶質(zhì)擴散方程。此外，由于相場模型采用彌散界面來避免固液界面追蹤，彌散界面厚度遠超過實際界面厚度，在較高凝固速率會引起溶質(zhì)截留效應，反溶質(zhì)截留效應修正項也常被用來修正溶質(zhì)擴散方程[23–25]，進而實現(xiàn)合金的凝固模擬。

4.2.3 尊重場地的線路設計 青山湖綠道的線路設計中，從場地原有地形出發(fā)，尊重并靈活利用原有地形與原有道路，采取適宜于自然的線路設計方式，從低碳生態(tài)角度出發(fā)，青山湖綠道因地制宜地設計了4種慢行道類型：原路改建型、濱湖步道借道型、借道拓寬型和棧道型(圖8)。路面的材料選擇：透水混凝土約占新建慢行道的50%，其余以瀝青路面、混凝土路面以及石材路面為主。

為了實現(xiàn)界面兩側的相變驅(qū)動力與溶質(zhì)分配符合準平衡條件，提出了KKS 模型[26–28]。該模型通過構造相組分替換濃度場以實現(xiàn)準平衡條件[29–30]，相變驅(qū)動力可以通過相組分計算。對于序參量為φ，濃度為c 的二元合金KKS 模型，其相組分cL和cs為：

圖2 傳統(tǒng)明銳界面模型與相場法模型對比示意圖Fig.2 Comparisons between traditional sharp interface models and the phase field diffusive interface model

式中，fS為固相自由能密度；fL為液相自由能密度；p（φ）為插值函數(shù)。此時，fbulk（φ，c，T）在KKS 模型中表達為：

KKS 模型可推廣到多元多相系統(tǒng)，為相場模擬工程合金凝固奠定了基礎。

現(xiàn)代增材制造相場模型

影響增材制造零件性能的原因有很多，其中包括工藝參數(shù)為主的功率、掃描速度、送粉速度以及搭接率等因素，其他影響因素，如零件形狀、掃描策略、粉末等[31–33]。雖然試驗上很難觀察增材制造的具體凝固過程，但利用數(shù)值模擬可幫助研究人員輔助認識[34–36]。采用相場法模擬凝固過程已經(jīng)有很多研究，相場法模擬增材制造過程分為3 個方面：一是通過相場法研究增材制造過程中晶粒長大情況；二是增材制造過程枝晶形貌的研究；三是增材制造過程缺陷預測。除此以外，激光熔覆以及焊接過程中的非平衡凝固的相場法模擬可以作為增材制造相場法研究的基礎。

1 增材制造過程晶粒長大相場模擬

對于增材制造過程的相場法模擬，區(qū)別是溫度場的處理，目前主要有3 種方式：（1）在相場模型中將溫度設為與溫度梯度和速度有關的項；（2）通過有限元進行溫度場的模擬，然后對得到的溫度場的結果進行處理，代入到相場模型中；（3）在求解相場模型方程時，同時求解濃度場方程和溫度場方程。

Zhang 等[37]研究了局部溫度梯度、掃描速度和冷卻速率等工藝參數(shù)對柱狀晶形貌和生長速度的影響，對于溫度的處理，采用的是第1 種方式。相場方程中的溫度設置為

式中，T0為參考溫度；G 為溫度梯度；v 是速度。相場法模擬結果表明，柱狀晶沿熱流方向生長。溫度梯度、掃描速度和冷卻速率越高，枝晶間距越小，柱狀晶生長速度越快。模擬的柱狀枝晶形態(tài)和枝晶間距與試驗數(shù)據(jù)和理論預測一致。值得強調(diào)的是，該相場模型采用偽二元合金的方法來對實際的增材制造的合金進行處理，即對實際的合金只取兩種主要的合金元素進行計算，這也是大多數(shù)相場模型的一般做法。實際合金進行相場模擬對多合金元素的處理方法需要進一步發(fā)展。另外一些學者采用有限元的方法對增材制造過程進行模擬，得到增材制造的溫度場數(shù)據(jù)，并把有限元模擬的溫度場的相關結果導入到相場法模型當中。這種方法與將溫度設為溫度梯度關系式的做法相比，其溫度梯度與溫度場邊界來源于有限元溫度場數(shù)據(jù)，其結果更加精確，且溫度場結果更容易獲得，可以研究在熔池不同位置處，不同溫度梯度下的組織生長情況。

張昭等[38]研究Ti–Nb 合金在激光粉末沉淀過程中各層的晶粒演化，與已有試驗對比驗證模型的準確性。通過有限元結果發(fā)現(xiàn)，隨著增材制造過程的進行，熱量不斷累積，溫度梯度不斷減小。提取各層溫度梯度作為相場模型輸入?yún)?shù)。結果表明，隨著增材制造的進行，溫度梯度逐漸減小，枝晶間距不斷增大。Fallah 等[39]進一步研究表明，相場模擬得到的一次枝晶間距與試驗測量結果非常吻合。按照這種方式進行溫度處理，相場法可以耦合有限元溫度場結果來模擬激光熔覆以及類似工藝條件下微觀組織的生長演化。

Geng 等[40]采用有限元與相場結合的方法研究增材制造（熔融沉積）組織演變。從溫度場的有限元結果提取出溫度梯度以及相場法模擬的溫度邊界，采用定量相場模型進行模擬。試驗結果表明，熔池層底部早期觀察到柱狀晶，隨后出現(xiàn)等軸晶。在熔融沉積這一增材制造過程中，其表現(xiàn)出與焊接等非平衡凝固相似的組織生長機制，在熔池底部為柱狀晶，之后發(fā)生CET 轉變，在熔池上部為等軸晶。Karayagiz 等[41]采用有限元與相場耦合的方法研究合金在L–PBF（laser powder bed fusion）作用下的快速凝固組織，探究了工藝參數(shù)對晶體生長機制的影響，預測了不同工藝條件下熔池微觀組織形態(tài)和尺寸的空間變化。首先從有限元結果中提取溫度梯度G 和生長速率R，并將其輸入到相場法模型中，以預測微觀結構。其結果表明，在高的線能量的情況下，處于熔池不同位置處的不同冷卻速率導致了大小不同的柱狀晶組織，隨著冷卻速率的提高，柱狀晶越來越細，枝晶間距從0.7μm 減小到0.3μm，在冷卻速率較高熔池上部區(qū)出現(xiàn)平面生長。

以上對于溫度場的處理，其目的是通過對有限元溫度場結果進行處理，對相場模型的邊界條件進行約束，以此來實現(xiàn)增材制造非平衡凝固的相場模擬。得到的結論具有較好的一致性，但是與實際的增材制造的溫度場有很大的差異，這屬于一種弱耦合的方式。除了這種處理方法以外，有的學者將溫度場的實際溫度分布與相場進行耦合。

Liu 等[42]通過相場法與有限元結合的方法，研究增材制造（SLM）過程中TC4 的顯微組織結構的生長機制。文章詳細研究了厚墻與薄壁墻整體晶粒取向的區(qū)別以及晶粒取向的機制。通過有限元模擬得到實際的溫度分布，施加到相場法模型當中。與將溫度場的溫度梯度提取出來施加到相場模型中的做法相比，此方法與實際的增材制造過程更接近。

相場模擬結果表明，整個制造過程可以分為3 個階段，第1 階段為等軸晶生長階段，第2 階段為等軸晶向柱狀晶轉變階段以及第3 階段柱狀晶生長階段，與墻體厚度無關，如圖3 所示[42]。另外，薄壁墻的表皮部分導致了更多的具有高度局域化和多樣化的熱梯度的球形熔池的形成，導致不同晶粒之間的競爭性晶粒生長，最終形成具有不同晶粒取向的主要向內(nèi)傾斜的柱狀晶粒，如圖3（b）所示。

對以上研究進行比較可發(fā)現(xiàn)，多數(shù)學者先用有限元對溫度場進行求解，把溫度代入相場模型。將有限元結果與相場模型耦合比提取溫度梯度方法更接近實際增材制造過程，更能反映真實情況。雖然，這種方法可較真實地表現(xiàn)增材制造非平衡凝固，但工藝參數(shù)的改變，使得求解耗費時間，也由于有限元與相場模型模擬尺度問題使耦合過程較復雜。因此，有學者通過在求解相場時同時求解傳熱方程來減少計算時間[43]。

凡進軍等[44]通過耦合求解相場方程與溫度場、溶質(zhì)場及流場建立了枝晶生長三維相場方程，可以根據(jù)此模型增材制造優(yōu)化工藝參數(shù)。相較于有限元與相場的強耦合方式而言，可以建立一個模型來求解不同工藝參數(shù)下的枝晶生長，但是其溫度場結果的準確性有待商榷。

相場研究增材制造過程中枝晶生長形貌，其主要研究內(nèi)容為枝晶生長機制，如枝晶生長方向、枝晶生長速度以及枝晶間距與工藝參數(shù)之間的關系。其中對于溫度場的處理與前述相同。

圖3 增材制造厚壁墻與薄墻相場模擬結果Fig.3 Simulation results of thin wall and thick wall by phase field method

Acharya 等[45]采用相場法與有限元相結合的方法研究了增材制造（SLM）過程，與Liu 等[42]的研究不同的是，雖然采用了有限元，但有限元是進行熔池形狀的模擬，以確定相場模擬的區(qū)域，其對溫度場的主要處理是采用的第3 種方式，即耦合求解相場方程與傳熱方程。論文詳細研究了增材制造過程中枝晶的生長機制。如圖4 所示[45]，圖4（a）為沿著掃描方向枝晶的生長情況，圖4（b）為垂直掃描方向的枝晶生長情況，模擬開始時，晶坯取向隨機，但從圖4（a）的相場輪廓可以看出，在過冷區(qū)，柱狀枝晶呈現(xiàn)出接近垂直熔池輪廓的方向。

圖4 增材制造過程枝晶生長相場法模擬Fig.4 Phase field simulation of dendritic growth in additive manufacturing process

2 增材制造過程枝晶形貌相場模擬

Sahoo 等[46]采用有限元預測增材制造溫度場，通過選取4 個不同位置，計算其溫度梯度，其計算公式為：

式中，Tmax為熔池最高溫度；Tl為液相線溫度；r 為不同位置距離熔池最高溫度的距離。計算之后的溫度梯度之后用相場法進行模擬不同溫度梯度的枝晶生長情況，模擬結果顯示，在低溫梯度下，柱狀枝晶的生長速度比高溫梯度下要慢。隨著溫度梯度的增加，生長速度加快，柱狀結構增多，且枝晶間距減小。另外，Sahoo 等[46]也研究了掃描速度對枝晶形貌的影響，在保證功率不變的情況下，增加掃描速度，相場模擬結果表明，隨著增材制造掃描速度增加，枝晶生長速度增加，間距越小，與Zhang 等[37]的研究結果吻合。

3 增材制造過程缺陷相場法模擬

相場模擬增材制造另一重要應用是缺陷形成預測。缺陷是影響零件使用性能一個重要因素。在實際增材制造過程中，功率一定情況下，掃描速度提高（冷卻速度提高、線輸入降低）可有效細化晶粒。但是，掃描速度的提高會引起氣孔、局部融化等問題。

Lu 等[47]采用相場法研究了增材制造（SLM）過程中缺陷的形成。在相場的模擬結果中可以發(fā)現(xiàn)SLM這一增材制造方式中常見的缺陷的形成?？梢詮哪M結果中看到局部融化、不完全熔化、固相燒結、球化、柱狀晶生長以及氣孔等現(xiàn)象。這與增材制造所使用的粉末粒度以及工藝參數(shù)有關。

相較于Lu 等的研究，易敏等[48]進行了SLS（selective laser sintering）三維相場模擬，其結果更直觀地顯示了增材制造過程中的熔池形貌與氣孔，并得到了工藝參數(shù)與氣孔率之間的關系，得到的結果與Lu 等[47]的結果一致。針對增材制造缺陷的研究，其主要是在介觀尺度下進行模擬，不涉及具體的組織生長過程，得到的結果與實際試驗結果具有較好的一致性：工藝參數(shù)對缺陷的形成有很大的影響，當功率不變的情況下，掃描速度的提高，缺陷的占比越來越高，這將嚴重影響成型零件質(zhì)量。盡管如此，相場模擬還無法對缺陷的產(chǎn)生位置以及大小進行預測。與之前采用相場法研究枝晶生長的研究結果相對比，當掃描速度提高后，枝晶間距越小，晶粒越細，力學性能好，但是缺陷卻越多，缺陷會降低零件的力學性能，這需要中間進行平衡。盡管對于缺陷和枝晶都有相場模擬進行研究，但是目前還沒有同時分析枝晶與缺陷的研究，其原因在于兩者的模擬尺度有差異，針對此研究內(nèi)容的缺失，需要發(fā)展多尺度相場模型，可以同時研究缺陷與枝晶，以此來優(yōu)化工藝參數(shù)，提高零件的綜合性能；多尺度相場模型的另一個優(yōu)點是可與有限元更好地耦合，使得模擬結果與實際的增材制造過程更加接近。

4 焊接與激光熔覆過程相場模擬

焊接與激光熔覆過程中非平衡凝固過程雖冷卻速率無法與增材制造相比，但作為電弧增材制造與金屬直接沉積等增材制造技術的技術原型，其相場法研究對于增材制造的相場法研究具有一定的指導作用。

孫道金等[49]通過同時求解溫度場與相場研究了激光熔覆純鎳熔池底部組織生長規(guī)律。其研究表明，熔池底部微觀組織生長方向為熔池底部向頂部并略偏向激光掃描方向基本平行于熱流方向，微觀組織之間存在競爭生長。這與Acharya 等[45]在激光選區(qū)熔化中得到的結果一致。雖然激光熔覆的冷卻速率較小，無法準確地研究冷卻速率與微觀組織之間的關系，但是其實現(xiàn)了同時求解溫度場與相場，可減少計算時間。熔池內(nèi)枝晶的生長過程是由很多復雜的物理現(xiàn)象耦合而成，包括傳熱、傳質(zhì)、對流等。Wang 等[50]通過有限元與相場模擬弱耦合研究了焊接過程中熔池內(nèi)枝晶間距等問題。針對熔池內(nèi)枝晶生長，隨著枝晶的不斷生長，其枝晶間距越來越小。雖然模擬結果與實際的試驗結果在熔池下半部相同，但是無法指導實際過程中枝晶間距控制。實際生產(chǎn)過程因為速度與溫度梯度等問題使得熔池內(nèi)枝晶間距的控制難以實現(xiàn)。

Wang 等[51]運用相場模型研究了焊接過程中熔池內(nèi)枝晶形貌生長規(guī)律，獲得了熔池內(nèi)部溶質(zhì)分布和固液界面演化規(guī)律。模擬結果表明，熔池內(nèi)枝晶生長可分為4 個階段：線性生長階段、非線性生長階段、競爭生長階段和相對穩(wěn)定生長階段，這與Wang 等[52–53]的研究結果一致。線性生長階段在整個熔池內(nèi)組織演變過程中具有非常重要的地位，是非線性生長過程的基礎，直接影響熔池最終的凝固組織形態(tài)。鄭文健等[54]研究了晶體取向角與溫度梯度之間的夾角對線性生長階段的影響。其結果表明，在線性生長階段，溫度梯度與晶體學最優(yōu)取向夾角越大，界面失穩(wěn)時間越長，界面越穩(wěn)定。

影響枝晶生長的另一個重要的因素是對流，在焊接過程中引入磁場或超聲波來影響熔池內(nèi)的對流情況，可控制枝晶形貌。Cao 等[55]研究了在磁場情況下熔池內(nèi)枝晶生長情況。如圖5 所示[55]，在不同磁場強度影響下，二次枝晶形貌變化。

另外，現(xiàn)有相場模型大多數(shù)是二維模擬，雖能減少計算時間，但其準確性相對較差。Bailey 等[56]通過多物理場與相場耦合進行了三維相場計算。結果表明與二維相場模擬結果相比，三維相場模擬結果與實際結果更加相近。

圖5 磁場對速度場和枝晶形態(tài)的影響Fig.5 Influence of magnetic field on velocity field and dendritic morphology

結論

增材制造過程相場模擬可幫助人們更好地認識微觀組織結構演化規(guī)律，有限元與相場耦合計算可實現(xiàn)這一典型非平衡凝固過程晶體生長、缺陷形成預測。然而，相場模擬該過程尚有較多科學問題亟待解決：

（1）對溫度處理大多數(shù)是有限元與相場法弱耦合方式，使得數(shù)值模擬預測性受到限制。其主要原因是相場模擬主要在介觀尺度，而有限元在宏觀尺度。相場模擬與有限元模擬之間進行強耦合需發(fā)展多尺度模型。

（2）相場模型還無法精確預測增材制造過程中產(chǎn)生的缺陷。

（3）相場模擬多元合金較少，與實際工業(yè)應用相關的多元合金相場模型尚屬空白，一方面是計算成本高，另一方面是多組元非平衡凝固，對相場模型構建較難。

（4）增材制造過程中，伴隨有重熔現(xiàn)象，即上層材料熔化，將已凝固下層料重新熔化，而相場模型還無法模擬真實重熔。