徐鳳敏，李雪鵬

(西安交通大學(xué) 經(jīng)濟(jì)與金融學(xué)院，陜西 西安 710061)

一、引 言

統(tǒng)計套利策略作為一種數(shù)量化的投資手段在20世紀(jì)80年代達(dá)到鼎盛，目前廣泛應(yīng)用于對沖基金和投行主營業(yè)務(wù)中。在成熟市場經(jīng)濟(jì)體中，統(tǒng)計套利策略年收益在15%至20%，在中國等新興市場有極大的收益潛力。統(tǒng)計套利根據(jù)資產(chǎn)的歷史價格信息構(gòu)建不依賴經(jīng)濟(jì)含義的數(shù)理模型以發(fā)現(xiàn)具有長期均衡趨勢的兩類資產(chǎn)，并利用短期的價格偏離構(gòu)建空頭和多頭投資組合，最終在均值回復(fù)的假設(shè)下當(dāng)價格回復(fù)到均衡的時候反向?qū)_。與無風(fēng)險套利策略相比，統(tǒng)計套利存在價差序列的發(fā)散風(fēng)險，但增加了套利機(jī)會，且應(yīng)用對象范圍更大，操作手段更靈活。常見的類型有配對交易、多因子模型、指數(shù)追蹤、增強型指數(shù)[1-6]。配對交易是應(yīng)用最早、最成熟的統(tǒng)計套利策略，Avellaneda和Lee認(rèn)為配對交易是統(tǒng)計套利的起源，因此統(tǒng)計套利在應(yīng)用中也被稱為配對交易[7]。配對交易是一類市場中性套利策略，包括形成期和交易期。在形成期內(nèi)需要確定可用于交易的資產(chǎn)對象(股票、期權(quán)期貨、外匯及債券)，符合交易條件的兩個資產(chǎn)在價格上應(yīng)該有長期一致趨勢；在交易期內(nèi)配對交易者應(yīng)該確定價格偏離時觸發(fā)交易的條件，及具體的交易策略。Avellaneda和Lee擴(kuò)展了配對交易的內(nèi)涵，提出了更一般的多元配對交易(Generalized Pairs Trading，GPT)，即研究兩個投資組合間的配對交易[7]。Perlin為某確定資產(chǎn)尋找配對的投資組合，該問題被稱為擬多元配對交易(Quasi-Multivariate Version of Pairs Trading，QMVPT)[8]。

國外學(xué)者關(guān)于配對交易的研究開展較早，主要集中于配對交易理論方法的設(shè)計。Krauss按照建模方法將統(tǒng)計套利中的配對交易策略分為五類：距離法、協(xié)整法、時間序列法、隨機(jī)控制法和其他法[9]。

Gatev等最早給出價差平方和測度(Sum of Euclidean Squared Distance，SSD)用以描述資產(chǎn)價格的一致性趨勢，并給出了配對交易策略的兩步框架，這里稱為距離法(Distance Method，DM)[10]。Pole選擇價差收益率的方差取代SSD，Chen等使用股票收益率的皮爾遜相關(guān)系數(shù)代替SSD，實驗表明可以取得超過一般DM方法一倍的收益[2，11]。Vidyamurthy最早使用協(xié)整方法研究兩個資產(chǎn)的配對交易問題，在APT模型成立假設(shè)下給出了協(xié)整套利一般框架[1]。該框架分為三步，第一步在于選擇具有相關(guān)關(guān)系的配對資產(chǎn)；第二步是對價差進(jìn)行交易性測試，和距離法類似；最后使用非參數(shù)信號判斷是否發(fā)生交易。Elliott等用時間序列方法在狀態(tài)空間中為價差建模，將兩個資產(chǎn)的價差視為均值回歸的高斯馬爾可夫鏈和一個高斯噪聲，引入首達(dá)時間理論建立了配對交易分析框架，并得到交易時間和開倉、平倉信號[12]。Do等采用收益率序列差的錯誤定價，和上文的框架類似建立了配對交易框架，不同在于由于引入了APT模型，使得收益序列差的刻畫變得復(fù)雜[13]。Jurek和Yang應(yīng)用隨機(jī)控制理論研究配對交易問題，假設(shè)配對組合的價差滿足Ornstein-Uhlenbeck過程，利用資產(chǎn)價格的動態(tài)變化，考慮預(yù)算約束和資本約束得到Hamilton-Jacobi-Bellman(HJB)方程，并推出最優(yōu)投資策略和價值函數(shù)的閉式表達(dá)解[14]。

自2010年3月推出融資融券業(yè)務(wù)以來，國內(nèi)關(guān)于配對交易的研究逐漸增多，主要關(guān)注配對交易策略在中國市場的應(yīng)用。王春峰等利用DM方法設(shè)計了基于價格差異的配對交易策略，利用滬深300成份股2006—2009年的數(shù)據(jù)研究了兩只股票間的配對交易問題，結(jié)論顯示策略月收益均值在1%[15]。仇中群等利用協(xié)整模型研究了股指期貨的跨期套利問題，利用滬深 300股指期貨模擬數(shù)據(jù)檢驗了有效性[16]。張波等引入了股指期貨跨期套利的EGARCH-M模型并提出期貨合約間的修正協(xié)整關(guān)系，結(jié)果顯示優(yōu)于傳統(tǒng)的GARCH套利模型[17]。胡倫超等結(jié)合協(xié)整和DM方法構(gòu)建了兩階段的配對套利策略，基于上證50的實證顯示該策略在不同費率下均可以獲得超額收益[18]。

從以上文獻(xiàn)可以發(fā)現(xiàn)：第一，距離法和協(xié)整方法都需要在形成期內(nèi)確定滿足一致趨勢的配對組合。其中距離法使用相關(guān)測度檢驗相似性，協(xié)整法需要配對資產(chǎn)滿足協(xié)整關(guān)系，并在交易期內(nèi)采用非參數(shù)方法確定交易信號。而時間序列方法和隨機(jī)控制方法都忽略了形成期內(nèi)配對組合的確定，假設(shè)已經(jīng)找到了具有一致性趨勢的股票，主要研究集中在交易期內(nèi)如何確定最優(yōu)的交易信號和交易策略。第二，國內(nèi)外研究兩資產(chǎn)配對交易較多，如股票、期貨合約間，對多元配對交易和擬多元配對交易研究相對較少。

傳統(tǒng)配對交易只涉及兩個資產(chǎn)，在形成期內(nèi)確定配對組合是容易的，協(xié)整方法和距離法在多項式時間內(nèi)都可以找到滿足要求的配對組合。當(dāng)考慮GPT或QMVPT問題時，由于維數(shù)爆炸問題，原有的方法不再適用。GPT或者QMVPT的模型刻畫是困難的，預(yù)期收益的不確定性變化同樣使得約束和目標(biāo)難以表達(dá)。為此將資產(chǎn)的收益視為服從某一分布的隨機(jī)變量，通過概率約束刻畫收益的不確定性[5]。此外從成本角度出發(fā)，需要限制配對交易組合的資產(chǎn)數(shù)量，通過加入稀疏約束限制配對組合的規(guī)模。

綜上所述，本文聚焦于統(tǒng)計套利中配對組合的確定，擬建立帶有概率約束的稀疏優(yōu)化模型研究GPT和QMVPT問題。對于QMVPT問題，考慮中國市場的賣空限制、配對組合規(guī)模，研究重點在于給定某一資產(chǎn)時，在形成期內(nèi)尋找與其配對的投資組合，包括組合內(nèi)資產(chǎn)的選擇和權(quán)重的確定；對于GPT問題，允許資產(chǎn)賣空，且考慮配對組合規(guī)模，重點研究如何最優(yōu)地確定滿足配對交易條件的兩個套利投資組合。

二、模型提出及理論分析

配對交易意圖尋找長期內(nèi)收益或者價格具有一致變動趨勢的資產(chǎn)，并利用資產(chǎn)間的瞬時偏離獲取套利收益。資產(chǎn)間的一致趨勢對于風(fēng)險的抵御至關(guān)重要，是套利機(jī)會最終收斂的必要條件，而交易期內(nèi)資產(chǎn)組合間的偏離程度和出現(xiàn)頻率決定了套利收益的大小。本文從這兩個目標(biāo)出發(fā)建立概率優(yōu)化套利模型，并加入控制組合規(guī)模的稀疏約束，目的是尋找在長期來看具有一致變動趨勢，但短期內(nèi)出現(xiàn)偏離的資產(chǎn)配對組合。在后續(xù)分析中，考慮兩種情景下的配對交易：標(biāo)的指數(shù)和投資組合的擬配對交易問題，以及投資組合間的多元配對交易問題[7-8]。需要明確的是，本文的模型并不局限于對指數(shù)的套利問題，而是可以廣泛應(yīng)用于單一或者同類型資產(chǎn)的套利組合構(gòu)建，從而為套利投資者提供一種主動尋求套利機(jī)會的解決方案。

(一)定義和符號說明

(二)擬多元稀疏統(tǒng)計套利模型及分析

假設(shè)套利組合A為已知的標(biāo)的指數(shù)(NA=1，ωA=1)，下面構(gòu)建一個這樣的套利組合B，即和指數(shù)在一定持有期內(nèi)具有長期穩(wěn)定趨勢，但在交易期內(nèi)某一時刻指數(shù)和套利組合資產(chǎn)收益率序列相較于正常水平具有更大的偏離幅度?？紤]到未來收益的不確定性，套利機(jī)會是否出現(xiàn)并不是一個確定事件，因此在約束中考慮套利條件的不確定約束。此外套利組合的規(guī)模不宜過大或出現(xiàn)不可操作的小權(quán)重，因此需要稀疏約束對投資組合規(guī)模加以限制。綜上所述，提出擬多元稀疏統(tǒng)計套利模型(Quasi-Multivariate Sparse Statistical Arbitrage Model)，以下記為QM-SSAM模型，如式(1)：

s.t.P{rA-(rB)TωB≥d}≥1-ε，d>0，

eTωB=1，L≤ωB≤U，‖ωB‖0≤K

(1)

式(1)中ε∈[0，1]是預(yù)設(shè)參數(shù)，隨著ε的減少，指數(shù)能以更高概率達(dá)到預(yù)期偏離[5]。QM-SSAM模型是帶有單概率約束的雙目標(biāo)稀疏優(yōu)化模型，求解該模型可以得到指數(shù)的最優(yōu)套利組合，其中第一層目標(biāo)保證了指數(shù)和套利組合B有一致的變動趨勢，即指數(shù)和套利組合B具有均值回復(fù)特征，稱為追蹤目標(biāo)；第二層目標(biāo)使得指數(shù)和套利組合B在套利期內(nèi)收益偏差盡可能大，稱為波動目標(biāo)，這使得定義中描述的有效套利機(jī)會更可能出現(xiàn)，進(jìn)一步增加了套利的收益能力。稀疏約束保證了套利組合至多只包含K個資產(chǎn)；單概率約束刻畫了指數(shù)正向套利機(jī)會出現(xiàn)的不確定性，即只對指數(shù)進(jìn)行賣空操作。資金預(yù)算約束保證了資本全部用于投資，L和U表示買入閾值的上下界。

(三)多元稀疏統(tǒng)計套利模型及分析

對于多元配對交易而言，假設(shè)組合A和B內(nèi)包含多個資產(chǎn)且都可以使用融資融券操作，此時可以考慮正向和反向兩類有效套利機(jī)會。類比于QM-SSAM模型，加入稀疏約束，買入閾值約束以及資金預(yù)算約束，提出多元稀疏統(tǒng)計套利模型(Multivariate Sparse Statistical Arbitrage Model)，以下記為M-SSAM模型，如式(2)：

‖ωA‖0+‖ωB‖0=K1，

U1≤ωA≤L1，U2≤ωB≤L2

(2)

M-SSAM是帶有雙概率約束的雙目標(biāo)稀疏優(yōu)化模型，用于最優(yōu)的確定配對組合A和B。ε1∈[0，1]、ε2∈[0，1]都是預(yù)設(shè)參數(shù)；需要滿足1-ε1+1-ε2≤1?ε1+ε2≥1，并且當(dāng)d1=d2時等號成立。組合A和B在交易期內(nèi)賣空操作的難度相仿，出于減少賣空操作難度而只關(guān)注正向套利機(jī)會減少了交易期內(nèi)的套利機(jī)會，故使用雙概率約束刻畫A和B兩類套利機(jī)會。當(dāng)d1≥0且d2≥0，即式(2)中的兩個概率約束都成立，套利者可以在交易期內(nèi)關(guān)注正向或者反向套利機(jī)會。對于式(2)，當(dāng)RA只包含一種資產(chǎn)，且給定ωA=1時，式(1)是(2)只包含第一類套利的特殊形式；當(dāng)RA=RB，即A和B來自同一個資產(chǎn)池中，令ω=ωA-ωB，可以將式(2)等價寫為關(guān)于變量ω的單變量模型，其中ωA對應(yīng)解的正部，-ωB對應(yīng)解的負(fù)部；當(dāng)RA和RB互斥時，給定ω1=(ωA；ωB)，可以將式(2)改寫為關(guān)于ω1的單變量模型。

雙目標(biāo)使得模型求解變得困難，在后文轉(zhuǎn)化和算法設(shè)計中，引入風(fēng)險權(quán)重因子δ，δ1∈[0，]將模型轉(zhuǎn)化為多目標(biāo)的線性加權(quán)和形式，即以及改寫后的單目標(biāo)約束稀疏隨機(jī)優(yōu)化模型涉包含稀疏約束和概率約束，這使得該問題是NP-hard，不存在解決這類問題的多項式時間算法。在下節(jié)中假設(shè)預(yù)期收益率可以由多因子模型表示，利用因子的分布信息給出該問題的近似模型和一般求解算法。

三、問題的轉(zhuǎn)化和求解

帶有概率約束的稀疏優(yōu)化問題是NP-hard問題，本節(jié)利用因子的矩信息，結(jié)合分布式魯棒的方法將不確定性約束轉(zhuǎn)化為確定性約束，從而將模型(1)和(2)轉(zhuǎn)化為約束稀疏優(yōu)化問題，然后利用量子粒子群算法的思想，設(shè)計了一類新的混合算法。

(一)概率約束轉(zhuǎn)化

考慮概率約束P{c(ω，ξ)≤0}≥1-α，其中ω為未知量，ξ是參數(shù)隨機(jī)向量，一般處理思想是將其轉(zhuǎn)化為確定性等價形式或者逼近形式。但實際中，我們并不能確定收益率的具體分布，因此確定性轉(zhuǎn)化是困難的。通過有限的樣本數(shù)據(jù)觀察，可以計算樣本均值、方差，當(dāng)數(shù)據(jù)量足夠大的時候可以近似總體的均值、方差。在無法獲得變量ξ全部分布信息時，Xu等利用分布集合刻畫其不確定性，使用分布式魯棒方法，借助ξ的一階和二階矩信息以及無限對偶理論，將概率約束轉(zhuǎn)化為一系列的錐約束或者半定約束[5]。按照這種方法給出概率約束的近似逼近。

假設(shè)每個資產(chǎn)的收益率都是由k個市場因子(隨機(jī)變量)決定(如單因子CAPM模型、三因子Fama-French模型)，則有：

s.t.eTωB=1，L≤ωB≤U，‖ωB‖0=K，d≥0，

(αi+ηi-ξi，si+βi，si-βi)∈L3，i=1，2，…，k，

(αj+η1j-ξ1j+φyj(ωB)，Sj+βj，Sj-βj)

∈L3，j=1，2，…，k，

λ，φ∈；α，β，ξ，η，ξ1，η1，s，S∈k；ξ，η，ξ1，

η1，s，S≥0；φ≥0，β<0

(3)

0≤ωA≤L1，0≤ωB≤L2，

∈L3，j=1，2，…，k，

∈L3，j=1，2，…，k，

λ″∈；

φ″≥0，β″<0，

λ′∈；

φ′≥0，β′<0

(4)

(二)算法設(shè)計

QM-SSAM和M-SSAM的安全近似模型(3)、(4)是一類帶有稀疏約束的二次錐規(guī)劃問題。本文根據(jù)近似模型的特殊形式設(shè)計一類新的量子粒子群算法(Quantum-Behaved Particle Swarm Optimization，QPSO)，并將其應(yīng)用于約束稀疏優(yōu)化問題的求解。對于單變量稀疏約束和上下界約束，引入0-1整數(shù)變量y∈{0，1}n對其進(jìn)行等價轉(zhuǎn)化，如式(5)所示，其中⊙表示分量相乘。故上節(jié)得到的近似模型等價于一類0-1混合整數(shù)規(guī)劃問題。

‖ω‖0=K，ω∈n

L≤ω≤U?eTy=K，y∈{0，1}n

L⊙y≤ω≤U⊙y

(5)

量子粒子群算法最初用于連續(xù)變量的模型求解，每一次的迭代結(jié)果都帶有小數(shù)部分。國內(nèi)的學(xué)者已經(jīng)成功將量子粒子群算法應(yīng)用于整數(shù)和混合整數(shù)規(guī)劃的求解，研究主要結(jié)合新的迭代公式和整數(shù)截斷方法提出修正算法[19-21]。近似模型兩個變量具有特殊結(jié)構(gòu)，當(dāng)y確定后，模型(3)和(4)是二次錐規(guī)劃問題。鑒于凸規(guī)劃問題的求解有許多成熟的優(yōu)化算法，求解難度大大降低。由此本文提出一種基于兩步法確定模型解的混合量子粒子群算法，在每次迭代中使用量子粒子群算法求解0-1變量y(選擇最大的K個分量)，將其代入近似模型求解降維后的子問題得到ω并將近似模型中的最優(yōu)目標(biāo)值作為y的評價指標(biāo)，即子問題目標(biāo)函數(shù)越小，則對應(yīng)y值評價越高。

混合量子粒子群算法過程如下：

1.輸入

模型參數(shù)及數(shù)據(jù)，QPSO算法粒子數(shù)m，最大迭代次數(shù)Max，迭代誤差ν；

2.初始

2.1 令k=0，初始化規(guī)模為m的粒子群X={X1，X2，…Xm}，第i個粒子為

Xi(k)=[Xi，1(k)，Xi，2(k)，…，Xi，n(k)]，Xi，1(0)～U(0，1)，對X做后續(xù)方案1或2操作。

2.2 更新個體和全局最佳位置

Pi(k)=[Pi，1(k)，Pi，2(k)，…，Pi，n(k)]，G(k)=Pg(k)，g∈{1，2，…，m}；

更新收縮擴(kuò)張系數(shù)，ρ=1-k/(2×Max)

由以下過程，計算f(X(k))=f(P(k))=[f(X1(k))，f(X2(k))，…，f(Xm(k))]；

3.QPSO算法迭代

3.1 調(diào)用QPSO算法

pi，j(k)=φj(k)·Pi，j(k)+[1-φj(k)]·

Gj(k)，φj(k)～U(0，1)

Xi，j(k+1)=pi，j(k)±ρ·|Cj(k)-Xi，j(k)|·

ln(1/ui，j(k))，uij(k)～U(0，1)；

3.2 更新k=k+1；

3.3 按照模型不同使用后續(xù)方案1或方案2，對X(k)進(jìn)行指標(biāo)選擇；

4.子問題求解

4.1 提取X(k)的非零指標(biāo)lX，使用CVX工具箱求解原問題降維后的m個子問題；將子問題的目標(biāo)函數(shù)值記為f(X(k))=[f(X1(k))，f(X2(k))，…，f(Xm(k))]；

4.2 則對任意i∈{1，2，…，m}，更新個體最優(yōu)位置，

令g=argmin1≤i≤m{f(Pi(k))}，更新全局最優(yōu)位置，

5.終止條件

當(dāng)?shù)螖?shù)k≤Max且|f(G(k))-f(G(k-1))|≥ν，返回步3，否則轉(zhuǎn)步6；

6.輸出

粒子群全局最優(yōu)位置G(k)，非零指標(biāo)lX，子問題最優(yōu)解和最優(yōu)值。

粒子群X每次更新后對應(yīng)一個實數(shù)矩陣，需要從每個粒子中提取K個位置，對應(yīng)選擇進(jìn)入配對組合的資產(chǎn)。由此在3.3提出針對模型(3)下的方案1，具體而言：對于粒子群X，從每個粒子n個維度中選擇最大的K個，將其數(shù)值令為正數(shù)aq，其余位置為0。對含有雙變量的模型(4)，當(dāng)RA≠RB時引入ω∈RNA+NB可以將其改寫為單變量形式，方案1仍然適用。

當(dāng)RA=RB時，考慮到A和B的互異性，需要明確A和B各自包含資產(chǎn)的類別。因此，提出方案2：對于粒子群X，隨機(jī)選擇Ka∈{1，2，…，K}，從每個粒子n個維度中最大的Ka個令為正數(shù)bq，最小的K-Ka令為負(fù)數(shù)cq。此時lX包含兩部分，正負(fù)指標(biāo)集分別指代組合A和B所包含資產(chǎn)。

四、實證分析

基于國內(nèi)股票市場真實數(shù)據(jù)，應(yīng)用提出的混合量子粒子群算法，檢驗QM-SSAM中主要參數(shù)對套利組合的影響；針對不同的交易場景，對指數(shù)的擬配對交易了實證檢驗，并根據(jù)不同的時間窗口驗證每種情境下的套利收益。對于M-SSAM模型，利用行業(yè)信息提供的天然的分組，研究同行業(yè)內(nèi)以及行業(yè)間的統(tǒng)計套利問題。

(一)數(shù)據(jù)集及參數(shù)

本文數(shù)據(jù)來自于國泰安金融數(shù)據(jù)庫，包括2012年1月4日至2020年3月26日，基于流通市值計算的Fama-French三因子數(shù)據(jù)，以及上證50指數(shù)(000016)，深證100指數(shù)(399330)，滬深300指數(shù)(000300)，中證500(000905)指數(shù)及成份股的日收盤價格數(shù)據(jù)，下文稱為data1-data4，其中每個數(shù)據(jù)集包含2000條記錄。

Gatev應(yīng)用DM方法，將套利時期的價差序列的標(biāo)準(zhǔn)差視為開倉信號，并在價差恢復(fù)到零時平倉[10]。本文同樣采用非參數(shù)估計思路，由形成期內(nèi)計算的標(biāo)準(zhǔn)差，即買入投資組合的收益小于賣空投資組合收益的整數(shù)倍標(biāo)準(zhǔn)差時開倉買入；當(dāng)有效套利條件滿足時，套利者進(jìn)行平倉。為了保證套利條件的收斂，在統(tǒng)計套利收益機(jī)會時，只在交易期的前一半時間允許觸發(fā)套利機(jī)會，后面時間作為套利收斂的緩沖期。令單次套利的收斂時間為5天。 在混合粒子群算法中，令量子粒子群數(shù)量為10(data1，data2)或者50(data3，data4)，最大迭代次數(shù)100，迭代誤差為1.0e-6，aq=bq=0.01，cq=-0.01。實驗中默認(rèn)參數(shù)設(shè)置，令稀疏度為20，資產(chǎn)下界[0，0，…，0]T，資產(chǎn)的上界為[0.5，0.5，…，0.5]T，顯著性ε為0.05，形成期和交易期長度分別為60天和40天。

(二)風(fēng)險因子分析

考慮單因子(k=1)的CAPM模型和三因子(k=3)的Fama-French模型，將模型(2)的兩種轉(zhuǎn)換形式記為QM-SSAM-CAPM (QSC)，以及QM-SSAM-FF3(QSF)。以60天為時間窗，對data1-data4進(jìn)行滾動實驗，其中每個數(shù)據(jù)集上計算32次。

表1 data1-data4下QSC和QSF比較

表1給出了兩類不同模型在不同指數(shù)下波動目標(biāo)的平均值(md)，以及波動目標(biāo)為正數(shù)的概率(pd)，可以發(fā)現(xiàn)QSF模型以超過90%的概率獲得正的波動目標(biāo)，即滿足我們要求的套利條件，并且在上證、深證以及中證三個指數(shù)上都獲得了超過QSC模型的正的波動值。此外形成期和套利期的平均相關(guān)系數(shù)(mtr，mte)也都顯然大于QSC模型，意味著QSC模型求得的套利組合預(yù)期的均值回歸行為很可能不會在交易期內(nèi)出現(xiàn)，加劇了配對交易的發(fā)散風(fēng)險。QSF模型形成期相關(guān)系數(shù)較高，這給套利者足夠的信心認(rèn)為模型發(fā)現(xiàn)的組合和指數(shù)的相關(guān)關(guān)系在套利期仍然會延續(xù)，而套利期的最小系數(shù)為0.781 5也恰好印證這點。因此后續(xù)的分析中默認(rèn)使用QSF模型。同樣地，將模型(4)的兩種轉(zhuǎn)換形式記為M-SSAM-CAPM(MSC)，以及M-SSAM-FF3(MSF)，下文中默認(rèn)使用MSF模型求解。

QSF模型一項重要參數(shù)為風(fēng)險因子δ，圖1至圖3給出了對波動目標(biāo)，以及不同參數(shù)下套利組合和指數(shù)間的相關(guān)性變化，每條曲線上的數(shù)據(jù)點均由data1～data4滾動實驗的平均值給出。

圖1 風(fēng)險因子對波動的影響圖

圖2 風(fēng)險因子對形成期相關(guān)系數(shù)的影響圖

圖3 風(fēng)險因子對套利期相關(guān)系數(shù)的影響圖

從套利的角度出發(fā)，令波動目標(biāo)d>0，形成期和套利期內(nèi)組合和指數(shù)的相關(guān)系數(shù)均在0.7以上，得到了風(fēng)險因子的合適區(qū)間為[1.0e-1，1.0e+1]。

(三)稀疏資產(chǎn)配置

通過應(yīng)用上證50指數(shù)的數(shù)據(jù)(data1，2014/7/21-2014/12/16)研究不同稀疏度下擬配對交易的資產(chǎn)選擇。

圖4 稀疏資產(chǎn)選擇圖

圖4中稀疏度最小取2，最大取82(樣本內(nèi)去除停牌及ST股票)。為了簡化圖表，選擇權(quán)重大于0.05%的資產(chǎn)，共計10只股票，縱坐標(biāo)給出了不同稀疏度下的資產(chǎn)選擇及對應(yīng)權(quán)重?？梢园l(fā)現(xiàn)在稀疏度小于6時，資產(chǎn)的選擇呈現(xiàn)波動特征，說明稀疏約束對資產(chǎn)選擇影響較大。圖5描述了追蹤目標(biāo)、波動目標(biāo)及加權(quán)目標(biāo)隨著稀疏度的變化，結(jié)合圖5的結(jié)果，當(dāng)稀疏度大于10以后，資產(chǎn)組合的構(gòu)成趨于穩(wěn)定，這也為證明模型及混合量子粒子群算法的有效性提供了實證解釋。

圖5 稀疏度對目標(biāo)函數(shù)的影響圖

(四)擬多元配對交易收益

通過研究擬多元配對交易的套利收益，給定五個特殊的套利時段，即上升區(qū)間(up-up，2014/7/21-2014/12/16)，上升下降區(qū)間(up-down，2015/3/11-2015/8/3)，下降區(qū)間(down-down，2018/4/17-2018/9/7)，下降上升區(qū)間(down-up，2015/11/1-2016/4/11)，及市場震蕩區(qū)間(oscillation，2019/7/8-2019/12/3)。

表2給出了不同數(shù)據(jù)集下模型的年化凈收益(nt)和套利的成功率(sr)，其中nt由re復(fù)利計算得到，sr為套利成功次數(shù)和開倉次數(shù)的比率?？梢园l(fā)現(xiàn)QSF模型在多種市場情形下均獲得了正的套利收益，其中對于up-up和up-down的情況，均以概率1的條件獲得了正的收益；對于另外三種情形，最后的套利凈收益為正，但在套利期存在套利失敗的行為，其中最高的失敗可能性為20%。

表2 特殊時段下的套利收益比較

通過比較不同市場指數(shù)套利收益的均值和方差，可以發(fā)現(xiàn)深證100和滬深300的套利收益較為穩(wěn)定，而上證50和中證500的套利收益波動較大。滬深300指數(shù)的套利收益較高，深證100的收益區(qū)間較小。

(五)多元配對交易收益

將data3(2014/1/1-2015/5/14)中的股票按照中證行業(yè)分類標(biāo)準(zhǔn)分為十類，其中能源股26只、原材料股49只、工業(yè)股90只、可選消費股59只、主要消費股29只、醫(yī)藥衛(wèi)生股33只、金融地產(chǎn)股72只，信息技術(shù)股45只、電信業(yè)務(wù)股5只，公用事業(yè)股22只，分別記為行業(yè)1到行業(yè)10。本節(jié)研究同行業(yè)以及不同行業(yè)間的多元配對交易。令Data3前240天為形成期，順序的40天為交易期，其中行業(yè)內(nèi)套利行為，稀疏度設(shè)定為行業(yè)內(nèi)股票數(shù)量；行業(yè)間配對交易，稀疏度設(shè)定為20；其他參數(shù)統(tǒng)一設(shè)置為ε1=ε2=0.6，δ1=1.0e+1。

表3中“-”表示沒有獲得正收益，套利失敗。可以發(fā)現(xiàn)總體的套利成功率達(dá)到86%；行業(yè)內(nèi)的配對交易，即RA=RB，均獲得了正的年化收益；值得注意的是，行業(yè)7-金融地產(chǎn)出現(xiàn)失敗的概率最高，且出現(xiàn)損失的數(shù)額巨大，這和金融行業(yè)容易受到市場沖擊有著密切關(guān)系；信息行業(yè)和實業(yè)相對穩(wěn)健，行業(yè)1、3、5、9只出現(xiàn)了一次失敗的情形，行業(yè)8、10在該數(shù)據(jù)下全部成功。

表3 行業(yè)間多元配對交易年化收益統(tǒng)計

五、結(jié) 語

傳統(tǒng)配對交易主要研究兩資產(chǎn)套利關(guān)系，建模中主要應(yīng)用距離法、協(xié)整法和時間序列法等，并使用參數(shù)或者非參數(shù)估計方法確定開平倉及止損信號。本文聚焦于多資產(chǎn)的配對交易問題，利用稀疏優(yōu)化的思想，引入概率約束刻畫預(yù)期收益偏離的不確定性，建立了兩個帶有概率約束的稀疏優(yōu)化模型。值得注意的是，在QM-SSAM模型中，考慮到中國市場賣空限制加入單概率約束，只關(guān)注對指數(shù)的賣空操作，增強了實際應(yīng)用性。對于M-SSAM模型，由于資產(chǎn)組合事先完全未知，考慮融券賣空機(jī)制加入雙概率約束研究兩類套利機(jī)會更加貼近實際。

文中建立的QM-SSAM和M-SSAM模型是一類NP-hard問題。本文借助Xu提到的分布式魯棒方法，在預(yù)期收益可以由因子表達(dá)的前提下，利用因子的一階矩和二階矩信息近似初始概率模型。針對轉(zhuǎn)化后的約束稀疏優(yōu)化問題，根據(jù)量子粒子群理論構(gòu)建了一類混合量子粒子群算法，其中每一步子問題等于求解一個凸規(guī)劃問題。

實證部分應(yīng)用上證50，深證100，滬深300，中證500指數(shù)及成份股在2012年1月到2020年3月的歷史數(shù)據(jù)對模型及算法進(jìn)行了檢驗?？梢园l(fā)現(xiàn)因子集合包含信息越多，對最后的結(jié)果越有利，文中給出擬配對交易的一組算例說明了在同樣情況下，使用三因子的近似模型會在交易期出現(xiàn)更多的套利機(jī)會。在敏感性分析中，擬多元配對交易模型對風(fēng)險因子較為敏感，隨著δ增加，目標(biāo)中預(yù)期偏離d顯著增大，由此帶來了更多套利可能，但也會加劇收益差的發(fā)散風(fēng)險，結(jié)果表明合理區(qū)間應(yīng)該在[1.0e-1，1.0e+1]。資產(chǎn)的稀疏配置說明了所提出的模型及算法可以獲得穩(wěn)定的稀疏套利組合。為了具體展示模型的泛化能力和適用性，給定了五種復(fù)雜的市場環(huán)境，指數(shù)的擬多元配對交易模型在data1到data4的結(jié)果表明可以獲得正的套利收益。綜合四種指數(shù)，可以發(fā)現(xiàn)滬深300的收益性最高，風(fēng)險相對較低。最后，利用滬深300的指數(shù)及成分研究了行業(yè)間的多元配對交易問題，結(jié)果表明在多數(shù)行業(yè)間可以獲得正的套利收益。

綜上所述，本文提出的統(tǒng)計套利模型能夠自適應(yīng)地從資產(chǎn)池中選擇有限數(shù)目的股票用于構(gòu)造配對組合，并確定組合權(quán)重，對金融機(jī)構(gòu)和個人投資者都有著重要的應(yīng)用價值。在以后的研究中將嘗試運用動態(tài)規(guī)劃的思想，建立多階段的配對交易模型，引入交易費用等約束，使得模型更接近真實市場。