王思敏 周松林 林宇杰

（[1]廣西師范大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院 廣西·桂林 541004；[2]桂林市第一中學(xué) 廣西·桂林 541004）

數(shù)學(xué)直覺是對于數(shù)學(xué)對象事物（結(jié)構(gòu)及其關(guān)系）的某種直接領(lǐng)悟或洞察。在傳統(tǒng)數(shù)學(xué)教學(xué)中，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)直覺常常缺失“顯微鏡”和“放大鏡”等技術(shù)的支持。而動態(tài)數(shù)學(xué)技術(shù)具有數(shù)學(xué)化、視覺化、動態(tài)化呈現(xiàn)數(shù)學(xué)對象與思維的功能，應(yīng)用動態(tài)數(shù)學(xué)技術(shù)是數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)直覺的利器。本文嘗試探討在幾何實(shí)驗(yàn)教學(xué)中利用動態(tài)數(shù)學(xué)技術(shù)培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)直覺的一些思考。

1 在平面幾何實(shí)驗(yàn)教學(xué)中，精準(zhǔn)繪測，捕捉數(shù)學(xué)直覺

在傳統(tǒng)教學(xué)中，學(xué)生無法測量數(shù)學(xué)對象的長度、面積等數(shù)值，因此在平面幾何學(xué)習(xí)中易錯失許多“特殊”的數(shù)量關(guān)系，難以捕捉數(shù)學(xué)直覺。在基于動態(tài)數(shù)學(xué)軟件的實(shí)驗(yàn)教學(xué)中，可以選擇“測量”功能，任意測量數(shù)學(xué)對象的數(shù)值，通過變化數(shù)值，指引學(xué)生捕捉數(shù)學(xué)直覺，助力學(xué)生直觀感知數(shù)據(jù)背后的規(guī)律。

案例一：從勾股定理到余弦定理。

勾股定理是最基本的幾何定理，在常規(guī)教學(xué)中，教師通過設(shè)計(jì)案例來引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)這一定理。但若不通過預(yù)先設(shè)計(jì)好的案例，能否讓學(xué)生自己發(fā)現(xiàn)這一規(guī)律呢？從動態(tài)數(shù)形結(jié)合來看，利用動態(tài)數(shù)學(xué)技術(shù)測量和拖拽功能，有助于驗(yàn)證勾股定理在任意三角形中都成立。借用這種數(shù)學(xué)直覺，不妨測量非直角三角形的邊長。

通過測量三角形多邊長度，如圖1，在△ABC中，AD⊥BC，觀察可得。為什么會出現(xiàn)這種情況呢？不難發(fā)現(xiàn)AB、BD分別是Rt△ABD的斜邊和直角邊；AC、DC分別是Rt△ADC的斜邊和直角邊，根據(jù)勾股定理有上述等式成立。

圖1

即證余弦定理。相較于傳統(tǒng)教學(xué)中用向量推導(dǎo)余弦定理的方法，此種推導(dǎo)方式顯示出其巧妙性：在實(shí)驗(yàn)教學(xué)中，學(xué)生使用動態(tài)數(shù)學(xué)軟件測量功能發(fā)現(xiàn)等量關(guān)系藉此捕捉數(shù)學(xué)直覺“類似勾股定理”，將其轉(zhuǎn)化為△ABC三邊長的數(shù)量關(guān)系。再按平方差公式展開并用進(jìn)行等量代換，最終實(shí)現(xiàn)余弦定理的推導(dǎo)。

2 多元表征立體幾何，激發(fā)數(shù)學(xué)直覺

教材中立體幾何的公理或定理大都直接給出，但很難讓人直觀感知或想象。在動態(tài)數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)教學(xué)中，可以任意切換三維與二維圖形，實(shí)現(xiàn)多視角觀察立體圖形的結(jié)構(gòu)與構(gòu)成要素；通過二維、三維圖象、動畫演示、顏色閃動、文字解說、語言互動等多元方式表征，一方面降低了空間想象上的負(fù)荷，另一方面也激發(fā)學(xué)生對學(xué)習(xí)對象的興趣，有助于實(shí)現(xiàn)“授人以魚的同時，更授人以漁與欲”。

案例二：從祖暅原理到空間幾何體的面積。

《九章算術(shù)》中提到祖暅在求球體積時，使用的原理是：“冪勢既同，則積不容異”?！皟纭笔墙孛娣e，“勢”是立體的高。意思是兩個同高的幾何體，如在等高處的截面積都相等，則它們的體積相等。祖暅原理可用于推導(dǎo)球的體積公式，類似于微元法分割。但這個原理以靜態(tài)的圖像演示相對困難，學(xué)生難以發(fā)現(xiàn)同一平面切面的圓環(huán)與圓的面積相同。

圖2

3 動態(tài)探究解析幾何，訓(xùn)練數(shù)學(xué)直覺

解析幾何中的動態(tài)幾何問題是教學(xué)的重難點(diǎn)，傳統(tǒng)教學(xué)中的“化動為靜”方法將運(yùn)動的動圖裁剪成單幀的靜態(tài)圖片，對學(xué)生的直觀感知能力要求較高。相比而言，動態(tài)數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)教學(xué)重現(xiàn)數(shù)學(xué)圖形運(yùn)動過程，學(xué)生可以隨時按下暫停鍵觀察。這樣在學(xué)生腦海中便不是截?cái)嗟膱D片，而是連貫的動圖，在動態(tài)中解決動態(tài)問題，相對符合學(xué)生的認(rèn)知發(fā)展規(guī)律。

這是一道考查圓與拋物線位置關(guān)系的練習(xí)題，不難看出圓的圓心是（a，0），半徑恒為1。常規(guī)做法是將拋物線方程代入到圓的方程中，可以得到

圖3

究其出錯緣由，學(xué)生在日常學(xué)習(xí)中過多依賴代數(shù)，缺乏數(shù)形結(jié)合的思想。沒有經(jīng)過幾何直觀，便無法在腦海中形成清晰表象，也就無法解決由于認(rèn)知偏差所帶來的失誤。動態(tài)數(shù)學(xué)軟件的作圖、測量、跟蹤等功能可以幫助學(xué)生理解圖形，建立圖形的數(shù)量關(guān)系，增強(qiáng)直觀想象能力。

4 結(jié)語

日本數(shù)學(xué)家小平邦彥說：“數(shù)學(xué)就是一種感覺”。動態(tài)數(shù)學(xué)技術(shù)在探索定理、證明命題、解題教學(xué)中的合理使用，能有效培養(yǎng)數(shù)學(xué)直覺。值得說明的是，即便動態(tài)數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)教學(xué)能夠測量并發(fā)現(xiàn)一些數(shù)學(xué)事實(shí)，但它不能代替邏輯推理的歸納演繹。在一定程度上，動態(tài)數(shù)學(xué)技術(shù)有助于發(fā)現(xiàn)和探索數(shù)學(xué)規(guī)律，培養(yǎng)數(shù)學(xué)直覺，但直覺作為一種非理性的思維，具有一定主觀性，需要辯證對待。