王月紅，蔣冀萍

(華北理工大學(xué) 礦業(yè)工程學(xué)院，河北 唐山 063210)

0 引言

采空區(qū)自燃是采空區(qū)經(jīng)常發(fā)生的一種現(xiàn)象，尤其是發(fā)生在距采空區(qū)有一定間隔的氧化升溫帶中，采空區(qū)分為冷卻帶、氧化升溫帶和窒息帶，氧化升溫帶的后面便是窒息帶，窒息帶內(nèi)不發(fā)生自燃，因此只選取部分區(qū)域?qū)Σ煽諈^(qū)自燃進(jìn)行研究即可。為了簡(jiǎn)化計(jì)算，根據(jù)采空區(qū)不斷變化移動(dòng)的特點(diǎn)，該項(xiàng)研究在模型中引入了移動(dòng)坐標(biāo)系的概念，使得采空區(qū)自然發(fā)火模型由靜坐標(biāo)下移動(dòng)邊界的非穩(wěn)態(tài)的偏微分方程組變成了移動(dòng)坐標(biāo)下邊界固定的穩(wěn)態(tài)的偏微分方程組，在很大程度上簡(jiǎn)化了采空區(qū)自然發(fā)火三維數(shù)學(xué)模型的求解。影響采空區(qū)自然發(fā)火的主要因素有采空區(qū)內(nèi)的風(fēng)流狀況、氧氣濃度和溫度，而其中的溫度又分為遺煤溫度和氣體溫度，因此該項(xiàng)研究分別對(duì)采空區(qū)內(nèi)流場(chǎng)、氧濃度場(chǎng)、遺煤溫度場(chǎng)和氣體溫度場(chǎng)進(jìn)行了分析和相關(guān)數(shù)學(xué)模型的推導(dǎo)，分別建立了采空區(qū)流場(chǎng)模型、氧濃度場(chǎng)模型和溫度場(chǎng)模型，通過3個(gè)模型的耦合求解來建立采空區(qū)自然發(fā)火模型。

1 采空區(qū)流場(chǎng)模型

基于有限體積法“守恒性”的思想，建立采空區(qū)流場(chǎng)模型。有限體積法強(qiáng)調(diào)從物理角度建立離散方程，在進(jìn)行推導(dǎo)的過程中物理概念清晰，離散方程的系數(shù)均具有一定的物理意義，每個(gè)離散方程均為有限體積法中的某個(gè)物理量守恒的表達(dá)式，并且從物理角度建立方程可以保證該方程具有“守恒性”。有限體積法的優(yōu)勢(shì)在于其一方面不僅具有有限元方法的“靈敏性”，而且適用于處理復(fù)雜的范圍以及邊界問題；另一方面，有限體積法采用顯示算法，具有更加靈活的假設(shè)，可以克服泰勒展開離散的缺點(diǎn)，并且可以很好地解決復(fù)雜的工程問題。

1.1 達(dá)西定律

達(dá)西定律是基于有限體積法思想和質(zhì)量守恒方程，在采空區(qū)內(nèi)任取一個(gè)空間六面體微元，在空間六面體微元中任取一點(diǎn)來考察采空區(qū)漏風(fēng)流的三維流態(tài)。有如下關(guān)系：

(1)

式中：ux、uy、uz分別為坐標(biāo)軸3個(gè)方向上的速度分量；Kx、Ky、Kz分別為3個(gè)方向上的滲透系數(shù)；?p/?x、?p/?Y、?p/?Z分別為每個(gè)方向上的壓力梯度。

1.2 流場(chǎng)控制方程

假設(shè)有一流場(chǎng)，取流場(chǎng)內(nèi)的某一點(diǎn)，該點(diǎn)被如圖1所示的六面微元體包圍，坐標(biāo)軸正向?yàn)橐阎?/p>

圖1 采空區(qū)內(nèi)的某一六面微元體

單位時(shí)間內(nèi)風(fēng)流流進(jìn)采空區(qū)、流出采空區(qū)導(dǎo)致的質(zhì)量差如式(2)所示。

(2)

單位時(shí)間內(nèi)風(fēng)流流入控制體與流出控制體的差值和微元體內(nèi)質(zhì)量的增加量應(yīng)該是相等的，如式(3)所示。

(3)

1.3 邊界條件

采空區(qū)的流場(chǎng)區(qū)域及邊界如圖2所示，Γ1、Γ2、Γ3、Γ4為采空區(qū)靠近進(jìn)風(fēng)側(cè)的面，Γ5和Γ6分別為底板和頂板。

圖2 采空區(qū)的流場(chǎng)區(qū)域及邊界

采空區(qū)靠近工作面邊界的壓力值可以測(cè)定，因此可表示為如式(4)所示。

P(x,y,z)|Γ4=p0(x,y,z)|(x,y,z)∈Γ4

(4)

式中：Γ4為已知邊界；P0(x，y，z)為已知滲流邊界上的風(fēng)壓函數(shù)。

則流場(chǎng)模型可表示為：

(5)

2 采空區(qū)氧濃度場(chǎng)模型

2.1 Fick定律

Fick定律描述擴(kuò)散作用，可以使用這條定律來求得擴(kuò)散系數(shù)，該定律是由德國(guó)科學(xué)家阿道夫·菲克于1855年推導(dǎo)出來的。

(6)

式中：J為擴(kuò)散通量，mol/(m2·s)；D為擴(kuò)散系數(shù)或擴(kuò)散度，m2/s；?為濃度，mol/m3；x為位置長(zhǎng)度，m。

2.2 采空區(qū)氧濃度場(chǎng)模型

對(duì)采空區(qū)內(nèi)任取的某一六面微元體進(jìn)行質(zhì)量守恒分析，在單位時(shí)間內(nèi)，微元體內(nèi)部的氧氣質(zhì)量變化量(WC)主要由以下3個(gè)方面構(gòu)成：(1)采空區(qū)風(fēng)流流入微元體和流出微元體的氧氣質(zhì)量差值(W1)；(2)氧氣消耗量(W2)；(3)濃度差異引起的流入微元體和流出微元體的氧氣質(zhì)量之差(W3)，即：

WC=W1+W2+W3

(7)

其中：

(8)

(9)

(10)

(11)

將式(8)、(9)、(10)以及(11)代入(12)得：

(12)

為了便于計(jì)算，將式(12)中質(zhì)量濃度改為摩爾濃度，即為式(13)。

(13)

2.3 邊界條件

采空區(qū)的氧濃度場(chǎng)區(qū)域及邊界如圖3所示，共有Γ1、Γ2、Γ3、Γ4、Γ5、Γ66個(gè)面的邊界。

圖3 采空區(qū)的氧濃度場(chǎng)區(qū)域及邊界

在實(shí)際的處理中，只有在工作面附近的Γ4邊界可以直接測(cè)量，因此對(duì)于進(jìn)風(fēng)側(cè)可以直接考慮空氣中的氧濃度；對(duì)于回風(fēng)側(cè)，考慮到消耗氧氣的因素，需要對(duì)氧濃度進(jìn)行實(shí)際的測(cè)量，但在該項(xiàng)研究中，回風(fēng)側(cè)處的邊界根據(jù)第二類邊界條件處理，也就是垂直于工作面方向的氧濃度變化是零，如式(14)所示。

(14)

采空區(qū)內(nèi)進(jìn)風(fēng)側(cè)和回風(fēng)側(cè)，即Γ1邊界和Γ3邊界的耗氧量幾乎可以不計(jì)，所以在該方向上的氧濃度變化率為零，因此可根據(jù)第二類邊界條件進(jìn)行處理，對(duì)于采空區(qū)的深部邊界(Γ2邊界)和上下邊界(Γ5、Γ6邊界)，同理根據(jù)第二類邊界條件處理，如式(15)所示。

(15)

即采空區(qū)氧濃度場(chǎng)模型如(16)所示。

(16)

3 采空區(qū)溫度場(chǎng)模型

由于難以直接、準(zhǔn)確地判斷采空區(qū)的著火點(diǎn)位置和自燃環(huán)境的火情，因此在工程實(shí)踐中，采空區(qū)的防火、滅火工作不僅相對(duì)盲目，而且還浪費(fèi)了大量的人力物力。近幾年，隨著綜采放頂煤技術(shù)的推廣應(yīng)用，大大提高了生產(chǎn)效率，但同時(shí)也導(dǎo)致采空區(qū)內(nèi)遺煤量更多、漏風(fēng)更加嚴(yán)重的結(jié)果，因此對(duì)采空區(qū)內(nèi)溫度場(chǎng)進(jìn)行立體模型公式推導(dǎo)時(shí)，將溫度場(chǎng)分為遺煤溫度場(chǎng)和氣體溫度場(chǎng)，為及時(shí)預(yù)測(cè)以及研究采空區(qū)自燃問題提供了有效直觀的研究方法。

3.1 傅里葉定律

傅里葉定律是在1822年被法國(guó)著名科學(xué)家傅里葉提出的一條熱力學(xué)定律。表達(dá)式如式(17)所示。

(17)

式中：JT為熱流密度，w/m2；k為熱導(dǎo)率，w/(m·k)；dT/dx為該方向上的溫度梯度。

3.2 溫度場(chǎng)模型

3.2.1 采空區(qū)遺煤溫度場(chǎng)模型

對(duì)采空區(qū)放頂煤巖中小型控制體的熱平衡進(jìn)行分析，得到如式(18)所示的守恒方程。

Qsc+Qf-Qd=Es

(18)

式中：Qsc表示由于導(dǎo)熱導(dǎo)致的熱量差，kJ/(mol·s)；Qf表示由內(nèi)熱源導(dǎo)致的熱量，kJ/(mol·s)；Qd表示由對(duì)流換熱導(dǎo)致的熱量差，kJ/(mol·s)；Es表示由工作面移動(dòng)導(dǎo)致的進(jìn)出控制體的熱量差，kJ/(mol·s)。

其中：

(19)

(20)

(21)

(22)

將式(19)、(20)、(21)、(22)代入式(18)中即可得到如式(23)所示的采空區(qū)內(nèi)固體顆粒的熱平衡方程。

(23)

式中：ts表示冒落煤巖溫度，K；tg表示氣體溫度，K；λs表示固體導(dǎo)熱系數(shù)，W/m·K；Ke表示對(duì)流換熱系數(shù)，J/(m2·s·K)；q(t)表示單位時(shí)間單位體積的煤氧化放熱強(qiáng)度，kJ/(m3·s)；Cs表示固體比熱容，kJ/(kg·K)；v0表示工作面推進(jìn)速度，m/d；ρs表示固體密度，kg/m3；Sn表示單元體內(nèi)固體顆粒與氣體對(duì)流換熱的表面積，m2。

3.2.2 采空區(qū)氣體溫度場(chǎng)模型

同理，對(duì)采空區(qū)中的任一氣體控制體進(jìn)行熱平衡分析，可得如式(24)所示的能量守恒方程。

Qgc-Qh+Qd=0

(24)

式中：Qd表示單位時(shí)間內(nèi)由固體與孔隙中氣體導(dǎo)致的對(duì)流換熱量，kJ/(mol·s)；Qh表示單位時(shí)間內(nèi)由氣體流動(dòng)帶進(jìn)和帶出導(dǎo)致的熱量差，kJ/(mol·s)；Qgc表示單位時(shí)間內(nèi)由導(dǎo)熱流進(jìn)和流出控制體導(dǎo)致的熱量差，kJ/(mol·s)。

其中：

(25)

(26)

(27)

將式(25)、(26)、(27)代入(24)得：

(28)

式中：λg表示氣體導(dǎo)熱系數(shù)，W/m·K；cg表示氣體比熱容，J/(kg·K)；ρg表示氣體密度，kg/m3。

3.3 邊界條件

采空區(qū)溫度場(chǎng)模型的邊界條件和采空區(qū)氧濃度場(chǎng)的邊界條件相似，如圖3所示，由于采空區(qū)溫度場(chǎng)的溫度可以直接測(cè)定，因此對(duì)于臨近工作面進(jìn)風(fēng)側(cè)的邊界條件根據(jù)第一類邊界條件進(jìn)行處理，表達(dá)式如式(29)所示。

(29)

對(duì)于采空區(qū)的其它邊界，可認(rèn)為在該邊界坐標(biāo)軸方向上的溫度沒有發(fā)生變化，表達(dá)式如式(30)所示。

(30)

將偏微分方程、采空區(qū)遺煤溫度場(chǎng)邊界條件和氣體溫度場(chǎng)邊界條件進(jìn)行整合，可得到采空區(qū)溫度場(chǎng)數(shù)學(xué)模型，表達(dá)式如式(31)所示。

(31)

4 采空區(qū)自然發(fā)火三維數(shù)學(xué)模型

4.1 采空區(qū)自然發(fā)火三維數(shù)學(xué)模型

將式(5)、(16)、(31)進(jìn)行聯(lián)立得移動(dòng)坐標(biāo)下采空區(qū)自然發(fā)火三維數(shù)學(xué)模型：

(32)

4.2 邊界條件

采空區(qū)自然發(fā)火三維數(shù)學(xué)模型的邊界條件如式(33)所示。

(33)

將偏微分方程與采空區(qū)流場(chǎng)、氧濃度場(chǎng)、以及溫度場(chǎng)的邊界條件相結(jié)合，可以得到完整的采空區(qū)自然發(fā)火三維數(shù)學(xué)模型，該數(shù)學(xué)模型的優(yōu)勢(shì)不僅在于從能量守恒的角度建立，具有明確的物理意義，而且還能能準(zhǔn)確地描述采空區(qū)自燃的過程，為采空區(qū)自燃的防治提供了理論依據(jù)。

5 結(jié)論

(1)根據(jù)工作面不斷移動(dòng)的特點(diǎn)，建立了移動(dòng)坐標(biāo)系，使得采空區(qū)自然發(fā)火模型由靜坐標(biāo)下移動(dòng)邊界的非穩(wěn)態(tài)的偏微分方程組變成了移動(dòng)坐標(biāo)下邊界固定的穩(wěn)態(tài)的偏微分方程組，在很大程度上簡(jiǎn)化了采空區(qū)自然發(fā)火三維數(shù)學(xué)模型的求解。

(2)基于有限體積法“守恒性”思想，利用氣體流動(dòng)規(guī)律和達(dá)西定律，建立了采空區(qū)流場(chǎng)模型，描述了采空區(qū)內(nèi)部壓力和風(fēng)流速度的分布情況；根據(jù)氧氣擴(kuò)散規(guī)律和質(zhì)量守恒定律，建立了采空區(qū)氧濃度場(chǎng)模型，描述了采空區(qū)內(nèi)部氧濃度的分布情況；根據(jù)熱傳導(dǎo)規(guī)律和傅里葉定律，建立了采空區(qū)氣體溫度場(chǎng)模型和采空區(qū)遺煤溫度場(chǎng)模型，描述了采空區(qū)內(nèi)部溫度的分布情況，為采空區(qū)自然發(fā)火研究提供了理論依據(jù)。

(3)采空區(qū)自然發(fā)火模型是由采空區(qū)流場(chǎng)模型、氧濃度場(chǎng)模型、以及溫度場(chǎng)模型進(jìn)行耦合求解來建立的，采空區(qū)的氣體壓力、氧氣濃度和溫度分布情況在不同程度上對(duì)采空區(qū)自然發(fā)火都具有一定的影響，采空區(qū)自然發(fā)火模型的建立為采空區(qū)內(nèi)不同參數(shù)影響的判斷提供了理論依據(jù)。