畢太苗，施明華

(皖西學(xué)院 金融與數(shù)學(xué)學(xué)院, 安徽 六安 237012)

集結(jié)算子作為信息融合的一種重要工具，是信息科學(xué)的重要組成部分。目前已被廣泛地應(yīng)用于人工智能、優(yōu)化研究、模式識(shí)別、圖像處理、決策科學(xué)等多個(gè)研究領(lǐng)域[1]。隨著時(shí)代的發(fā)展，人們所處理的信息往往帶有一定的模糊性和不確定性。為此，近年來(lái)學(xué)者們提出大量的模糊信息集結(jié)算子。例如：有序加權(quán)平均算子用于集結(jié)模糊語(yǔ)言信息[2]、直覺模糊信息[3]、猶豫模糊信息[4]；有序加權(quán)幾何平均算子用于集結(jié)不確定語(yǔ)言信息[5]、三角直覺模糊信息[6]、區(qū)間猶豫模糊信息[7]；優(yōu)先級(jí)加權(quán)平均算子用于集結(jié)區(qū)間直覺模糊信息[8]、中智模糊信息[9]、區(qū)間猶豫模糊語(yǔ)言信息[10]。

上述集結(jié)算子假定信息集結(jié)過(guò)程中變量間是相互獨(dú)立的，而這一假設(shè)在實(shí)際操作中較難滿足。目前文獻(xiàn)大多使用Bonferroni平均算子和Heronian平均算子，對(duì)關(guān)聯(lián)程度較高的信息進(jìn)行融合。文獻(xiàn)[11]將Bonferroni平均算子用于猶豫模糊語(yǔ)言信息的集結(jié)，并用于解決智慧醫(yī)療衛(wèi)生系統(tǒng)中的多屬性決策問(wèn)題；文獻(xiàn)[12]將Bonferroni平均算子用于生產(chǎn)庫(kù)存模型中的直覺模糊信息集結(jié)；文獻(xiàn)[13]進(jìn)一步提出直覺模糊Bonferroni幾何平均算子，并用于求解金融投資中的多屬性決策問(wèn)題。Heronian平均算子和Bonferroni平均算子一樣能捕獲變量之間的關(guān)聯(lián)性，但其計(jì)算量卻要明顯少于Bonferroni平均算子，近年來(lái)受到廣泛的關(guān)注。文獻(xiàn)[14]結(jié)合幾何平均算子和Heronian平均算子，提出了直覺模糊Heronian幾何平均算子和直覺模糊加權(quán)Heronian幾何平均算子；文獻(xiàn)[15]對(duì)猶豫模糊語(yǔ)言加權(quán)Heronian幾何平均算子進(jìn)行定義，并給出一種多屬性決策問(wèn)題的求解方法；文獻(xiàn)[16]給出了區(qū)間直覺模糊加權(quán)Heronian幾何平均算子，并用于電子政務(wù)績(jī)效評(píng)價(jià)的多屬性決策問(wèn)題；文獻(xiàn)[17]將Heronian幾何平均算子引入語(yǔ)言環(huán)境下，定義了不確定語(yǔ)言加權(quán)Heronian幾何平均算子。但這些加權(quán)Heronian幾何平均算子在權(quán)重相相等時(shí)無(wú)法退化為Heronian平均算子，并且不滿足冪等性。

近年來(lái)隨著我國(guó)人民生活水平的提高，白酒行業(yè)得到快速發(fā)展。行業(yè)龍頭川酒、貴酒穩(wěn)居領(lǐng)導(dǎo)地位，而處于第二梯隊(duì)的徽酒、鄂酒、蘇酒成為白酒行業(yè)的生力軍，市場(chǎng)占有率不斷擴(kuò)大，品牌辨識(shí)度逐漸提高。以古井、口子窖、高爐家酒、迎駕貢酒、皖徽酒等“五朵金花”為代表的主流徽酒品牌，在中部地區(qū)有一定的市場(chǎng)影響力，近些年，依托其有效的營(yíng)銷模式和清晰的市場(chǎng)定位，讓徽酒在市場(chǎng)中取得了不錯(cuò)的突破，徽酒開始由曾經(jīng)的地域性品牌向全國(guó)性品牌強(qiáng)勢(shì)邁進(jìn)?？谧咏咽讍⒌摹氨P中盤”營(yíng)銷策略，將重點(diǎn)放在核心消費(fèi)者終端，取得了空前成功，有效開發(fā)和帶動(dòng)了市場(chǎng)消費(fèi)，品牌市場(chǎng)份額也得到大幅度提高。其后，該模式被其他徽酒企業(yè)效仿，也取得了不錯(cuò)的業(yè)績(jī)。創(chuàng)新的營(yíng)銷模式和有效的品牌策略，使徽酒在全國(guó)白酒市場(chǎng)逐漸站穩(wěn)腳跟。但隨著越來(lái)越多白酒企業(yè)對(duì)這種營(yíng)銷方式的效仿和跟進(jìn)，市場(chǎng)競(jìng)爭(zhēng)也在不斷加劇，導(dǎo)致各品牌搶奪市場(chǎng)酒店、餐飲等終端消費(fèi)者的成本不斷攀升，而效果卻在減弱，導(dǎo)致企業(yè)利潤(rùn)大幅度降低。徽酒這種同質(zhì)化的營(yíng)銷策略很難使其在未來(lái)發(fā)展中取得有效突破。從長(zhǎng)遠(yuǎn)來(lái)看，企業(yè)將營(yíng)銷方向從過(guò)度關(guān)注產(chǎn)品、渠道促銷等方面轉(zhuǎn)向品牌運(yùn)營(yíng)，才能形成自己的核心競(jìng)爭(zhēng)力，向良性發(fā)展之路邁進(jìn)。另一方面，隨著消費(fèi)升級(jí)趨勢(shì)的加快，人們的消費(fèi)理念也在改變，他們開始追求健康飲酒、理性飲酒以及酒企背后的品牌文化。對(duì)于白酒企業(yè)來(lái)說(shuō)，緊跟時(shí)代發(fā)展，打造鮮明的品牌，提供個(gè)性化、功能性產(chǎn)品才是大勢(shì)所趨。因此，對(duì)于徽酒進(jìn)行評(píng)價(jià)，可以找出對(duì)徽酒品牌的影響因素，讓酒企更加清楚地了解自身的品牌現(xiàn)狀，從而進(jìn)行改進(jìn)提升，對(duì)其未來(lái)的品牌發(fā)展戰(zhàn)略有著至關(guān)重要的意義。

綜上所述，本文同時(shí)考慮到直覺模糊集理論能更好地處理復(fù)雜系統(tǒng)中的模糊性和不確定性，對(duì)加權(quán)Heronian幾何平均算子進(jìn)行重新設(shè)計(jì)，提出一種改進(jìn)的直覺模糊加權(quán)Heronian幾何平均算子，并證明新算子具有退化性、冪等性、單調(diào)性、有界性等良好性質(zhì)，最后，將其用于解決白酒評(píng)價(jià)的多屬性決策問(wèn)題。

1 預(yù)備知識(shí)

1.1 直覺模糊集

定義1[3]設(shè)X是一給定論域，則X上的一個(gè)直覺模糊集A為

其中μA(x):X→[0,1]和υA(x):X→[0,1]分別代表A的隸屬函數(shù)和非隸屬函數(shù)，并且?x∈X有0≤μA(x)+υA(x)≤1.

為便于計(jì)算和討論，將直覺模糊集中的元素用有序區(qū)間對(duì)α=(μα,υα)表示，并稱為直覺模糊數(shù)。設(shè)α=(μα,υα)和β=(μβ,υβ)是2個(gè)直覺模糊數(shù)，規(guī)定：

1)α⊕β=(μα+μβ-μαμβ,υαυβ)；

2)α?β=(μαμβ,υα+υβ-υαυβ)；

為對(duì)直覺模糊數(shù)α=(μα,υα)和β=(μβ,υβ)進(jìn)行排序，Chen等人提出得分函數(shù)[18](P13-18),[19]：sα=μα-υα；Hong等人引入精確度：hα=μα+υα；Xu等人將二者相結(jié)合，給出如下的排序方法[20]：

· 若sα>sβ，則α>β;

· 若sα=sβ，則

(ⅰ) 當(dāng)hα=hβ時(shí)，有α=β；

(ⅱ) 當(dāng)hα>hβ時(shí)，有α>β.

1.2 Heronian幾何平均算子

定義2[14]設(shè)p≥0，q≥0，且p與q不同時(shí)為0，αi=(μαi,υαi) (i=1,2,…,n)為一組直覺模糊數(shù)，若

則稱IFGHMp,q為直覺模糊Heronian幾何平均(GHM)算子。

但上述Heronian幾何平均算子僅考慮了變量間的關(guān)聯(lián)性，忽略了權(quán)重信息。為此，Yu等人進(jìn)一步給出如下定義[14]。

定義3[14]設(shè)p≥0，q≥0，且p與q不同時(shí)為0，αi=(μαi,υαi) (i=1,2,…,n)為一組直覺模糊數(shù)。若

則稱IFWGHMp,q為直覺模糊加權(quán)Heronian幾何平均(IFWGHM)算子。

2 改進(jìn)的直覺模糊WGHM算子

進(jìn)而有

(1)

故有

下證，由IIFWGHM算子的集結(jié)值是直覺模糊數(shù)。

由0≤μαi≤1，0≤υαi≤1，易知

和

又

綜上定理得證。

因此

定理3(1) (冪等性)αi(i=1,2,…,n)為一組直覺模糊數(shù)，若αi=α(i=1,2,…,n)，則有

(2) (交換性)αi(i=1,2,…,n)為一組直覺模糊數(shù)，若α′1,α′2,…,α′n為α1,α2,…,αn任一置換，則有

(3) (單調(diào)性)αi=(μαi,υαi)，βi=(μβi,υβi)(i=1,2,…,n)為兩組直覺模糊數(shù)，若對(duì)任意的i=1,2,…,n，都有μαi≤μβi，υαi≥υβi，則

證明：(1)

(2)

(3) 因?yàn)棣苔羒≤μβi，υαi≥υβi(i=1,2,…,n)，故有

從而

同理可得

所以

不妨設(shè)IIFWGHMp,q(α1,α2,…,αn)和IIFWGHMp,q(β1,β2,…,βn)的得分函數(shù)和精度分別為sα、sβ以及hα、hβ，則由上式得sβ≥sα.

1) 若sβ>sα，則直接可得

IIFWGHMp,q(α1,α2,…,αn)

2) 若sα=sβ，結(jié)合μαi≤μβi，υαi≥υβi(i=1,2,…,n)，可得

和

從而有hα=hβ，因此

綜上，(3)成立。

(4) 由(1)和(3)可得

和

即

綜上，定理3得證。

下面我們給出IIFWGHM算子的一些特殊形式。

情形1若p=0, 則有

情形2若q=0, 則有

情形3若p=1,q=1，則有

注：1) 由情形1和2可知參數(shù)p，q不具備交換性，即

2) 當(dāng)q=0時(shí)IIFWGHM算子無(wú)法捕獲變量的權(quán)重信息。

3 直覺模糊多屬性決策方法

在前文定義的IIFWGHM算子基礎(chǔ)上，給出上述決策問(wèn)題的求解步驟，具體如下：

步驟3：依次計(jì)算上述綜合評(píng)價(jià)值的得分值(如需要，則進(jìn)一步計(jì)算精度值)，利用方案綜合評(píng)價(jià)值的得分對(duì)決策方案進(jìn)行排序，并選擇最優(yōu)方案。

4 實(shí)例分析

假定某公司打算選擇某徽酒品牌進(jìn)行投資，經(jīng)過(guò)前期的市場(chǎng)調(diào)研，4種徽酒品牌(x1,x2,x3,x4)進(jìn)入備選。智囊團(tuán)的成員決定從以下4個(gè)因素(對(duì)應(yīng)的權(quán)重為w=(0.2,0.3,0.3,0.2)T)，對(duì)各4種徽酒品牌的進(jìn)行評(píng)估：

g1-支持力，指的是品牌受關(guān)注度和社會(huì)的認(rèn)可度，具有強(qiáng)大支持力的品牌在市場(chǎng)中的傳播力度更加強(qiáng)勁，而且能夠獲得較強(qiáng)傳播投資和營(yíng)銷支持；

g2-市場(chǎng)力，指的是品牌在市場(chǎng)中的占有率。一個(gè)具有較大市場(chǎng)占有率的品牌，在市場(chǎng)中的認(rèn)知度會(huì)明顯優(yōu)于其他品牌，競(jìng)爭(zhēng)優(yōu)勢(shì)也增強(qiáng)；

g3-行銷范圍，指品牌的銷售區(qū)域，擁有較強(qiáng)的跨區(qū)域、跨文化傳播的能力。若該品牌行銷范圍廣，則在市場(chǎng)更具有認(rèn)知度和聲望；

g4-趨勢(shì)力，指的是品牌是否能與企業(yè)未來(lái)發(fā)展相契合，具有良好趨勢(shì)力的品牌能夠順應(yīng)市場(chǎng)的發(fā)展，抓住消費(fèi)者的需求和變化，并與之保持同步。

最終，專家組達(dá)成一致評(píng)價(jià)意見，并給出如下的直覺模糊信息評(píng)價(jià)矩陣。

表1 直覺模糊信息評(píng)價(jià)矩陣

為選擇最佳建設(shè)方案，下面利用本文的決策方法進(jìn)行求解，具體步驟如下：

步驟1：題中涉及的屬性均為效益型指標(biāo)，因此無(wú)須規(guī)范化，可直接進(jìn)行優(yōu)選決策；

步驟2：利用IIFWGHM集結(jié)算子對(duì)上述評(píng)價(jià)矩陣第i行進(jìn)行集結(jié)，得到方案的綜合評(píng)價(jià)值，具體如表2。

表2 IIFWGHM算子集結(jié)結(jié)果

步驟3：計(jì)算各徽酒品牌綜合評(píng)價(jià)的得分值，并據(jù)此進(jìn)行排序(如表3所示)，為公司選擇最佳投資品牌。

從表3可見p，q取值不同時(shí)，盡管最佳選擇是x2，但整體排序卻不一致。由此可知，IIFWGHM算子決策方法依賴于參數(shù)取值，考慮到計(jì)算復(fù)雜性等因素，一般情況下建議決策時(shí)取p=q=1。從表2以及表3我們還可以見到一個(gè)有趣的現(xiàn)象，當(dāng)p，q取值相等時(shí)，參數(shù)取值越大，評(píng)價(jià)值和得分值越低。事實(shí)上，可以證明p=q時(shí)，IIFWGHM算子是關(guān)于參數(shù)遞減的，對(duì)于樂(lè)觀者可以選擇取值較低的參數(shù)，而悲觀者則相反。但過(guò)大的參數(shù)也會(huì)導(dǎo)致模型識(shí)別能力降低，例如本題中p=q=30時(shí)，x2～x4～x1?x3.因此決策過(guò)程中要合理的選擇參數(shù)進(jìn)行決策。

表3 決策結(jié)果

5 比較分析

下面我們將本文方法同已有的直覺模糊多屬性決策方法進(jìn)行對(duì)比，由于這些方法的主要區(qū)別在于使用不同的集結(jié)算子，因此我們有重點(diǎn)的選取直覺模糊加權(quán)Heronian平均(IFWHM)算子[21]，直覺模糊加權(quán)幾何Heronian平均(IFWGHM)算子[14]，以及直覺模糊加權(quán)Bonferroni平均(IFWBM)算子[22]，同本文的改進(jìn)的直覺模糊加權(quán)幾何Heronian平均(IIFWGHM)算子進(jìn)行對(duì)比，具體結(jié)果如表5所示。

表4 方法比對(duì)結(jié)果

6 結(jié)論

在經(jīng)濟(jì)社會(huì)快速發(fā)展的今天，人們所面臨的信息往往具有一定的不確定性和模糊性，直覺模糊數(shù)是處理此類信息的一種有效技術(shù)。本文對(duì)于現(xiàn)有的加權(quán)幾何Heronian平均算子進(jìn)行設(shè)計(jì)，給出了一種具有退化性以及冪等性等優(yōu)良性質(zhì)的直覺模糊加權(quán)幾何Heronian平均算子。此外，基于新設(shè)計(jì)的算子，提出一種多屬性決策方法，徽酒品牌評(píng)價(jià)案例表明方法的可行性和有效性。