張鳳梅

[摘? 要] 分析近幾年的中考試題，考查銳角三角函數(shù)的方式較為多樣，側(cè)重于知識(shí)綜合，無論是命題背景，還是解法特點(diǎn)均具有一定的探究價(jià)值.文章將對(duì)銳角三角函數(shù)的考查方向進(jìn)行舉例探析，總結(jié)問題特點(diǎn)，歸納解題方法，并開展相應(yīng)的教學(xué)反思，提出幾點(diǎn)學(xué)習(xí)建議，以期對(duì)師生的教學(xué)備考有所幫助.

[關(guān)鍵詞] 銳角三角函數(shù);中考;概念;網(wǎng)格;應(yīng)用;綜合

三角函數(shù)是中學(xué)數(shù)學(xué)的重要分支，其知識(shí)內(nèi)容貫穿初中和高中數(shù)學(xué)，因此具有特殊的地位.在初中階段需要掌握銳角三角函數(shù)的相關(guān)內(nèi)容，包括其概念、特殊值求法，并能合理應(yīng)用相關(guān)知識(shí)解決問題.同時(shí)近幾年各地中考出現(xiàn)了考查銳角三角函數(shù)的試題，問題類型多樣、考向各異、難度適中，下面進(jìn)行考向分析，舉例探究解題思路.

關(guān)于銳角三角函數(shù)的考查舉例

分析各地考題，銳角三角函數(shù)的考查內(nèi)容主要集中在其基本概念、模型構(gòu)建和實(shí)際應(yīng)用三方面，而實(shí)際考查時(shí)常借助直角三角形，融合特殊網(wǎng)格，側(cè)重實(shí)際應(yīng)用，綜合拋物線等知識(shí)背景，下面進(jìn)行深入探究.

考向一：借助直角三角形考查其概念

銳角三角函數(shù)編排在勾股定理內(nèi)容之后，是對(duì)直角三角形邊角關(guān)系的進(jìn)一步探究.銳角三角函數(shù)的概念是依托直角三角形而構(gòu)建的，中考常結(jié)合幾何圖形來考查其概念，在實(shí)際解析時(shí)需要充分利用直角三角形的特性.

例1? （2019年江蘇省淮安市中考卷第16題）如圖1所示，在矩形ABCD中，AB=3，BC=2，H是AB的中點(diǎn)，將△CBH沿CH折疊，點(diǎn)B落在矩形內(nèi)點(diǎn)P處，連接AP，則tan∠HAP=______.

解析? 求∠HAP的正切值需要將其放在直角三角形中，由于∠HAP所在的△APH為一般三角形，無法直接構(gòu)建銳角三角函數(shù)的比值關(guān)系，需要進(jìn)行等角轉(zhuǎn)化.

連接BP，與CH的交點(diǎn)為點(diǎn)E.△CBH折疊后得到了△CPH，由折疊特性可知PB⊥CH，PE=BE.進(jìn)一步分析可知∠APB=90°，于是有AP∥CH，所以∠HAP=∠CHB.在Rt△CHB中，BC=2，HB=■，所以tan∠CHB=■=■，即tan∠HAP=■.

評(píng)析? 上述求銳角的正切值，利用兩線平行的性質(zhì)實(shí)現(xiàn)了等角轉(zhuǎn)化，從而將所涉角度轉(zhuǎn)化到直角三角形中.等角轉(zhuǎn)化的途徑有很多，比如相似轉(zhuǎn)化、全等轉(zhuǎn)化等.

考向二：融合網(wǎng)格考查其拓展變式

網(wǎng)格是幾何的重要表達(dá)形式，可融合線段長和空間幾何關(guān)系，結(jié)合三角函數(shù)可以綜合考查學(xué)生觀察分析、幾何特性提取等技能，其問題類型具有一定的創(chuàng)新性.實(shí)際求解時(shí)需要把握幾何特性，合理添加輔助線構(gòu)建模型.

例2? （2019年山東省中考模擬題）如圖2，在邊長為1的小正方形網(wǎng)格中，點(diǎn)A，B，C，D均位于這些小正方形的頂點(diǎn)上，AB，CD相交于點(diǎn)O，則tan∠AOD=______.

解析? 本題目以網(wǎng)格為背景求∠AOD的正切值，需要充分利用正方形的特性.而∠AOD的頂點(diǎn)位置較為一般，不利于構(gòu)建直角模型，需要進(jìn)行等角轉(zhuǎn)化.

連接BE，與CD的交點(diǎn)為點(diǎn)F，分析可知BF=CF，同時(shí)BE⊥CD，則可以借助對(duì)頂角將∠AOD轉(zhuǎn)化到Rt△BFO中.分析可證△ACO∽△BKO，則KO ∶ CO=BK ∶ AC=1 ∶ 3，所以KO=OF=■CF=■BF.在Rt△BFO中，tan∠BOF=■=2，即tan∠AOD=2.

評(píng)析? 上述三角函數(shù)問題的特點(diǎn)是融合了網(wǎng)格，對(duì)于網(wǎng)格需要充分利用其中的兩大條件：一是網(wǎng)格的幾何特性，如正方形網(wǎng)格的四邊相等，對(duì)角線垂直平分等，二是網(wǎng)格問題一般會(huì)給出圖形的邊長，實(shí)則可求其中的特殊線段長.

考向三：應(yīng)用視角下考查模型構(gòu)建

利用銳角的三角函數(shù)解決實(shí)際問題是其重要的應(yīng)用考向，實(shí)則就是解直角三角形.問題常結(jié)合仰角、俯角、坡度、方位角等，求解時(shí)需要合理構(gòu)建數(shù)學(xué)模型，利用勾股定理和三角函數(shù).

例3? （2019年江蘇省徐州市中考卷第15題）如圖3所示，無人機(jī)于空中A處測(cè)得某建筑頂部B處的仰角為45°，測(cè)得該建筑底部C處的俯角為17°.若無人機(jī)的飛行高度AD為62 m，則該建筑的高度BC為______.

（參考數(shù)據(jù)：sin17°≈0.29，cos17°≈0.96，tan17°≈0.31）

解析? 本題目主要考查直角三角形和三角函數(shù)知識(shí)，需要理解仰角和俯角的定義，然后在圖形中添加輔助線來構(gòu)建模型.

過點(diǎn)A作BC的垂線，垂足為點(diǎn)E，則EC=AD=62 m，在Rt△AEC中，tan∠EAC=■，則AE=■≈200. 在Rt△AEB中，已知∠BAE=45°，則BE=AE=200 m，所以BC=BE+CE=262 m，即該建筑的高度BC為262 m.

評(píng)析? 上述求建筑物的高度，給出了觀察點(diǎn)距建筑物的水平距離，以及仰角和俯角，求解時(shí)在直角三角形中利用三角函數(shù)完成了線段推導(dǎo)，這也是求解應(yīng)用性問題的常用方法.另外還常利用三角函數(shù)來解析坡度、航行位置等問題.

考向四：函數(shù)視角下考查綜合能力

拋物線是初中數(shù)學(xué)的重點(diǎn)內(nèi)容，也可綜合拋物線來考查三角函數(shù)知識(shí)，問題求解時(shí)同樣離不開構(gòu)建直角三角形，其特殊之處在于其中的線段長需要結(jié)合點(diǎn)坐標(biāo)，利用拋物線的特性來確定點(diǎn)位置.

例4? 如圖4所示，已知拋物線y=x2+bx+c與x軸相交于點(diǎn)A和B，與y軸相交于點(diǎn)C（0，2）.現(xiàn)連接AC，若tan∠OAC=2，試回答下列問題.

（1）求拋物線所對(duì)應(yīng)二次函數(shù)的解析式;

（2）分析拋物線的對(duì)稱軸上是否存在一點(diǎn)P，使得∠APC=90°？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)P的坐標(biāo);若不存在，請(qǐng)說明理由.

解析? 本題目為二次函數(shù)綜合題，其中融合了拋物線與三角函數(shù)，求解時(shí)需要充分利用三角函數(shù)來求線段長.

（1）已知點(diǎn)C坐標(biāo)，還需求出點(diǎn)A的坐標(biāo)，只需求OA的長即可.由點(diǎn)C坐標(biāo)可知OC=2，又知tan∠OAC=2，則可在Rt△OAC中構(gòu)建模型，即tan∠OAC=■=2，所以O(shè)A=1，則點(diǎn)A（1，0），聯(lián)系點(diǎn)A和C的坐標(biāo)可求拋物線的解析式為y=x2-3x+2.

（2）該問屬于存在性探究問題，過點(diǎn)C作對(duì)稱軸l的垂線，垂足為點(diǎn)D.分析可知直線l： x=■，由于∠APC=90°，則tan∠PAE=tan∠CPD，所以■=■，從而可得PE=■或■，所以點(diǎn)P的坐標(biāo)為■，■或■，■.

評(píng)析? 上述例題為拋物線與三角函數(shù)相結(jié)合的綜合題，所求兩問均充分利用了三角函數(shù)，其中第（1）問直接利用直角三角形中的三角函數(shù)完成線段求解，第（2）問則通過等角的三角函數(shù)構(gòu)建了方程，確定了關(guān)鍵線段的長.上述所呈現(xiàn)的也是該類問題中三角函數(shù)知識(shí)的常用方法，解析問題時(shí)可合理參考，構(gòu)建思路.

關(guān)于銳角三角函數(shù)的學(xué)習(xí)建議

上述是中考中三角函數(shù)常見的問題類型，分析可知在考查時(shí)既注重基本概念，又關(guān)注知識(shí)融合，而合理構(gòu)建幾何模型是問題突破的關(guān)鍵，下面提出幾點(diǎn)建議.

1. 追本溯源，關(guān)注問題核心

新課標(biāo)確定了三角函數(shù)的考查要求：①探索認(rèn)識(shí)特殊銳角三角函數(shù)值，②掌握一般銳角三角函數(shù)的轉(zhuǎn)化方法，③靈活運(yùn)用三角函數(shù)來解直角三角形.其中提出了理解概念、構(gòu)建模型、應(yīng)用拓展三大學(xué)習(xí)要求，實(shí)則也是中考中三角函數(shù)的考查內(nèi)容.因此在實(shí)際學(xué)習(xí)時(shí)，需要學(xué)生深入理解銳角三角函數(shù)的概念，能夠合理利用直角三角形來構(gòu)建比值模型，同時(shí)引導(dǎo)學(xué)生掌握等角三角函數(shù)轉(zhuǎn)化的方法技巧，形成一般問題的突破思路.

2. 知識(shí)綜合，關(guān)注知識(shí)聯(lián)系

中考對(duì)三角函數(shù)的考查側(cè)重于知識(shí)綜合，如融合網(wǎng)格、聯(lián)系實(shí)際、結(jié)合函數(shù)曲線等，呈現(xiàn)的均是三角函數(shù)的知識(shí)聯(lián)系點(diǎn)，涉及直角三角形、勾股定理、相似三角形、曲線圖像等知識(shí)，而問題的求解需要綜合關(guān)聯(lián)知識(shí)，合理構(gòu)建思路.因此學(xué)生在學(xué)習(xí)時(shí)除了需要打牢基礎(chǔ)外，還需注重知識(shí)的歸類總結(jié)，關(guān)注知識(shí)聯(lián)系，構(gòu)建完整的知識(shí)體系.而對(duì)于其中的知識(shí)聯(lián)系點(diǎn)，教師可以設(shè)置相關(guān)的問題，通過針對(duì)性訓(xùn)練來鞏固.

3. 滲透思想，重視數(shù)學(xué)思維

綜合性問題的求解過程同樣也是數(shù)學(xué)思想的構(gòu)建過程，如上述三角函數(shù)綜合題的突破中，利用轉(zhuǎn)化思想來實(shí)現(xiàn)等角轉(zhuǎn)化，結(jié)合模型思想來構(gòu)建數(shù)學(xué)模型，通過數(shù)形結(jié)合完成了問題的高效作答，其中涉及數(shù)學(xué)的轉(zhuǎn)化思想、模型思想、數(shù)形結(jié)合思想等.思想方法是解題的核心所在，也是數(shù)學(xué)的精華，對(duì)于提升學(xué)生的解題思維有著極大的幫助，因此教師在實(shí)際教學(xué)中需合理滲透數(shù)學(xué)思想，引導(dǎo)學(xué)生感悟思想方法的內(nèi)涵，充分掌握利用思想方法探究問題的思路，拓展學(xué)生思維，培養(yǎng)學(xué)生的核心素養(yǎng).

總之，銳角三角函數(shù)是初中數(shù)學(xué)的重點(diǎn)知識(shí)，在教學(xué)中需要對(duì)其考查方向和問題類型加以探析，引導(dǎo)學(xué)生掌握構(gòu)建模型求解三角函數(shù)的方法.同時(shí)，要充分突出銳角三角函數(shù)的工具特性，提升學(xué)生求解綜合問題的能力.