步傳宇，姜昆，任軍，王凱,3

(1.青島大學(xué) 電氣工程學(xué)院，山東 青島 266071；2.勝利油田石油開發(fā)中心有限公司，山東 東營257000；3.電動汽車智能化動力集成技術(shù)國家地方聯(lián)合工程研究中心(青島)，山東 青島 266071)

傳統(tǒng)燃油汽車為人們的日常出行帶來了巨大便利，但也加劇了化石能源的迅速消耗，其排放的尾氣中含有一氧化碳、二氧化硫和含鉛化合物等污染物，對環(huán)境與人體健康造成了危害。隨著人們環(huán)保意識的提高，以及可持續(xù)發(fā)展理念的不斷推進(jìn)，具有環(huán)保和節(jié)能優(yōu)點的新能源電動汽車日益普及。蓄電池作為電動汽車的動力來源，成為制約其發(fā)展的核心與關(guān)鍵。與鉛酸電池相比，動力鋰電池具有能量密度高、充電速度快、綠色環(huán)保和循環(huán)壽命長等優(yōu)點，受到人們的廣泛關(guān)注，在電動汽車領(lǐng)域得到了迅速發(fā)展[1-5]。

為了更加充分且安全可靠地使用動力鋰電池，實時監(jiān)測電池運行狀態(tài)的電池管理系統(tǒng)(battery manage system，BMS)必不可少。電池荷電狀態(tài)(state of charge，SOC)估計是BMS的核心功能之一，準(zhǔn)確的SOC估計有助于提高BMS的管理效率，防止因過度充放電而導(dǎo)致電池內(nèi)部結(jié)構(gòu)損壞，延長動力鋰電池的循環(huán)壽命，從而降低電動汽車成本[6-9]。然而，動力鋰電池作為具有強非線性和時變特性的復(fù)雜多元系統(tǒng)，對其進(jìn)行準(zhǔn)確的SOC估計具有一定的難度。

目前，鋰電池的SOC估計方法有很多種。安時積分法是一種經(jīng)典簡單的方法，通過對電池的工作電流和時間進(jìn)行積分來得到電池放出的電量，從而得到電池的SOC值[10]；然而安時積分法需要給出精確的SOC初值，并且隨著時間累積，電流測量誤差導(dǎo)致的估算誤差也會逐漸累積，造成后期估算失準(zhǔn)。開路電壓法同樣極為簡便，且具有較高的估算精度，其通過開路電壓(open circuit voltage，OCV)與SOC之間的函數(shù)映射關(guān)系來對SOC進(jìn)行估算[11]；然而開路電壓法需要長時間靜置電池，使電池端電壓與OCV近似相等，不適用于SOC的實時在線估計。

近年來神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)、模糊邏輯以及卡爾曼濾波類算法等新型算法受到眾多研究者的關(guān)注。神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)算法模擬腦神經(jīng)元組成自適應(yīng)非線性動態(tài)模型來估計電池的SOC值，后期運行極為方便；然而前期需要大量符合目標(biāo)電池工作特性的準(zhǔn)確數(shù)據(jù)和大量時間對模型進(jìn)行訓(xùn)練，耗時且繁瑣[12-14]。相比之下，模糊邏輯算法用于電池的SOC估算，對樣本的要求較低；但模糊規(guī)則的專家?guī)煨枰藶樵O(shè)計，無演化能力，對于模糊邏輯算法仍然需要大量的探索[15]?？柭鼮V波類算法不依賴于大量訓(xùn)練數(shù)據(jù)，同時具有較高的估計精度和良好的魯棒性，在電池SOC估計領(lǐng)域得到了廣泛研究與發(fā)展。

卡爾曼濾波類算法中，擴(kuò)展卡爾曼濾波器(extened Kalman filter，EKF)最早被發(fā)明并應(yīng)用于電池SOC估計。EKF通過一階泰勒展開將非線性方程線性化，并忽略高階項；然而應(yīng)用于電池SOC估計這一強非線性系統(tǒng)會導(dǎo)致較大的線性化誤差，降低估計精度，同時存在雅克比矩陣計算困難的問題[16-17]。相比之下，無跡卡爾曼濾波器(unscented Kalman filter，UKF)采用無損變換(unscented transformation，UT)對非線性函數(shù)的概率密度分布進(jìn)行近似，用一系列加權(quán)樣本逼近狀態(tài)的后驗概率密度，既避免了線性化過程中舍棄高階項造成的估計誤差，也避免了繁瑣的雅克比矩陣計算[18-20]。UKF的濾波精度可以達(dá)到三階，并具有更高的穩(wěn)定性；然而UKF也存在不足，當(dāng)狀態(tài)維數(shù)增高時會導(dǎo)致運算量迅速增大，造成維數(shù)災(zāi)難，同時濾波精度下降。2009年，I.Arasaratnam和S.Haykin 提出了容積卡爾曼濾波器(cubature Kalman filter，CKF)，使用球面-徑向容積準(zhǔn)則對后驗概率密度函數(shù)進(jìn)行積分，容積點的取值較UKF中Sigma點的取值更具科學(xué)性[21]。當(dāng)系統(tǒng)狀態(tài)維數(shù)超過三階時，CKF算法較UKF算法具有更高的濾波精度和穩(wěn)定性。袁鑫將平方根濾波與CKF算法相結(jié)合，組成平方根容積卡爾曼濾波器(square-root cubature Kalman filter，SRCKF)來估算電池SOC，保證了狀態(tài)協(xié)方差矩陣的非負(fù)定性，提高了濾波器的計算效率和穩(wěn)定性[22]。帥孟超將強跟蹤濾波算法與CKF算法相結(jié)合，組成強跟蹤容積卡爾曼濾波器(strong tracking cubature Kalman filter，STCKF)，提高了電池SOC估計中算法應(yīng)對電池狀態(tài)突變的能力[23]。

本文針對先驗噪聲統(tǒng)計特性未知或不準(zhǔn)確情況下SRCKF算法濾波精度降低乃至發(fā)散的問題，將改進(jìn)型Sage-Husa自適應(yīng)濾波器與SRCKF相結(jié)合，提出一種改進(jìn)型ASRCKF算法對鋰電池SOC進(jìn)行估算，使用有偏噪聲估值器對過程噪聲和觀測噪聲協(xié)方差進(jìn)行自適應(yīng)迭代更新，以提高SOC估計精度和算法的魯棒性。

1 鋰電池模型

1.1 電池模型建立

等效電路模型是BMS中應(yīng)用最為廣泛的電池模型，常見的等效電路模型有Rint模型、Thevenin模型、PNGV模型和GNL模型等。本文選取二階Thevenin等效電路模型，在電池外部動態(tài)特性和內(nèi)部微觀特性之間提供了一個很好的權(quán)衡，可以獲得準(zhǔn)確的實時模擬結(jié)果，同時具有較簡單的計算過程[24-25]。二階Thevenin等效電路模型如圖1所示。圖1中：Uoc為開路電壓；UL為電池端電壓；iL為電池的輸出電流；R0為電池的等效歐姆內(nèi)阻；R1和C1的并聯(lián)回路表征鋰離子在電極間傳輸時遇到的阻抗；R2和C2的并聯(lián)回路表征鋰離子在電極材料中擴(kuò)散遇到的阻抗。

圖1 鋰離子電池二階Thevenin等效電路模型Fig.1 The second-order Thevenin equivalent circuit model of Li-ion battery

以U1和U2分別作為2個RC回路的端電壓，則由戴維南定理可得：

Uoc=iLR0+U1+U2+UL,

(1)

(2)

(3)

Uoc是關(guān)于SOC(其值表示為SSOC)的函數(shù)。以電池的端電壓UL為觀測量，則由式(1)可得二階Thevenin等效電路模型的觀測方程為

UL,k=Uoc(SSOC,k)-U1,k-U2,k-R0iL,k+rk.

(4)

式中：rk為觀測過程產(chǎn)生的均值為0、方差為R的高斯白噪聲；用下標(biāo)k表示變量在k時刻的值，下同。

式(2)和(3)經(jīng)離散化可得：

(5)

式中ΔT為1個采樣周期的時長。

電池SSOC的函數(shù)關(guān)系通過改進(jìn)的安時積分法得到

(6)

式中：t0為放電初始時刻；t為放電開始至結(jié)束過程中任一時刻；βT為電池容量修正系數(shù)；C0為電池單次循環(huán)的最大可用容量；η為庫倫效率。將式(6)離散化可得

(7)

式中QN為電池額定容量。

將SSOC和2個RC回路的端電壓U1和U2作為系統(tǒng)的狀態(tài)變量，即x=[SSOCU1U2]T，則二階Thevenin等效電路模型的狀態(tài)方程為

(8)

式中wk-1為系統(tǒng)過程產(chǎn)生的均值為0、方差為Q的高斯白噪聲，與觀測噪聲互不相關(guān)。

1.2 電池模型參數(shù)辨識

本文選用TESSON18650型鋰電池為實驗對象，其額定容量為2.2 Ah，額定電壓為3.7 V，SSOC為100%。通過放電電流為2.2 A的間歇恒流脈沖放電實驗，對電池模型進(jìn)行參數(shù)辨識，單個放電周期為730 s，占空比為24%，每個周期SSOC下降約5%，總測試時長為14 300 s。端電壓恢復(fù)穩(wěn)定時進(jìn)行記錄，此時端電壓約等于電池電動勢。脈沖放電測試曲線如圖2所示。

圖2 鋰離子電池脈沖放電測試Fig.2 Pulse discharging test of Li-ion battery

對于記錄的穩(wěn)定后的端電壓與SSOC，使用MATLAB進(jìn)行七階多項式擬合，可得擬合式(9)，擬合結(jié)果如圖3所示。

圖3 OCV與SOC關(guān)系曲線Fig.3 Relationship curves of OCV and SOC

1.28SSOC+3.42.

(9)

對各電阻電容的參數(shù)辨識，選取SSOC為90%時的端電壓曲線進(jìn)行說明，如圖4所示。

圖4 SSOC為90%時端電壓曲線Fig.4 Terminal voltage curve as SSOC=90%

圖4中約900 s處時放電停止，電壓瞬間產(chǎn)生U0段的回升變化，是由歐姆內(nèi)阻R0引起的。根據(jù)歐姆定律可求得

R0=U0/iL.

(10)

約900～1 470 s期間緩慢變化的電壓U12段是由2組并聯(lián)RC回路引起的，在此過程中，端電壓的輸出方程為

UL=Uoc-R0iL-R1iL(1-e-t/τ1)-R2iL(1-e-t/τ2).

(11)

式中時間常數(shù)τ1=R1C1，τ2=R2C2，且τ1<τ2。

使用指數(shù)函數(shù)擬合求取該時刻下SSOC對應(yīng)的各電阻電容參數(shù)值，選用公式為

U=k0+k1e-t/τ1+k2e-t/τ2.

(12)

式中k0對應(yīng)穩(wěn)定后的開路電壓Uoc，k1對應(yīng)式(11)中的-R1iL，k2對應(yīng)式(11)中的-R2iL，則R1、C1和R2、C2求取如下：

(13)

將各SSOC對應(yīng)的R0、R1、C1、R2和C2參數(shù)辨識完成后，同樣使用MATLAB擬合出各個參數(shù)關(guān)于SOC的動態(tài)曲線，為改進(jìn)型ASRCKF算法提供較為準(zhǔn)確的電阻電容數(shù)據(jù)。

1.3 電池模型驗證

對于辨識完成的電池電阻電容參數(shù)，采用恒流放電工況對參數(shù)辨識的精度進(jìn)行驗證。恒定電流設(shè)定為2.2 A，實測電壓與仿真電壓的波形曲線及電壓誤差如圖5所示。

由圖5可知，電池開始放電時，其內(nèi)部電化學(xué)反應(yīng)的不穩(wěn)定性導(dǎo)致初始時刻的電壓誤差較大。隨著放電過程逐漸穩(wěn)定，電壓絕對誤差維持在0.02 V以內(nèi)，滿足模型需要，驗證了參數(shù)辨識結(jié)果的可靠性。

圖5 電壓波形及電壓絕對誤差曲線Fig.5 Voltage waveform and voltage absolute error curve

2 改進(jìn)型ASRCKF算法

2.1 平方根容積卡爾曼濾波

SRCKF算法通過QR分解，采用狀態(tài)協(xié)方差矩陣的平方根代替原協(xié)方差矩陣進(jìn)行運算更新，避免了CKF算法運行過程中協(xié)方差矩陣cholesky分解不正定的情況，提高了算法的濾波精度與數(shù)值穩(wěn)定性。SRCKF算法的具體步驟如下。

步驟1，將狀態(tài)變量x0及其協(xié)方差矩陣P0的平方根S0初始化：

(14)

式中：E為求取數(shù)學(xué)期望函數(shù)；Dchol為cholesky分解函數(shù)。

步驟2，計算k-1時刻容積點：

(15)

(16)

式中：n為狀態(tài)向量維度；m為容積點個數(shù)，是狀態(tài)向量維度n的2倍；I為單位矩陣；用下標(biāo)i表示矩陣的第i列，下同。

步驟3，計算狀態(tài)方程傳播容積點：

xk/k-1,i=f(xk-1,i,uk-1).

(17)

式中f為狀態(tài)方程，用下標(biāo)k/k-1表示變量在k-1時刻和k時刻的中間估計值，下同。

步驟4，計算狀態(tài)量預(yù)測值和協(xié)方差平方根預(yù)測值：

(18)

式中：Q為系統(tǒng)噪聲協(xié)方差；SQ為系統(tǒng)噪聲協(xié)方差平方根；γk/k-1為臨時變量；DTria(·)為QR分解。

步驟5，更新容積點：

(19)

步驟6，根據(jù)測量方程傳播容積點，g為測量方程：

(20)

式中yk/k-1,i為測量預(yù)測值。

步驟7，對測量預(yù)測值加權(quán)求和，并求測量誤差協(xié)方差平方根以及互協(xié)方差：

(21)

步驟8，計算卡爾曼增益，更新最優(yōu)狀態(tài)值與狀態(tài)協(xié)方差平方根：

(22)

式中：K為卡爾曼增益陣；yk為k時刻的實際觀測值。

在調(diào)整值盡量向0逼近以后，我們將用一個最大的范圍窗口τi涵蓋所有的調(diào)整值，圖6描述了這個過程，范圍窗口在x軸上滑動.因為y軸代表了在所有采樣中相應(yīng)的調(diào)整值，范圍窗口涵蓋的調(diào)整值就是在這個窗口內(nèi)所有調(diào)整值的總和.為了提高芯片的良率，我們選用可以涵蓋最大數(shù)量調(diào)整值的范圍窗口.這樣的話，調(diào)整值范圍的下限由最小值決定.

2.2 改進(jìn)型Sage-Husa自適應(yīng)濾波

使用不精確的先驗噪聲統(tǒng)計設(shè)計卡爾曼濾波器，容易導(dǎo)致狀態(tài)估計誤差增大，乃至濾波發(fā)散。為了解決這一問題，產(chǎn)生了應(yīng)用于噪聲統(tǒng)計估計的自適應(yīng)濾波器。其中，Sage和Husa提出的極大后驗估值器應(yīng)用較為廣泛，適用于一般的非線性系統(tǒng)，計算簡單，極具實用性。趙琳在此基礎(chǔ)上使用漸消記憶指數(shù)加權(quán)的方法，推導(dǎo)出了次優(yōu)無偏時變噪聲統(tǒng)計估計器的一般形式[26-28]，推廣至平方根容積卡爾曼濾波器，計算公式如下：

(23)

(24)

(25)

(26)

由于式(24)和(26)中存在減法運算，容易使得過程噪聲和觀測噪聲協(xié)方差矩陣失去半正定性或正定性，導(dǎo)致濾波發(fā)散[29]。因此，本文采用有偏噪聲估值器代替原無偏噪聲估值器進(jìn)行運算，公式(24)和(26)變?yōu)椋?/p>

(27)

(28)

圖6 改進(jìn)型ASRCKF算法流程Fig.6 Flow chart of improved ASRUKF algorithm

3 仿真實驗

利用Simulink仿真平臺，對搭建好的電池模型在恒流放電工況和混合動力脈沖能力特性(hybrid pulse power characteristic，HPPC)循環(huán)工況下進(jìn)行仿真實驗，使用改進(jìn)型ASRCKF算法和SRCKF算法分別估計電池SOC并對比結(jié)果，以驗證算法的有效性，其中，SOC參考值在放電實驗時由安時積分法得到。

3.1 估計精度對比實驗

首先在恒流放電工況下進(jìn)行算法對比分析，仿真實驗結(jié)果如圖7所示，2種算法的誤差特征值對比見表1。

表1 恒流工況下誤差特征值對比Tab.1 Comparison of error eigenvalues in constant current condition

圖7 恒流工況下SOC預(yù)測值及預(yù)測絕對誤差Fig.7 SOC prediction values and absolute values of prediction error in constant current condition

由仿真實驗結(jié)果可知，在恒流工況下，2種算法都具有較高的濾波精度，最大誤差均不超過1.4%。

這是因為恒流工況下電流穩(wěn)定，電池模型過程噪音較小。然而，電動汽車動力鋰電池的實際運行情況較為復(fù)雜，電流變化往往較為劇烈；因此，接下來在HPPC循環(huán)工況下進(jìn)行估計精度對比，共設(shè)定12個循環(huán)周期。在HPPC循環(huán)工況中，單個周期的電流情況如圖8所示，HPPC循環(huán)工況下的仿真實驗結(jié)果如圖9所示，2種算法的誤差特征值對比見表2。

圖8 HPPC工況單個周期的電流情況Fig.8 Current situation of single cycle in HPPC

圖9 HPPC工況下SOC預(yù)測值及預(yù)測絕對誤差Fig.9 SOC prediction values and absolute values of prediction error in HPPC condition

表2 HPPC工況下誤差特征值對比Tab.2 Comparison of error eigenvalues in HPPC condition

由仿真實驗結(jié)果可知，在電流變化劇烈的HPPC循環(huán)工況下，由于電池模型噪聲增大，導(dǎo)致SRCKF算法的估計精度下降，最大估計誤差超過了2%；而改進(jìn)型ASRCKF算法的估計精度變化較小，最大估計誤差仍然不超過1.4%。這是由于有偏噪聲估值器對過程噪聲進(jìn)行了自適應(yīng)校正，使得改進(jìn)型ASRCKF算法具有更高的估計精度和魯棒性。

3.2 收斂性對比實驗

在電動汽車動力鋰電池的真實運行中，給出的SOC預(yù)測初值與SOC真實值可能存在偏差，此時算法的收斂速度快慢是影響SOC估計的重要指標(biāo)。算法收斂速度越快，收斂后誤差越小，算法性能越優(yōu)異。本文在較為復(fù)雜的HPPC循環(huán)工況下對算法的收斂性進(jìn)行驗證，將2種算法的SOC預(yù)測初值均設(shè)定為0.7，SOC真實值為1，即具有30%的較大初始誤差。仿真實驗結(jié)果如圖10所示，收斂性評價指標(biāo)見表3。

圖10 SOC預(yù)測值及收斂后預(yù)測絕對誤差Fig.10 SOC prediction values and absolute values of prediction error after convergence

表3 收斂性評價指標(biāo)Tab.3 Convergence evaluation index

由仿真實驗結(jié)果可知，改進(jìn)型ASRCKF算法在約165 s時完成收斂，而SRCKF算法在約309 s時完成收斂，改進(jìn)型ASRCKF算法的收斂速度提高近1倍。同時注意到，2種算法在SOC預(yù)測初值存在偏差時，收斂后的估計精度與初值無偏差條件下的估計精度均無明顯差異。這是由于卡爾曼濾波器是一種最優(yōu)化自回歸數(shù)據(jù)處理器，初始誤差對于完成收斂后的狀態(tài)預(yù)測無影響[30]。

以上仿真實驗對比表明，改進(jìn)型ASRCKF算法通過有偏噪聲估計器對電池噪聲進(jìn)行自適應(yīng)校正，與SRCKF算法相比具有更高的估計精度和魯棒性，同時具有更好的收斂性。

4 實驗測試

TESSON18650型鋰電池的測試平臺由TR9600可編程直流電子負(fù)載、計算機和dSPACE MicrolabBox實驗箱組成，測試平臺如圖11所示。

圖11 鋰離子電池測試平臺Fig.11 Testplatform of Li-ion battery

在設(shè)定好的動態(tài)放電工況下進(jìn)行算法對比分析，放電電流為在0.5 A與1 A間切換的方波電流，周期為2 s，占空比為50%。實驗測試結(jié)果如圖12所示，2種算法的誤差特征值對比見表4。

表4 動態(tài)放電實驗下誤差特征值對比Tab.4 Comparison of error eigenvalues in dynamic discharge experiment

圖12 SOC預(yù)測值及預(yù)測絕對誤差Fig.12 SOC prediction values and absolute values of prediction error

動態(tài)實驗放電結(jié)果表明：在實際應(yīng)用中，改進(jìn)型ASRCKF算法相比于SRCKF算法具有更高的濾波精度，進(jìn)一步驗證了算法的實用性。

5 結(jié)論

本文將改進(jìn)型Sage-Husa自適應(yīng)濾波算法與SRCKF算法相結(jié)合，提出了一種改進(jìn)型ASRCKF算法，采用有偏噪聲估值器對系統(tǒng)噪聲和觀測噪聲協(xié)方差進(jìn)行自適應(yīng)迭代更新，保證了協(xié)方差矩陣的非負(fù)定性。根據(jù)仿真實驗結(jié)果對比可以得出以下結(jié)論：

a)在不同工況下估計鋰電池的SOC時，改進(jìn)型ASRCKF算法估計誤差均保持在1.4%以內(nèi)，證明該算法具有較高的濾波精度；

b)在更貼近電動汽車動力鋰電池實際運行情況的復(fù)雜工況下，改進(jìn)型ASRCKF算法的濾波精度明顯高于SRCKF算法，說明該算法具有更強的魯棒性；

c)當(dāng)SOC的預(yù)測初始值存在較大誤差時，改進(jìn)型ASRCKF算法具有更快的收斂速度，驗證了算法具有良好的收斂性。

綜合可得，改進(jìn)型ASRCKF算法具有估計精度高、魯棒性強和收斂性佳等優(yōu)點，應(yīng)用于電動汽車動力鋰電池的SOC估算具有較強的實用性。