任書慧 孟廣偉 王吉賢 周立明?

摘? ?要：為提高磁電彈結(jié)構(gòu)分析的精度，提出穩(wěn)定Node-based光滑徑向基點(diǎn)插值法（SNS-RPIM）. 基于傳統(tǒng)Node-based光滑徑向基點(diǎn)插值法（NS-RPIM），引入與場變量梯度方差有關(guān)的穩(wěn)定項(xiàng)，消除不確定參數(shù)，推導(dǎo)了多場耦合問題的SNS-RPIM方程，求解了磁電彈結(jié)構(gòu)靜力響應(yīng)問題，并與有限元法計(jì)算結(jié)果進(jìn)行比較. 數(shù)值算例結(jié)果表明，SNS-RPIM能夠得到更加接近真實(shí)解的結(jié)果，有效解決了有限元系統(tǒng)剛度偏硬的問題;在精度與收斂性方面，SNS-RPIM比有限元法表現(xiàn)得更加出色，從而為磁電彈材料的進(jìn)一步應(yīng)用提供了有效的分析方法.

關(guān)鍵詞：穩(wěn)定光滑徑向基點(diǎn)插值法;磁電彈材料;復(fù)合材料;梯度光滑技術(shù);數(shù)值方法

中圖分類號(hào)：TB115? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

Stabilized Node-based Smoothed Radial Point Interpolation Method

for Multi-field Coupling Analysis of Magneto-electro-elastic Structures

REN Shuhui，MENG Guangwei，WANG Jixian，ZHOU Liming?

（School of Mechanical and Aerospace Engineering，Jilin University，Changchun 130025，China）

Abstract： In order to improve the accuracy in analyzing magneto-electro-elastic （MEE） structures， a stabilized node-based smoothed radial point interpolation method （SNS-RPIM） was proposed. Based on the traditional node-based smoothed radial point interpolation method， the stable item related to the gradient variance of the field variables was introduced to eliminate the uncertain parameter. The SNS-RPIM equations for multi-field coupling problems were derived， and the static responses of MEE structures were also solved. The results of SNS-RPIM were compared with those of finite element method. Numerical examples showed that SNS-RPIM can provide the result closer to the real solution and effectively solve the problem of 'overly-stiff' of finite element method. SNS-RPIM is better than FEM in terms of accuracy and convergence， which provides an effective analysis method for further application of MEE materials.

Key words： stabilized smoothed radial point interpolation method; magneto-electro-elastic（MEE） material;composite material;gradient smoothing technique;numerical methods

磁電彈材料是一種由壓電相（BaTiO3）與壓磁相（CoFe2O4）復(fù)合而成的智能材料，能夠?qū)C(jī)械能、電能與磁能相互轉(zhuǎn)化[1-2]. 磁電彈材料因其具有力電、力磁、磁電效應(yīng)而被廣泛應(yīng)用于智能結(jié)構(gòu)中，引起了國內(nèi)外學(xué)者的廣泛關(guān)注[3-4]. Jiang等[5]推導(dǎo)了在均布載荷作用下磁電彈懸臂梁響應(yīng)的解析解，為未來磁電彈結(jié)構(gòu)的設(shè)計(jì)與分析奠定了基礎(chǔ). Wang等[6]求解了三維磁電彈圓柱板的自由振動(dòng)問題，得出了頻率方程. Ebrahimi等[7-8]利用Hamilton原理推導(dǎo)了磁電彈納米板的非局部控制方程，研究了納米板的屈曲行為.

由于傳統(tǒng)有限元法（FEM）在求解中存在“過剛”、體積自鎖等問題，導(dǎo)致結(jié)果不準(zhǔn)確. 近年來，Liu等[9]提出了廣義梯度光滑技術(shù)，并基于該方法構(gòu)造出了一系列光滑有限元法（S-FEM）[10]和光滑徑向基點(diǎn)插值法（S-RPIM）[11]. 何智成等[12-13]和陳澤聰?shù)萚14]將光滑有限元應(yīng)用到聲學(xué)模擬中. 周立明等[15-16]將光滑有限元擴(kuò)展到了求解裂紋問題和多場耦合問題中，驗(yàn)證了光滑方法的準(zhǔn)確性. 在S-RPIM中，Node-based光滑徑向基點(diǎn)插值法（NS-RPIM）能夠消除FEM中“過剛”的問題，為所求解問題提供能量范數(shù)的上界解[9].該方法使用徑向基函數(shù)對(duì)場函數(shù)進(jìn)行近似，其形函數(shù)具有Kronecker Delta函數(shù)屬性，邊界條件可以如FEM一樣直接施加. 基于伽遼金弱形式與節(jié)點(diǎn)積分技術(shù)，推導(dǎo)出系統(tǒng)方程. 基于這些優(yōu)點(diǎn)，NS-RPIM在求解靜力學(xué)以及多場耦合問題中得到了廣泛的應(yīng)用. Li等[17]采用NS-RPIM分析了二維、三維固體力學(xué)問題，驗(yàn)證了此算法的準(zhǔn)確性與優(yōu)越性. Zhou等[18]將NS-RPIM引入多場耦合問題的研究中，結(jié)果表明，NS-RPIM對(duì)于求解磁電彈結(jié)構(gòu)的響應(yīng)問題是有效且可靠的.

盡管NS-RPIM在求解許多問題時(shí)表現(xiàn)良好，但研究表明[11，19]，由于NS-RPIM的模型過于柔軟，會(huì)令其在求解動(dòng)態(tài)問題時(shí)產(chǎn)生偽非零能量模式，導(dǎo)致算法存在時(shí)間不穩(wěn)定性. 為增強(qiáng)系統(tǒng)剛度，解決時(shí)間不穩(wěn)定性，Wang等[20]提出了一種穩(wěn)定算法，解決了Node-based光滑有限元方法中的缺陷并且減少了求解聲學(xué)問題中的色散誤差. Feng等[21]提出了一種穩(wěn)定的節(jié)點(diǎn)積分方法，分析了電磁問題. Yang等[22]解決了Node-based光滑有限元方法中的時(shí)間不穩(wěn)定性，更準(zhǔn)確的求解了金屬成型問題.

本文提出了穩(wěn)定NS-RPIM （SNS-RPIM），基于傳統(tǒng)NS-RPIM方法，引入與場變量梯度方差相關(guān)的穩(wěn)定項(xiàng)，消除了不確定參數(shù)，推導(dǎo)了求解多場耦合問題的SNS-RPIM方程，分析了磁電彈結(jié)構(gòu)在靜力作用下的響應(yīng)，并將所得結(jié)果與有限元法計(jì)算結(jié)果進(jìn)行了對(duì)比.

1? ?基本方程

磁電彈材料平衡方程如下：

σij，j = 0，（i，j = 1，2，3）? ? ? （1）

Dl，l = 0，（l = 1，2，3）? ? ? （2）

Bl，l = 0，（l = 1，2，3）? ? ? （3）

式中：σij、Dl、Bl分別為應(yīng)力分量、電位移分量、磁感應(yīng)強(qiáng)度分量.

磁電彈材料的幾何方程如下：

Sij = （ui，j + uj，i），（i，j = 1，2，3）? ? ? （4）

Ek = -Φ，k，（k = 1，2，3）? ? ? （5）

Hk = -Ψ，k，（k = 1，2，3）? ? ? （6）

式中：Sij為應(yīng)變分量;Ek為電場強(qiáng)度分量;Hk為磁場強(qiáng)度分量;Φ與Ψ為電勢與磁勢.

磁電彈材料的本構(gòu)方程如下：

σi = Cij Sj - eki Ek - qki Hk? ? ? ? （7）

Dl = elj Sj + εlk Ek + mlk Hk? ? ? ? （8）

Bl = qlj Sj + mlk Ek + μlk Hk? ? ? ? （9）

式中：Cij、eki、qki 分別為彈性常數(shù)、壓電系數(shù)與壓磁系數(shù);εlk、mlk、 μlk 分別為介電常數(shù)、磁電耦合系數(shù)與磁導(dǎo)率. i，j = 1，2，… ，6; l = 1，2，3; k = 1，2，3.

邊界條件為：

ui = [u][～]i，在Γd上? ? ? ?（10）

σij nj = [β][～]i，在Γs上，Γ = Γd ∪Γs? ? （11）

Φ = [Φ][～]，在Γe上? ? ? ?（12）

Dl nl = [Q][～]i，在Γt上，Γ = Γe ∪Γt? ? （13）

Ψ = [Ψ][～]，在Γm上? ? ? ?（14）

Bl nl = [R][～]，在Γi上，Γ = Γm ∪Γi? ? （15）

式中：Γd與Γs分別為位移邊界與力邊界;Γe與Γt分別為電勢邊界與電位移邊界;Γm與Γi分別為磁勢邊界與磁通量邊界;[u][～]為Γd上給定的位移;[β][～]為Γe上給定的面力;[Φ][～]為Γe上給定的電勢;[Q][～]為Γt上給定的電位移;[Ψ][～]為Γm上給定的磁勢;[R][～]為Γi上給定的磁通量.

2? ?穩(wěn)定Node-based光滑徑向基點(diǎn)插值法

2.1? ?Cell-based T2L方案

Cell-based T2L方案[9]為計(jì)算xQ的形函數(shù)值選擇合適的局部支持節(jié)點(diǎn). 該方案選擇xQ周圍的兩層節(jié)點(diǎn)作為局部支持節(jié)點(diǎn). 第一層節(jié)點(diǎn)為xQ所在三角形單元的頂點(diǎn);第二層節(jié)點(diǎn)為與第一層節(jié)點(diǎn)直接連接的那些節(jié)點(diǎn)，如圖1所示.

2.2? ?Node-based光滑徑向基點(diǎn)插值法

二維問題域Ω被離散為ne個(gè)三角形單元，包含nn個(gè)節(jié)點(diǎn). 通過將節(jié)點(diǎn)xi = [xi，zi]T周圍三角形的邊中點(diǎn)與質(zhì)心依次相連，構(gòu)造以xi為中心的光滑域Ωi，如圖2所示.

問題域內(nèi)任一點(diǎn)xi處的近似位移u、近似電勢Φ與近似磁勢Ψ可表示為：

式中：Nu（xi）、NΦ（xi）與NΨ（xi）分別為NS-RPIM的位移形函數(shù)、電勢形函數(shù)與磁勢形函數(shù);ns為局部支持節(jié)點(diǎn)的數(shù)量;u、Φ和Ψ分別表示位移向量、電勢向量和磁勢向量.

通過引入梯度光滑技術(shù)，根據(jù)式（16）～（18），節(jié)點(diǎn)xi處的光滑應(yīng)變S、光滑電場強(qiáng)度E與光滑磁場強(qiáng)度H分別為：

式中：Bu（xi）、BΦ（xi）與BΨ（xi）分別為節(jié)點(diǎn)光滑應(yīng)變矩陣、節(jié)點(diǎn)光滑電場強(qiáng)度矩陣和節(jié)點(diǎn)光滑磁場強(qiáng)度矩陣，其表達(dá)式為：

式中：nG為高斯點(diǎn)的數(shù)量;nseg為光滑域邊界的數(shù)量; n t

l，p為光滑域第p段邊界中單位法向量矩陣的分量; N t

l，p，q為第p段邊界上第q個(gè)高斯點(diǎn)處的形函數(shù)值; WG

q為第q個(gè)高斯點(diǎn)處的權(quán)值;Ai為光滑域的面積.

二維磁電彈的NS-RPIM靜力學(xué)方程可表示為：

式中：等效力向量Feq、等效剛度矩陣Keq以及電勢Φ和磁勢Ψ的求解公式見參考文獻(xiàn)[18].

2.3? ?穩(wěn)定Node-based光滑徑向基點(diǎn)插值法

為了在提高NS-RPIM計(jì)算精度的同時(shí)消除時(shí)間不穩(wěn)定性，在該算法中引入與場變量梯度方差相關(guān)的穩(wěn)定項(xiàng)來提高模型的剛度，令其更接近真實(shí)情況.

以二維問題為例，如圖3所示，光滑域Ωi被近似為具有相同面積的圓，將近似域進(jìn)一步劃分為4個(gè)子光滑域. 局部坐標(biāo)系與光滑域的交點(diǎn)Gk

i（k = 1，2，3，4; i = 1，2，3，…，nn）作為補(bǔ)充積分點(diǎn)，nn為結(jié)構(gòu)包含節(jié)點(diǎn)數(shù). 積分點(diǎn)與節(jié)點(diǎn)xi之間的距離lc相等，大小為近似域的半徑. lc的計(jì)算公式為：

假設(shè)場變量的梯度在光滑域Ωi中連續(xù)且一階可導(dǎo)，其在4個(gè)積分點(diǎn)處的泰勒展開式分別為：

3? ?數(shù)值算例

3.1? ?算例1

磁電彈材料（BaTiO3-CoFe2O4）板在邊AD受100 N/m2的均布載荷作用，為平面應(yīng)變問題，如圖4所示，邊長a = 2.0 m. 表1給出了磁電彈板的材料參數(shù)，質(zhì)量密度為5 730 kg/m3，邊界條件為：ux = 0（邊CD），uz = Ф = Ψ = 0（邊BC），每個(gè)邊界的表面電荷與表面磁感應(yīng)強(qiáng)度均為零.

采用不同節(jié)點(diǎn)數(shù)量（121、441和1 681個(gè)）求解磁電彈板的廣義位移（位移ux、uz，電勢Φ，磁勢Ψ），驗(yàn)證SNS-RPIM的正確性以及收斂性. 表2給出了文獻(xiàn)[23]中A點(diǎn)處位移、電勢與磁勢的解析解，以及SNS-RPIM在不同節(jié)點(diǎn)數(shù)量下的計(jì)算結(jié)果. 可見，SNS-RPIM的結(jié)果與解析解誤差很小，隨著節(jié)點(diǎn)數(shù)量的增加，誤差減小，驗(yàn)證了SNS-RPIM求解磁電彈結(jié)構(gòu)多場耦合問題的正確性、有效性.

3.2? ?算例2

磁電彈材料懸臂梁如圖5所示，長度L=0.030 m，寬度h=0.002 m，在B點(diǎn)承受200 N的靜力，為平面應(yīng)力問題. 懸臂梁在固定端處滿足ux=uz=Φ=Ψ =0. 懸臂梁材料屬性見表1，質(zhì)量密度為5 730 kg/m3.

在證明了SNS-RPIM正確性的基礎(chǔ)上，對(duì)磁電彈懸臂梁在靜力作用下的響應(yīng)進(jìn)行研究. 圖6給出了邊AB處的廣義位移，SNS-RPIM與FEM采用三角形單元，節(jié)點(diǎn)數(shù)量為305個(gè). 其中，參考解為FEM采用180×12個(gè)四邊形單元的結(jié)果. 圖7給出了靜力作用下懸臂梁的云圖. 由結(jié)果可知，在所用節(jié)點(diǎn)數(shù)量相同的情況下，SNS-RPIM的計(jì)算結(jié)果比FEM的結(jié)果更加接近參考解. 算例結(jié)果驗(yàn)證了SNS-RPIM的高精度、正確性和有效性.

在節(jié)點(diǎn)數(shù)為305? 、637和1 089個(gè)時(shí)，對(duì)比了SNS-RPIM與FEM的能量誤差[24]，如圖8所示. 可知在節(jié)點(diǎn)數(shù)相同的情況下，SNS-RPIM的能量誤差遠(yuǎn)遠(yuǎn)低于FEM，并且隨著所用節(jié)點(diǎn)數(shù)的增加，能量誤差逐漸降低. 從而進(jìn)一步驗(yàn)證了SNS-RPIM的精確性，高收斂性與有效性.

4? ?結(jié)? ?論

本文基于場變量梯度方差構(gòu)造了穩(wěn)定項(xiàng)，并將其引入了傳統(tǒng)Node-based光滑徑向基點(diǎn)插值法，提出了穩(wěn)定Node-based光滑徑向基點(diǎn)插值法. 隨后求解了磁電彈結(jié)構(gòu)在靜力作用下的響應(yīng)，得出以下結(jié)論：

1）將SNS-RPIM的結(jié)果與解析解進(jìn)行對(duì)比，

二者吻合良好，說明了本方法的正確性及有效性.

2）計(jì)算了SNS-RPIM與FEM在不同節(jié)點(diǎn)數(shù)量

下的能量誤差，結(jié)果顯示SNS-RPIM具有良好的收斂性與準(zhǔn)確性.

3）SNS-RPIM利用較少的節(jié)點(diǎn)能夠達(dá)到更高的精度，消除了FEM模型剛度過硬的問題.

4）通過考慮SNS-RPIM與FEM對(duì)不同模型的

求解結(jié)果，表明SNS-RPIM在求解磁電彈結(jié)構(gòu)多場耦合問題時(shí)的可靠性和適用性.

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