劉直玉，楊曉紅，任建新

（沈陽工程學院a.電力學院；b.基礎教學部，遼寧 沈陽 110136）

轉(zhuǎn)動慣量是描述剛體轉(zhuǎn)動過程中慣性大小的物理量，它與剛體質(zhì)量、密度、形狀大小及轉(zhuǎn)軸位置有關，正確測定剛體的轉(zhuǎn)動慣量在工程技術中有著十分重要的意義。用三線擺測量剛體的轉(zhuǎn)動慣量是高校理工科大學物理實驗教學大綱中一個重要的基本實驗項目［1-2］，因受辦學經(jīng)費短缺制約，目前很多院校仍采用IM-1 新型轉(zhuǎn)動慣量實驗儀（上海大學研制）、FD-IM-I 型、FD-IM-Ⅱ型轉(zhuǎn)動慣量測量儀（上海復旦大學研制）。該類儀器的最大缺陷是沒有安裝角度控制裝置，學生在實驗時很難準確控制轉(zhuǎn)盤轉(zhuǎn)動角度的大小，通常轉(zhuǎn)動角度在20°左右，不能滿足轉(zhuǎn)角小于5°的關鍵實驗條件，導致實驗誤差增加。為了提高實驗精度，減小實驗誤差，為上述儀器設計一個角度控制裝置十分必要［3］。

1 三線擺角度控制裝置設計與制作

將IM-1型轉(zhuǎn)動慣量實驗儀的啟動盤與橫梁支架拆卸開，將盤上面、側(cè)面共6 個小螺母取下保存好備用。在啟動盤小螺母下端圓周處均勻刻上72條刻度線，其分度值為5°，注意切勿破壞螺孔，如圖1所示。

圖1 IM-1型轉(zhuǎn)動慣量實驗儀

制作一個Γ 型指針［4］，在指針水平面處開一個圓孔，用圓墊固定指針，并使指針圓孔直徑、圓墊孔直徑與中軸直徑相等，如圖2所示。

將指針、圓墊一起套在中軸上，并固定在大螺母與橫梁支架之間。讓指針與啟動盤盡量靠近但不能接觸，以免產(chǎn)生摩擦阻力，影響啟動盤轉(zhuǎn)動。調(diào)整指針與刻度線相互平行，當轉(zhuǎn)動啟動盤時可觀察到指針經(jīng)過刻度的角度數(shù)值，即完成角度控制裝置的安裝，如圖3 所示。學生在實驗時可準確控制轉(zhuǎn)角小于5°，達到實驗條件的基本要求。

圖2 指針、圓墊、中軸

圖3 組裝后角度控制裝置

2 實驗及結(jié)果分析

2.1 三線擺測量轉(zhuǎn)動慣量實驗原理

逆時針扭轉(zhuǎn)啟動盤，使其轉(zhuǎn)角θ≤5°，接著順時針旋回相同角度，使啟動盤回到初始位置，松手后懸盤自由擺動起來，如圖4 所示。當懸盤旋轉(zhuǎn)角θ≤5°時，其擺動可近似看做簡諧振動。

圖4 實驗原理

懸盤機械能守恒方程如下：

式中，m0為懸盤質(zhì)量；g為當?shù)刂亓铀俣?；h為懸盤沿兩盤中心軸上升高度；J為懸盤轉(zhuǎn)動慣量；ω0為懸盤擺動到平衡位置時角速度。

懸盤擺動角位移與時間關系如下：

式中，θ0為懸盤最大角位移；T0為懸盤擺動周期。

懸盤擺動角速度與時間關系如下：

將（7）式代入（4）中得，懸盤轉(zhuǎn)動慣量公式為

2.2 實驗數(shù)據(jù)測量

2.2.1 不同轉(zhuǎn)角的懸盤轉(zhuǎn)動慣量測量

懸盤和啟動盤的相關幾何參數(shù)如表1所示。

表1 懸盤、啟動盤幾何參數(shù)

根據(jù)J=m0D2計算出懸盤轉(zhuǎn)動慣量理論值為1.261×10-3kg·m2。根據(jù)三角形幾何關系計算出=b=3.81 cm。將已測得的物理量mo、R、r、H、T0及當?shù)氐闹亓铀俣萭=9.786 1 m/s2帶入懸盤轉(zhuǎn)動慣量J=相對誤差Er=×100%中，分別計算出懸盤在不同角度下的轉(zhuǎn)動慣量及相對誤差實驗數(shù)據(jù)，如表2 所示。根據(jù)表2 實驗數(shù)據(jù)作出懸盤轉(zhuǎn)動慣量的相對誤差與懸盤轉(zhuǎn)角之間Er-θ關系曲線，如圖5所示。

圖5 懸盤轉(zhuǎn)動慣量相對誤差Er與懸盤轉(zhuǎn)角θ之間的關系曲線

表2 不同轉(zhuǎn)角的懸盤轉(zhuǎn)動周期、轉(zhuǎn)動慣量、相對誤差實驗數(shù)據(jù)

2.2.2 不同擺長的懸盤轉(zhuǎn)動慣量測量

在擺角均為5°且其他實驗條件不變情況下，改變擺長l大小測得懸盤的轉(zhuǎn)動慣量、相對誤差實驗數(shù)據(jù)，如表3所示。

表3 不同擺長的懸盤轉(zhuǎn)動慣量、相對誤差實驗數(shù)據(jù)

2.3 實驗結(jié)果及誤差分析

2.3.1 三線擺扭轉(zhuǎn)角度帶來的誤差

三線擺振動原理表明：當扭擺轉(zhuǎn)角θ≤5°時，才能保證三線擺振動系統(tǒng)為線性［6］，即該振動系統(tǒng)做簡諧振動機械能守恒，進而推出轉(zhuǎn)動慣量實驗公式（8）。所以扭擺轉(zhuǎn)角在實驗中起關鍵作用，對實驗精度影響較大。由圖5 可見，在擺角θ≤5°時，轉(zhuǎn)動慣量測量值較精確，相對誤差大約在0.3%以下；當扭擺角度在10°～30°時，轉(zhuǎn)動慣量相對誤差均勻增加；當擺角大于35°時，相對誤差迅速增大。用沒有角度控制裝置的實驗儀進行實驗時，其相對誤差大約在5%～10%范圍內(nèi)，若不考慮其他誤差，學生在實驗時會盲目地將轉(zhuǎn)角轉(zhuǎn)到20°～40°之間。所以，給三線擺安裝一個角度控制裝置十分必要，可以有效避免學生在扭轉(zhuǎn)角度時的盲目性，減少實驗誤差，提高實驗精準度。

2.3.2 三線擺擺長l帶來的誤差

表3 實驗數(shù)據(jù)表明：三線擺長度對轉(zhuǎn)動慣量精度也有很大影響。就上述研究對象而言，擺長l≤35 cm 時相對誤差迅速增大；而擺角大于l≥45 cm 時，誤差較少；擺長接近懸盤尺寸時（本實驗中懸盤半徑R'=7.391 cm），相對誤差較大。根據(jù)阻尼理論，三線擺在振動時受空氣阻尼作用，這個阻尼與系統(tǒng)形狀有關，并與振動物體速度的平方成正比［7］。短擺的振動頻率高、角速度大、阻尼大，實驗誤差就大；反之，長擺的振動頻率低、角速度小、阻尼小，實驗誤差就小。所以，在實驗中三線擺擺長應遠大于懸盤半徑，即l＞＞R'。

2.3.3 懸盤懸點之間距離R、啟動盤懸點之間距離r、懸盤與啟動盤距離H帶來的誤差

由實驗公式（8）可知，R、r、H測量誤差也將直接影響轉(zhuǎn)動慣量測量精度。該實驗中，R、r、H只能用精度不高的米尺（精度0.1 cm）測量。實驗時如果測量不精確，也會引起較大誤差。比如：設R、r的真值分別為7.05 cm 和3.81 cm，而測量值分別為7.15 cm 和3.91 cm，則相對誤差分別是1.39%和2.61%。由此可見，對于實驗數(shù)值越小的物理量，若測量不準確，帶來的誤差就越大。

2.3.4 其他誤差

擺線材料不同，產(chǎn)生的阻尼不同，帶來的實驗誤差也不同。從理論上講，被測剛體在運動過程中必須是單一定軸轉(zhuǎn)動［8］，實驗前必須將啟動盤、懸盤調(diào)至絕對水平，并使放在懸盤上的待測物體與兩盤保持同軸，否則會使擺做非定軸轉(zhuǎn)動，產(chǎn)生誤差。此外，本實驗采用電子天平（精度0.005 g）測量懸盤質(zhì)量，用光電傳感接收裝置數(shù)字毫秒儀（精度0.001 s）測量周期，這兩個設備的精度較高，可忽略其產(chǎn)生的誤差。

3 結(jié)論

1）給IM-1、FD-IM-I、FD-IM-Ⅱ等相關型號的轉(zhuǎn)動慣量測量儀加裝一個角度控制裝置，彌補了該類儀器的最大缺陷。其設計思路新穎獨特，制作過程簡單易行，在實驗過程中起關鍵性作用，可謂“小改動、大成效”。實踐證明：學生使用改裝后的三線擺實驗儀更加得心應手，避免了在扭轉(zhuǎn)角度時的盲目性，取得十分滿意的實驗效果。

2）用三線擺方法測量剛體轉(zhuǎn)動慣量時，扭擺轉(zhuǎn)角≤5°，轉(zhuǎn)角轉(zhuǎn)到10°～30°時，相對誤差會增加10%左右。三線擺擺長應遠大于懸盤半徑，若擺長和懸盤直徑接近相等時，相對誤差也會增加10%左右。此外，應選擇阻尼較小的材料作為擺線。在實際測量時一定要保持兩盤水平，并保證兩盤和待測物體同軸。