張 偉

(江蘇海事職業(yè)技術(shù)學(xué)院，南京 211170)

一元復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則又稱鏈?zhǔn)椒▌t，不僅是因?yàn)槠潢P(guān)系圖y-u-x像一條鏈子，也不僅是因?yàn)榍髮?dǎo)法則很困難，更重要的是因?yàn)橄氲芥準(zhǔn)椒▌t就想到了繃斷的鎖鏈。通過該法則，可以掙脫求導(dǎo)問題的束縛，對(duì)很多類型的函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo)。將鏈?zhǔn)疥P(guān)系圖推廣到樹形圖，在理解多元復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則的基礎(chǔ)上找到計(jì)算其二階偏導(dǎo)數(shù)的簡便方法。

1 普通樹形圖的使用方法及實(shí)例分析

1.1 多元函數(shù)與多元函數(shù)復(fù)合的情形

定理1：若函數(shù)u=φ(x,y),v=ψ(x,y)在點(diǎn)(x,y)處具有對(duì)x及y的偏導(dǎo)數(shù)，函數(shù)z=f(u,v)在對(duì)應(yīng)點(diǎn)(u,v)處具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則復(fù)合函數(shù)z=f[φ(x,y),ψ(x,y)]在點(diǎn)(x,y)處的兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)都存在，且有：

(1)

借助于復(fù)合函數(shù)的函數(shù)結(jié)構(gòu)圖——樹形圖對(duì)復(fù)合函數(shù)求偏導(dǎo)數(shù)的過程進(jìn)行分析。

因變量z是中間變量u,v的二元函數(shù)從z出發(fā)分出兩條線，u,v都是自變量x,y的二元函數(shù)，所以再各自分出兩條線，畫樹形圖，如圖1所示。

(圖1)

引入中間變量：u=x2y，v=x-y，則z=f(u,v)，樹形圖如圖1所示，從z到x有兩條路徑：z-u-x和z-v-x，根據(jù)定理1，有：

(圖2)

于是：

1.2 其他情形

復(fù)合函數(shù)的類型很多，不再一一列舉，選擇一種自變量本身又是中間變量的情況作為代表。

例如u=φ(x,y)在點(diǎn)(x,y)處具有對(duì)x及y的偏導(dǎo)數(shù)，z=f(u,x,y)具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則復(fù)合函數(shù)z=f[φ(x,y),x,y]在點(diǎn)(x,y)處的兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)都存在。此時(shí)因變量z是中間變量u,x,y的二元函數(shù)，從z出發(fā)分出三條線，u是自變量x,y的二元函數(shù)，所以再分出兩條線，畫樹形圖如圖3所示。

(圖3)

從圖3可以看出，從z到x有兩條路徑：z-u-x和z-x，根據(jù)“鏈乘相加”，可得復(fù)合函數(shù)z=f[φ(x,y),x,y]對(duì)x的偏導(dǎo)數(shù)：

類似可得對(duì)y的偏導(dǎo)數(shù)：

2 樹形圖拓展及實(shí)例分析

(圖4)

根據(jù)拓展的樹形圖對(duì)例1進(jìn)行分析。

解：引入中間變量：

u=x2y，v=x-y,則z=f(u,v)，

將上述偏導(dǎo)數(shù)寫在樹形圖上，如圖5所示。

(圖5)

(圖6)

根據(jù)拓展的樹形圖還可很容易處理自變量本身又是中間變量，甚至更復(fù)雜的情況。

(圖7)

(圖8)

引入拓展樹形圖，使求多元抽象復(fù)合函數(shù)導(dǎo)數(shù)變得容易理解和計(jì)算，極大地提高了學(xué)生的學(xué)習(xí)效率。