陳 雪，姜玉蓮

(長春工業(yè)大學 電氣與電子工程學院，吉林 長春 130012)

0 引 言

單擺，是物理學、力學分析中最常用的經(jīng)典模型之一，它是一個形狀和大小都可以看成質(zhì)點的小球系在不計伸長和質(zhì)量的擺線上的理想模型。每個單擺可看作一個智能體，那么多單擺網(wǎng)絡系統(tǒng)就可看作為一個多智能體網(wǎng)絡系統(tǒng)。與文獻[1]中單控制系統(tǒng)的控制方法不同，多智能體系統(tǒng)的協(xié)調(diào)控制能夠解決更為復雜的控制任務。由多個具有自主計算能力的個體組成的分布式多智能體系統(tǒng)，通過個體間的協(xié)調(diào)與協(xié)作能夠完成相對復雜的任務，而單個個體由于其功能簡單，不具有解決復雜困難、高強度問題的能力[2]。多智能體一致性問題作為協(xié)調(diào)控制的最基本問題，在國內(nèi)外已取得很多研究成果[3-4]。文獻[5]研究了多智能體系統(tǒng)的一致性問題，提出了分布式控制算法和用于描述多智能體網(wǎng)絡系統(tǒng)一致性問題的理論框架。文獻[6]研究了無領導者多智能的一致性問題，分析了在有向網(wǎng)絡中的一致性問題。文獻[7]針對高階線性多智能體系統(tǒng)的一致性跟蹤問題，設計并分析了在固定和切換通信拓撲下的控制協(xié)議及其穩(wěn)定性條件。文獻[8]研究了多智能體系統(tǒng)在干擾下的一致性問題，設計了基于輸出反饋控制器，給出了實現(xiàn)漸進一致的條件。

近年來，隨著通信技術發(fā)展和節(jié)能減排的要求，為提高系統(tǒng)的通信效率和能源利用率，減少多智能體系統(tǒng)硬件資源的浪費，大量有關事件觸發(fā)控制的研究開始出現(xiàn)[9-15],事件觸發(fā)機制的控制效果優(yōu)于時間觸發(fā)機制。Zeno行為意味著在某個時間無限累計的執(zhí)行，文獻[16-18]中為了排除Zeno行為，在觸發(fā)條件中引入常數(shù)，使得最小時間間隔嚴格大于零。文獻[19-23]提出了分布式事件觸發(fā)采樣數(shù)據(jù)傳輸策略，利用該策略可以保證最小間隔時間至少為一個采樣周期，避免了Zeno行為。

文中提出了一種分布式事件觸發(fā)機制下的多單擺網(wǎng)絡系統(tǒng)的一致性跟蹤控制協(xié)議和觸發(fā)函數(shù)。設計的事件觸發(fā)函數(shù)的觸發(fā)時刻僅依賴單擺系統(tǒng)自身和其鄰居的相對狀態(tài)。應用矩陣論和穩(wěn)定性理論等對分布式事件觸發(fā)機制下的多單擺網(wǎng)絡系統(tǒng)一致性跟蹤的穩(wěn)定性進行了分析，得到了多單擺網(wǎng)絡系統(tǒng)漸進達到一致性跟蹤的充分條件。

1 電機驅動的多單擺網(wǎng)絡系統(tǒng)建模

直流電機驅動的單擺系統(tǒng)工作原理示意圖如圖1所示。

圖1 直流電機驅動的單擺系統(tǒng)

圖中u是電樞繞組的終端電壓，R為電樞電路中的電阻，L為電樞電路中的電感，ia和E分別為直流電機的電樞電流和電動勢，單擺桿的擺角和長度分別為θ,l,m為單擺的質(zhì)量。

每一個直流電機驅動的單擺系統(tǒng)可看作一個智能體，那么由多個直流電機驅動的單擺系統(tǒng)可組成一個多單擺網(wǎng)絡系統(tǒng)。這里，用i表示每個單擺系統(tǒng)，i=1,2,…,N，N為一個多單擺網(wǎng)絡系統(tǒng)中單擺系統(tǒng)的個數(shù)。

第i個單擺系統(tǒng)的動力學模型為：

(1)

其中，KT為電機的轉矩常數(shù)，KE為直流電機的電動勢常數(shù)，g為重力加速度。

(2)

(3)

其中 ，

2 多單擺網(wǎng)絡系統(tǒng)的通信拓撲結構及其性質(zhì)

為方便分析，給出以下性質(zhì)：

引理：L為聯(lián)通圖GP的Laplacian矩陣[7]：

(1)λ1=0為L的一個特征值，其特征向量為1N，滿足L1N=0N。

(2)若H=L+D，其特征值λ(H)>0。

3 基于分布式事件觸發(fā)的一致性跟蹤控制

3.1 問題描述

文中研究領導-跟隨多單擺網(wǎng)絡系統(tǒng)(3)，對于由節(jié)點0表示的領導者，其動力學方程可以描述為：

(4)

其中，x0(t)∈Rn為領導者的狀態(tài)。

定義：領導-跟隨多單擺網(wǎng)絡系統(tǒng)(3)-(4)實現(xiàn)漸進一致性跟蹤控制目標是:當且僅當存在控制協(xié)議ui(t)使得系統(tǒng)在任意初始條件下滿足：

假設1：(A,B)是可穩(wěn)定的。

在該假設下，對于任意β>0存在一個正定解P>0滿足如下黎卡提不等式[7]：

PA+ATP-2βPBBTP+βI<0

(5)

設計反饋增益矩陣K=BTP

3.2 分布式事件觸發(fā)控制器的設計

設計基于事件觸發(fā)機制的控制協(xié)議為：

定義狀態(tài)測量誤差為：

(6)

di(x0(t)-xi(t))]‖2}}

(7)

其中，δi>0是常數(shù)，每個單擺系統(tǒng)的事件觸發(fā)時間間隔是由單擺系統(tǒng)自身及其鄰居的相對狀態(tài)決定，所以事件觸發(fā)機制(7)是分布式的。

(8)

(9)

證明：構造Lyapunov函數(shù)為：

V(t)=εT(t)(IN?P)ε(t)

如果，

(10)

用節(jié)點集W1(t)和W2(t)表示多單擺網(wǎng)絡系統(tǒng)(3)-(4)最新的事件觸發(fā)瞬間，因此，

W1(t)∪W2(t)={1,2,…,N},W1(t)∩W2(t)=?

式(10)成立的充分條件是：

(11)

即：

(12)

‖Kei(t)‖2≤

s‖(H?K)ε(t)‖2

(13)

‖IN?BK‖+2(‖IN?A‖+

令ζ(t)=‖(IN?K)e(t)‖/‖(H?K)ε(t)‖，進而得到ζ(t)≤ψ(t,ψ0)是如下伯努利方程的解：

(14)

其中，a=‖H2?KB‖,b=‖IN?A‖+‖H?BK‖，c=‖IN?BK‖。

其中的τ滿足以下三種情況：

III：若b2>ac，

則τ=

4 仿真實驗

文中給出多單擺網(wǎng)絡系統(tǒng)的參數(shù)為：

仿真實驗中共有4個跟隨者和一個領導者，該系統(tǒng)通信拓撲結構如圖2所示。選取δ1=0.05,δ2=0.045,δ3=0.04,δ4=0.035,τ1=0.05,τ2=0.04,τ3=0.03,τ4=0.02,φ=0.2。

圖2 多單擺網(wǎng)絡系統(tǒng)的通信拓撲

對基于分布式事件觸發(fā)機制(7)的一致性控制協(xié)議(6)作用下的多單擺網(wǎng)絡系統(tǒng)進行仿真實驗。圖3～圖5反映了系統(tǒng)狀態(tài)隨時間變化的情況，可以看出系統(tǒng)在分布式事件驅動控制下達到了漸進一致性跟蹤目標。圖6標注出了每個單擺系統(tǒng)在時間間隔[0，100]中的事件時刻，從圖中看出，采樣是分散并非等時間間隔，即分布式事件觸發(fā)有效地降低了信息傳輸和控制器更新頻率。

圖3 電樞電流的變化軌跡

圖4 角位移的變化軌跡

圖5 角速度的變化軌跡

圖6 每個跟隨者事件觸發(fā)時間

5 結束語

對多單擺網(wǎng)絡系統(tǒng)建模且進行線性化，解決了多單擺網(wǎng)絡系統(tǒng)的一致性跟蹤問題，提出分布式事件觸發(fā)機制及其作用下的一致性跟蹤控制器并分析了其穩(wěn)定性。運用圖論、矩陣論和Lyapunov穩(wěn)定性理論，證明了多單擺網(wǎng)絡系統(tǒng)可以實現(xiàn)漸進一致性跟蹤目標，且每一個單擺系統(tǒng)不會發(fā)生Zeno行為。最后進行仿真實驗，驗證了控制協(xié)議的有效性，且分布式事件觸發(fā)降低了信息傳輸和控制器更新頻率。