吳湯婷,劉麗晶,趙寶貴,盧立果

(1. 東華理工大學(xué) 江西省數(shù)字國(guó)土重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,江西 南昌 330013;2. 東華理工大學(xué) 測(cè)繪工程學(xué)院,江西 南昌 330013)

0 引 言

載波相位整周模糊度的快速準(zhǔn)確解算是全球衛(wèi)星導(dǎo)航系統(tǒng)(GNSS)實(shí)時(shí)高精度動(dòng)態(tài)定位的關(guān)鍵問(wèn)題,錯(cuò)誤的整周模糊度將導(dǎo)致分米級(jí)甚至更大的定位偏差[1-4],而模糊度解算的核心在于模糊度浮點(diǎn)解的整數(shù)估計(jì). 常用的三類模糊度整數(shù)估計(jì)方法包括:整數(shù)取整、整數(shù)序貫取整和整數(shù)最小二乘[5-10]. 盡管從理論上三類整數(shù)估計(jì)算法較容易被實(shí)現(xiàn),且已有公開(kāi)軟件LAMBDA3.0提供三類模糊度整數(shù)估計(jì)功能[11]. 但是單純地根據(jù)數(shù)學(xué)原理直接估計(jì)出整周模糊度,而對(duì)模糊度由實(shí)數(shù)空間映射到整數(shù)空間的過(guò)程缺乏直觀的認(rèn)知,不利于對(duì)三類估計(jì)理論的深入理解. 為更好地解釋這三類整數(shù)估計(jì)過(guò)程,文獻(xiàn)[5-6]采用歸整域構(gòu)建了模糊度實(shí)數(shù)域與整數(shù)域之間的幾何關(guān)系,文獻(xiàn)[7]進(jìn)一步采用蒙特卡洛模擬了不同精度下模糊度的浮點(diǎn)解與歸整域之間的幾何關(guān)系,用以說(shuō)明三類估計(jì)方法的性能. 盡管三類估計(jì)方法幾何原理清晰、圖形直觀,便于對(duì)三類整數(shù)估計(jì)原理的理解,但是實(shí)現(xiàn)過(guò)程較復(fù)雜,且目前尚未有公開(kāi)軟件提供這類功能的演示. 因此,本文通過(guò)研究三類估計(jì)方法的一般理論表達(dá)式,基于MATLAB GUI設(shè)計(jì)了一套三類估計(jì)方法二維幾何圖形構(gòu)建的可視化分析軟件,實(shí)現(xiàn)對(duì)三類估計(jì)方法的歸整域、映射圖和蒙特卡洛模擬及成功率計(jì)算等分析,為后續(xù)相關(guān)研究提供參考和幫助.

1 基本理論

1.1 歸整域

Sz={x∈Rn|z=F(x)},?z∈Zn,

(1)

式中,z為整數(shù)向量.

(2)

式中:sz(·)為指示函數(shù),有

1.2 整數(shù)取整

整數(shù)取整(IR)估計(jì)是將模糊度浮點(diǎn)解向量的每個(gè)元素直接取整到最近的整數(shù)向量. 因此,IR估計(jì)不考慮模糊度分量間的相關(guān)性,其表達(dá)式為

(3)

式中，[·]表示對(duì)元素進(jìn)行取整運(yùn)算；n=1, 2, 3, ….

由于IR是將模糊度浮點(diǎn)解直接歸整到最近的整數(shù)上,浮點(diǎn)解與整數(shù)解的差異值不超過(guò)0.5. 因此,IR估計(jì)的歸整域一般表達(dá)式為[6]

i=1,2…,n, ?z∈Zn,

(4)

式中，ci為第i個(gè)元素為1的單位坐標(biāo)向量.

1.3 整數(shù)序貫取整

(5)

式中:

(6)

式中，lk,i為L(zhǎng)TDL分解的單位下三角矩陣L的元素.

IB估計(jì)是將浮點(diǎn)解的條件期望取整到距其最近的整數(shù),條件期望與取整的整數(shù)解的差異值不超過(guò)0.5. 因此,IB估計(jì)的歸整域一般表達(dá)式為[6]

(7)

1.4 整數(shù)最小二乘

(8)

(9)

因此,ILS歸整域一般表達(dá)式為[5]

?z,u∈Zn,z≠u(mài),

(10)

式中:x為浮點(diǎn)解;z為ILS解;u為任一整數(shù)向量.

式(10)可以進(jìn)一步簡(jiǎn)化為

(11)

式中:c=u-z.

由式(11)可知,ILS歸整域是由多個(gè)平面圍成的空間,且平面數(shù)取決于模糊度次優(yōu)解個(gè)數(shù),模糊度次優(yōu)解個(gè)數(shù)區(qū)間為[2n, 2n+1-2]．

2 三類整數(shù)估計(jì)方法歸整域演示軟件設(shè)計(jì)

圖1為三類整數(shù)估計(jì)方法圖形可視化軟件功能結(jié)構(gòu)圖，圖2為三類整數(shù)估計(jì)圖形可視化軟件界面.

圖1 三類整數(shù)估計(jì)方法圖形可視化軟件功能結(jié)構(gòu)圖.

圖2 三類整數(shù)估計(jì)方法圖形可視化軟件界面.

3 軟件測(cè)試與分析

3.1 歸整域圖

圖3為繪制的IR歸整域圖.從圖中可以看到IR的二維歸整域是由規(guī)則的正四邊形構(gòu)成的實(shí)數(shù)空間. 分析其原因?yàn)镮R估計(jì)僅與浮點(diǎn)解有關(guān),取整過(guò)程可以看作是浮點(diǎn)解的四舍五入,因此對(duì)于二維模糊度來(lái)說(shuō),其歸整域是一個(gè)規(guī)則的正四邊形,且整數(shù)轉(zhuǎn)換前后不改變其形狀.

圖3 IR歸整域圖形

圖4 IB轉(zhuǎn)換前后歸整域圖形及其形狀變化圖

圖4為繪制的IB整數(shù)轉(zhuǎn)換前后歸整域及其變化圖.由圖可見(jiàn)IB的歸整域?yàn)橐粋€(gè)平行四邊形,轉(zhuǎn)換后的形狀相對(duì)于轉(zhuǎn)換前更接近正四邊形. 分析其原因?yàn)榛贚TDL分解的IB估計(jì)是由后到前的順序進(jìn)行序貫取整,因此對(duì)于二維模糊度向量來(lái)說(shuō),第一個(gè)估計(jì)的模糊度分量(即Y軸方向)是按照直接取整獲得的,第二個(gè)估計(jì)的模糊度分量(即X軸方向)是基于式(4)序貫取整得到的,其取整范圍受模糊度分量間的相關(guān)性影響,但是每一個(gè)歸整域在X軸方向的邊界范圍大小仍為1,此時(shí)歸整域?yàn)槠叫兴倪呅? 當(dāng)模糊度分量不存在相關(guān)性時(shí),IB估計(jì)等同于IR估計(jì),此時(shí)IB的歸整域簡(jiǎn)化為正四邊形. 由于整數(shù)轉(zhuǎn)換的中間過(guò)程可以有效地降低模糊度分量間的相關(guān)性,因此轉(zhuǎn)換后的形狀將更接近正四邊形.

圖5為繪制的ILS轉(zhuǎn)換前后歸整域及其形狀變化圖.由圖可以看到轉(zhuǎn)換前由于模糊度分量間相關(guān)性很大,ILS的歸整域是一個(gè)狹長(zhǎng)的凸六邊形,轉(zhuǎn)換后的歸整域?yàn)橐粋€(gè)比較規(guī)則的凸六邊形. 分析其原因?yàn)镮LS是基于最小二乘搜索獲得最優(yōu)解(即ILS解),而對(duì)于同一個(gè)最優(yōu)解當(dāng)浮點(diǎn)解選取不同時(shí)將會(huì)對(duì)應(yīng)不同的次優(yōu)解,由式(10)可知其歸整域的構(gòu)建取決于次優(yōu)解和最優(yōu)解之間的線性關(guān)系. 對(duì)于二維模糊度向量來(lái)說(shuō),通常根據(jù)浮點(diǎn)解的選取不同最優(yōu)解對(duì)應(yīng)六個(gè)次優(yōu)解,此時(shí)歸整域?yàn)榱鶙l直線構(gòu)成的交叉區(qū)間. 需要說(shuō)明的是,當(dāng)模糊度分量線性無(wú)關(guān)時(shí),ILS估計(jì)等同于IR估計(jì),此時(shí)歸整域簡(jiǎn)化為正四邊形. 對(duì)于原始的模糊度向量,由于模糊度分量間的相關(guān)性很大,此時(shí)歸整域是一個(gè)狹長(zhǎng)的凸六邊形;而整數(shù)轉(zhuǎn)換的中間過(guò)程可以有效地降低模糊度分量間的相關(guān)性,此時(shí)轉(zhuǎn)換后的形狀將朝著接近正四邊形的方向變化.

圖5 ILS轉(zhuǎn)換前后歸整域圖形及其形狀變化圖

3.2 映射圖

圖6為整數(shù)轉(zhuǎn)換后三類估計(jì)方法映射圖.其中,模糊度真值假定為零向量. 由圖可知,每個(gè)整數(shù)向量對(duì)應(yīng)唯一的歸整域,且各歸整域之間互不重疊,當(dāng)采用IR、IB和ILS估計(jì)時(shí),浮點(diǎn)解處于零向量所在的歸整域才能獲得正確值,反之則會(huì)錯(cuò)誤固定. 因此,三類估計(jì)方法的模糊度浮點(diǎn)解和固定解在歸整域內(nèi)滿足“多對(duì)一”的映射關(guān)系.

圖6 整數(shù)轉(zhuǎn)換后三類估計(jì)方法映射圖(綠色點(diǎn)為真值，紅色點(diǎn)為錯(cuò)誤值)

3.3 蒙特卡洛模擬浮點(diǎn)解圖

圖7為蒙特卡洛模擬生成的浮點(diǎn)解與三類歸整域的關(guān)系圖.其中,模擬樣本數(shù)為10 000. 由圖可見(jiàn),整數(shù)轉(zhuǎn)換前浮點(diǎn)解分布在一個(gè)傾斜的扁形橢圓空間內(nèi),整數(shù)轉(zhuǎn)換后浮點(diǎn)解分布在一個(gè)近似圓形的橢圓空間內(nèi),主要是由于整數(shù)轉(zhuǎn)換通過(guò)降低模糊度相關(guān)性實(shí)現(xiàn)了橢球的壓縮. 在三類歸整域與浮點(diǎn)解空間分布的關(guān)系方面,ILS在整數(shù)轉(zhuǎn)換前后歸整域均與浮點(diǎn)解分布形狀保持最大程度的吻合,IB次之,IR最差,且IB和IR與整數(shù)轉(zhuǎn)換直接相關(guān),整數(shù)轉(zhuǎn)換有利于增大二者的吻合程度.

3.4 成功率計(jì)算

表1所示為整數(shù)轉(zhuǎn)換前后三類方法模糊度正確估計(jì)的概率.其中,成功率=落在歸整域內(nèi)樣本數(shù)/總樣本數(shù),為保證成功率統(tǒng)計(jì)的準(zhǔn)確性盡量不受蒙特卡洛模擬樣本個(gè)數(shù)的影響,樣本數(shù)設(shè)定為10 000 000. 由表1可知，整數(shù)轉(zhuǎn)換前,IR和IB的成功率遠(yuǎn)低于ILS,整數(shù)轉(zhuǎn)換后IR和IB的成功率得以較大程度地提高,ILS成功率不受整數(shù)轉(zhuǎn)換的影響,三類方法模糊度估計(jì)的成功率大小滿足不等關(guān)系:PS,IR≤PS,IB≤PS,ILS,統(tǒng)計(jì)結(jié)果與文獻(xiàn)[14]理論相符. 根據(jù)成功率統(tǒng)計(jì)式,由圖7也能很直觀得出上述不等關(guān)系.

圖7 蒙特卡洛模擬浮點(diǎn)解與三類歸整域的關(guān)系圖

表1 三類估計(jì)方法成功率

4 總 結(jié)

針對(duì)IR、IB和ILS三類估計(jì)方法由浮點(diǎn)解到整數(shù)解的固定過(guò)程過(guò)于抽象,不利于對(duì)整數(shù)估計(jì)的直觀理解這一問(wèn)題. 本文基于MATLAB GUI設(shè)計(jì)了一套三類估計(jì)方法二維幾何圖形構(gòu)建的可視化分析軟件. 該軟件可以實(shí)現(xiàn)三類估計(jì)方法的歸整域構(gòu)建、浮點(diǎn)解與固定解間的映射圖構(gòu)建、不同精度下浮點(diǎn)解的蒙特卡洛模擬以及成功率計(jì)算等功能. 實(shí)驗(yàn)測(cè)試數(shù)據(jù)表明該軟件性能穩(wěn)定,可以滿足對(duì)三類整數(shù)估計(jì)方法幾何圖形表達(dá)的需求,并有助于直觀形象地理解整數(shù)轉(zhuǎn)換對(duì)模糊度估計(jì)的影響,也對(duì)模糊度估計(jì)方法的教學(xué)演示具有很好的輔助作用.