白旭，韓傳煜，孫海

(江蘇科技大學(xué) 船舶與海洋工程學(xué)院，江蘇 鎮(zhèn)江 212003; 2.哈爾濱工程大學(xué) 航天與建筑工程學(xué)院，黑龍江 哈爾濱 150001)

流致振動(dòng)廣泛地存在于許多工程領(lǐng)域中[1]，作為儲(chǔ)量巨大的清潔能源，海流能與風(fēng)或海浪相比，具有季節(jié)性、周期性，其流動(dòng)狀況高度可預(yù)測(cè)。但近海岸洋流流速往往較低，導(dǎo)致難以利用傳統(tǒng)方式獲取海洋能量。流致振動(dòng)捕能技術(shù)正在成為可再生能源發(fā)電的可行解決方案，需要開(kāi)展重大的研究、開(kāi)發(fā)和部署計(jì)劃，才能在該領(lǐng)域取得真正的產(chǎn)業(yè)成功[2]。近年來(lái)，許多學(xué)者開(kāi)始研究利用流致振動(dòng)獲取低流速下海洋動(dòng)能的發(fā)電方式。

流致振動(dòng)是指流體流經(jīng)固體時(shí)會(huì)對(duì)固體表面施加交替相間的流體力，使得固體發(fā)生往復(fù)運(yùn)動(dòng)，而固體的往復(fù)運(yùn)動(dòng)又改變流體流態(tài)，進(jìn)而改變作用于固體表面的流體力[3]。盡管有關(guān)流致振動(dòng)發(fā)電的研究并未形成系統(tǒng)的研究體系[4]，但仍取得了成果。Belloli等[5]比較了臨界流動(dòng)狀態(tài)下渦激振動(dòng)與亞臨界振動(dòng)的特征。Sun Hai等[5-7]研究具有端部彈性約束的剛性振子的流致振動(dòng)，對(duì)幅度響應(yīng)，頻率響應(yīng)，能量收集和效率的實(shí)驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行了介紹和討論，并使用2個(gè)汽缸串聯(lián)進(jìn)行實(shí)驗(yàn)，給出了能量收集和效率的實(shí)驗(yàn)結(jié)果、推導(dǎo)出最優(yōu)功率的包絡(luò)。羅竹梅[8]提出了一種結(jié)合并列和串列構(gòu)形的矩形布置四圓柱振動(dòng)系統(tǒng)，并提出機(jī)械耦合的概念描述這種系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)特性，將由4個(gè)圓柱組成的振動(dòng)系統(tǒng)整體視為一個(gè)質(zhì)量-彈簧-阻尼系統(tǒng)。Kim等[9]證明了交替提升技術(shù)(ALT)轉(zhuǎn)換器是一種能量吸收裝置，可有效地在速度低至1.0～1.5 m/s的水流中工作，這是目前水車(chē)和渦輪機(jī)無(wú)法達(dá)到的速度范圍。燕翔[10]分析了電機(jī)參數(shù)、機(jī)械參數(shù)及振子截面參數(shù)對(duì)三棱柱振動(dòng)模式、能量利用的影響，明確了三棱柱在流致振動(dòng)能量利用上的優(yōu)勢(shì)。練繼建等[4]剖析了研究當(dāng)中存在的各類(lèi)問(wèn)題，并對(duì)流致振動(dòng)能量利用的研究方向提出了建議。這些研究集中在物理結(jié)構(gòu)、流速等參數(shù)對(duì)振動(dòng)的影響上，尚未存在對(duì)振動(dòng)捕能效果的組合優(yōu)化的研究。本文工作是研究在現(xiàn)有非理想條件下，所能達(dá)到的能量轉(zhuǎn)化率最大值，即最優(yōu)捕能效率值。

1 振動(dòng)能量獲取的數(shù)學(xué)物理模型

1.1 能量的獲取過(guò)程

對(duì)于本文所建立的流致振動(dòng)模型，其運(yùn)動(dòng)中產(chǎn)生的可利用能量經(jīng)歷了2次削弱的過(guò)程:1)振動(dòng)系統(tǒng)獲取流體動(dòng)能時(shí)，有一部分流體動(dòng)能耗散在振子尾流粒子的碰撞、摩擦中，還有一部分流體未參與做功；2)振動(dòng)系統(tǒng)獲取的能量會(huì)有一部分損失在振動(dòng)系統(tǒng)機(jī)械部分的摩擦中，剩下的部分才是可以加以利用的機(jī)械能，也即輸入發(fā)電機(jī)的能量。能量轉(zhuǎn)化過(guò)程如圖1所示。

圖1 水流能量的利用流程Fig.1 Flow of water flow energy

1.2 振子物理模型及受力分析

計(jì)算采用的振子直徑D=0.1 m，展向長(zhǎng)度L=1 m，振子表面光滑，由2支拉壓彈簧連接在支架上，彈簧剛度為K=500 N/m。模擬質(zhì)量比m*取1.1、1.4、1.7、2.0這4個(gè)數(shù)值，阻尼比ξ從0.03～0.21每隔0.03取值一次，總計(jì)取7個(gè)值。對(duì)以上28種情況，約化速度從2～12，間隔0.1取值計(jì)算。

在流致振動(dòng)過(guò)程中，振子在豎直方向受3個(gè)力：即彈簧拉壓力Fspr、結(jié)構(gòu)及水流的阻力Fdamp、流體動(dòng)壓力FFluid。

如圖2所示，當(dāng)振子處于平衡位置以下且運(yùn)動(dòng)方向向下時(shí)，其加速度方向向上。故可以得到等式：

mosca+Fspr+Fdamp=FFluid

(1)

整理得：

(mosc+ma)Y″+(cfluid+cstructure)Y′+KY=

(2)

式中:cFluid為流體附加阻尼；cstructure為振動(dòng)結(jié)構(gòu)的總阻尼；Γ為離散點(diǎn)渦強(qiáng)度；U為水流的來(lái)流速度；D、L為圓柱振子的直徑、長(zhǎng)度；ma為振子的附加質(zhì)量；流體力FFluid根據(jù)文獻(xiàn)[13]討論得到。

1.3 振幅比A*、頻率比f(wàn)*計(jì)算

引入渦強(qiáng)方程Γcos(2πfstt)=βUDq、無(wú)量綱位移y=Y/D、無(wú)量綱時(shí)間τ=tωst，化簡(jiǎn)式(2)得到振子運(yùn)動(dòng)方程；引入范德波爾方程描述無(wú)量綱漩渦強(qiáng)度q，得到升力荷載變化方程。二式相互耦合，聯(lián)立得[14]：

(3)

圖2 單自由度振子物理模型及受力分析Fig.2 Physical model and force analysis of single degree of freedom oscillator

振幅比A*是無(wú)量綱位移y的極值，振幅比f(wàn)*是振子振動(dòng)頻率與振子在水中的自振頻率的比值。使用四階龍格庫(kù)塔法求解式(3)，時(shí)間步長(zhǎng)取0.1，得到不同約化速度下振子隨周期振動(dòng)的振幅比A*，對(duì)震蕩的時(shí)歷曲線(xiàn)進(jìn)行傅里葉展開(kāi)，求得頻率比f(wàn)*。

1.4 功率計(jì)算

1.4.1 流體功率計(jì)算

水流做功的功率可以根據(jù)水流對(duì)振子的壓力乘以水流流速求得。根據(jù)伯努利方程，水流產(chǎn)生的動(dòng)壓強(qiáng)為(ρU2)/2。常見(jiàn)的水流功率的計(jì)算方式有2種，即水流壓強(qiáng)作用面S取振子與流體直接接觸面的投影D×L，或取振子振動(dòng)過(guò)程掃過(guò)的面積(2A+D)×L。這兩者并無(wú)本質(zhì)區(qū)別，只是對(duì)流體動(dòng)能利用的關(guān)注角度不同。本文采用后一種方案，且因連桿在水流方向的投影面積相比圓柱振子的投影面積可以忽略不計(jì)，忽略水流對(duì)連桿部分的作用力，取水流壓強(qiáng)的作用面為S=(2A+D)×L。水流功率表示為：

(4)

1.4.2 振子捕能功率計(jì)算

將式(2)流體附加阻尼項(xiàng)移到等式右側(cè)，得到：

(mosc+ma)y″+cstructurey′+Ky=

(5)

式(5)右側(cè)即水流力與流體摩擦的差值，左右相等，故左側(cè)部分積分即可得到振動(dòng)系統(tǒng)捕獲的能量，而后再除以周期時(shí)長(zhǎng)，即得到流體的平均有效功率。振子捕能包含振動(dòng)系統(tǒng)的機(jī)械能、振動(dòng)系統(tǒng)機(jī)械摩擦損耗2部分。其數(shù)值上與與水流對(duì)振子做的功相等。對(duì)能量及功率的計(jì)算為：

cstructurey′+Ky)y′dt

(6)

根據(jù)簡(jiǎn)諧理論，振子運(yùn)動(dòng)位移y隨時(shí)間呈簡(jiǎn)諧變化，即y=Asin(2πfosct)，其中振子的振動(dòng)主頻為fosc，其值為T(mén)osc=1/fosc。在穩(wěn)定振動(dòng)中，液體與振子發(fā)生共振，根據(jù)結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)共振的規(guī)律，此時(shí)的振動(dòng)主頻與升力主頻相等，即fosc=fFluid。

根據(jù)三角函數(shù)的奇偶性、周期性，含有y、y″的項(xiàng)積分后為0，代入式y(tǒng)、y′、y″，化簡(jiǎn)為：

(7)

1.5 捕能效率計(jì)算

由于流量守恒，通過(guò)發(fā)電裝置的流體速度不會(huì)發(fā)生突變，電機(jī)轉(zhuǎn)換的能量?jī)H由壓強(qiáng)差提供，因此流體能量損失天然地存在一個(gè)上限，即貝茨極限。在槳葉式發(fā)電裝置中貝茨極限取59.3%。此外，因?yàn)槲擦髁Ｗ娱g、流體固體間的摩擦，振子不能充分利用水流本身的能量損失，因此振動(dòng)系統(tǒng)對(duì)水流能量的利用率還要小于貝茨極限。定義振子捕能功率與流體損失功率的比值為捕能效率，表達(dá)式為：

(8)

式中：質(zhì)量比m*、阻尼比ξ為結(jié)構(gòu)參數(shù)；振幅比A*、頻率比f(wàn)*為流固耦合參數(shù)；約化速度Ur為流體參數(shù)。流固耦合參數(shù)與流體、固體參數(shù)均相關(guān)，無(wú)法直接獲得，計(jì)算過(guò)程見(jiàn)2.3節(jié)。

2 捕能效率的影響分析

2.1 模型可靠性驗(yàn)證及計(jì)算方案

Khalak等[19]進(jìn)行了m*=2.4、m*ξ=0.013的低質(zhì)量比、低阻尼比物理實(shí)驗(yàn)；羅竹梅[8]采用SSTk-ω高雷諾數(shù)湍流模型在相同的質(zhì)量比、阻尼比下進(jìn)行數(shù)值模擬。本文在相同條件下，使用尾流振子模型計(jì)算約化速度2

振子在不同約化速度下的3種捕能效率曲線(xiàn)如圖4所示。從圖中可以看出，本文模擬的曲線(xiàn)走勢(shì)與文獻(xiàn)結(jié)果較好吻合，最大捕能效率介于文獻(xiàn)[19]與文獻(xiàn)[8]的實(shí)驗(yàn)、模擬結(jié)果，且極為接近。如表1所示，模擬的最大捕能效率與文獻(xiàn)結(jié)果的誤差分別是7.8%和23.3%，這說(shuō)明了本文模擬方法的可靠性。模擬振動(dòng)在Ur=4.5時(shí)獲得最大捕能效率2.58%，而參考文獻(xiàn)分別在Ur=4.5和Ur=4.6時(shí)對(duì)應(yīng)取得最大捕能效率。相比下，模擬計(jì)算的整體捕能趨勢(shì)均略微滯后，這可能是范德波爾經(jīng)驗(yàn)參數(shù)取值偏小的緣故。

圖3 m*=1.4,ξ=0.03,Ur=4時(shí)振子時(shí)歷曲線(xiàn)及頻譜Fig.3 Curve of time and spectrum of oscillator vibration at m*=1.4,ξ=0.03,Ur=4

表1 計(jì)算結(jié)果可靠性驗(yàn)證表Table 1 Reliability verification table of calculated results

圖4 各約化速度下振子捕能效率Fig.4 Energy capture efficiency of oscillator at different reduction velocities

根據(jù)模擬結(jié)果，振子共振穩(wěn)定后的橫向振動(dòng)響應(yīng)近似正弦規(guī)律的諧波振動(dòng)[8]，取模擬計(jì)算的最后19個(gè)周期，以分析質(zhì)量比、阻尼比對(duì)振子振幅比、頻率比、捕能效率的影響，并總結(jié)其相互關(guān)系。

2.2 質(zhì)量比、阻尼比對(duì)振子振幅比、頻率比的影響

隨約化速度的增加，不同質(zhì)量比、阻尼比條件下的振子振幅比先增加后降低，質(zhì)量比、阻尼比越低，振幅越大。記取最大振幅比的約化速度為最佳Ur，則振子的最佳Ur集中在6.3～6.9。最佳Ur值同阻尼比幾乎沒(méi)有關(guān)聯(lián)性，但會(huì)隨著質(zhì)量比的增大稍稍提前。此外振幅比的變化率與質(zhì)量比無(wú)關(guān)，但隨著阻尼比的減小，振幅比增大得越來(lái)越快。

頻率比同約化速度成正相關(guān)，其增大變化率經(jīng)歷了陡峭-平緩-陡峭的過(guò)程。平緩階段4

由圖5(a)知，平緩區(qū)間內(nèi)的頻率比與質(zhì)量比無(wú)關(guān)。此外，不同阻尼比條件下頻率比隨約化速度的變化可以分成2個(gè)區(qū)間。區(qū)間一為3.35.5，振子阻尼比越大頻率比越大。

圖5 不同m*、ξ下振子A*、 f*隨Ur變化變化圖Fig.5 Variation diagram of oscillator A*, f* with Ur under different m*, ξ

2.3 不同質(zhì)量比、阻尼比下捕能效率的分析

不同質(zhì)量比、阻尼比下振子捕能效率隨約化速度的變化情況如圖6所示。

圖6 不同m*、 ξ下振子的捕能效率Fig.6 Energy capture efficiency of oscillator under different m*, ξ

1)總體而言，當(dāng)約化速度處于4.5～6.4時(shí)，多數(shù)振子捕能效率η>10%，能量利用率較高。最大捕能效率見(jiàn)圖6(a)，m*=1.1、ξ=0.15時(shí)，捕能效率η=14.27%，此時(shí)Ur=5.1。

2)在趨勢(shì)上，捕能效率η隨約化速度的增加先增加再降低，在約化速度Ur=5.3附近取得最大值，定義η取最大值對(duì)應(yīng)的Ur為最優(yōu)約化速度，此刻捕能效率稱(chēng)為最優(yōu)效率ηb。效率值η在遠(yuǎn)離取最優(yōu)Ur處變化平緩，在最優(yōu)Ur鄰域也有較小變化率形成的緩和段，但在鄰域外側(cè)隨Ur變化的程度尤為激烈。同圖5的鎖定區(qū)間比較，最優(yōu)鄰域恰好位于穩(wěn)定共振區(qū)域，而位于進(jìn)入、退出共振段區(qū)域的鄰域外側(cè)，捕能效率變化較大。

最優(yōu)Ur的位置隨阻尼比的增大微微增大，與質(zhì)量比的取值無(wú)關(guān)。

3)最優(yōu)效率ηb隨質(zhì)量比的變化見(jiàn)圖7，阻尼比ξ較小時(shí)，ηb與m*正相關(guān)；ξ較大時(shí)，ηb與m*反相關(guān)。這是由于隨著阻尼比的增大，振幅比迅速變小，同時(shí)頻率比在Ur=5.1附近幾乎沒(méi)有變化。

圖7 最優(yōu)效率ηb隨質(zhì)量比、阻尼比變化Fig.7 Optimal efficiency ηb varies with mass ratio and damping ratio

4)振子阻尼比較大時(shí)，最優(yōu)效率ηb隨m*的變化越劇烈，從圖7可看出，對(duì)于不同的m*，均存在ξ使ηb取極大值。如式(8)所示，這是因?yàn)樽枘岜容^小時(shí)，阻尼比本身對(duì)效率的影響較大；隨著阻尼比增大，較大的阻尼比導(dǎo)致振幅比迅速減小，振幅比成為影響效率η的主導(dǎo)因子。不同質(zhì)量比下取得最優(yōu)效率的阻尼比數(shù)值可以由式(10)確定。

2.4 最優(yōu)阻尼比分析

使捕能效率最大的阻尼比隨質(zhì)量比的變化而改變，為獲取最優(yōu)捕能效率，需要在模擬前估算最優(yōu)阻尼比數(shù)值。用最小二乘法對(duì)ηb作關(guān)于m*、ξ的多項(xiàng)式曲面擬合，從而求解最優(yōu)阻尼比,如圖8所示。

圖8 不同質(zhì)量比、阻尼比變化下的最優(yōu)效率ηbFig.8 Optimal efficiency ηbunder different mass ratio and damping ratio

曲面方程：

ηb=0.707 6ξ2m*+13.54ξ3-0.419 2ξm*-
9.734ξ2+0.021 38m*+2.207ξ+0.015 35
(2≤Ur≤12;1.1≤m*≤2;0.03≤ξ≤0.3)

(9)

擬合的復(fù)相關(guān)系數(shù)R-square=0.975 3，均方根誤差RMSE=0.003 007，誤差平方和SSE=0.000 298 4，故式(9)可以準(zhǔn)確地描述質(zhì)量比、阻尼比發(fā)生改變時(shí)，最優(yōu)捕能效率ηb的變化趨勢(shì)。

對(duì)式(9)右側(cè)取關(guān)于ξ的偏導(dǎo)，并使其為零，得到關(guān)于m*、ξ的等式(10)，即某一m*下取得最佳效率ηb的阻尼比ξ求解公式：

(10)

分別代入m*=1.1到2，得ξ=0.148、0.138、0.128、0.117，符合對(duì)圖6的預(yù)測(cè)。這也間接驗(yàn)證了式(9)的可靠性。

將m*=1.1、ξ=0.148代入式(9)，得ηb=14.50%，即計(jì)算區(qū)域內(nèi)的最大捕能效率。

3 結(jié)論

1)振子的捕能效率峰值早于振幅比的峰值出現(xiàn)，這是由于振幅比、頻率比的增長(zhǎng)速率較約化速度的增長(zhǎng)速率變化較小的緣故。

2)根據(jù)模擬結(jié)果，振子在Ur=5.1、m*=1.1、ξ=0.15時(shí)，捕能效率取最大值ηb=14.27%；根據(jù)經(jīng)驗(yàn)公式，振子在m*=1.1、ξ=0.148時(shí)，捕能效率取最大值ηb=14.50%。

3)捕能效率隨約化速度的變化曲線(xiàn)存在最大值，最佳捕能效率對(duì)應(yīng)的約化速度Ur位于區(qū)間[5.0，5.3]。

4)在式(9)所處的低質(zhì)量比區(qū)間上，最優(yōu)捕能效率與質(zhì)量比成反相關(guān)，質(zhì)量比越小捕能效率越高；但阻尼比存在使捕能效率達(dá)到最大的極值，其值隨著質(zhì)量比的增大，由0.093降低至0.068。