山東省威海市第二中學(xué) (264200) 燕 潤

若數(shù)列的通項公式中含有(-1)n，則是一個正負相間的數(shù)列，關(guān)于它的求和問題需要對自然數(shù)n分為奇數(shù)或偶數(shù)等情況來討論解決．但何時進行分類，還需根據(jù)題目的特點擇機而行.下面從幾類典型題目的評析入手，介紹其求解方案，希望能給讀者朋友帶來點收獲．

一、求有限項的和

雖然是有限項，但不易采用逐一求出每一項的值后再求和，也不是簡單的進行正負項處理能夠解決的，大多情況下，都是需要通過特值驗算找出特點，發(fā)現(xiàn)規(guī)律，抓住這些特點解題．

例1 已知函數(shù)f(n)=(-1)n+1n2(n∈N*)，且an=f(n)+f(n+1)，則a1+a2+a3+…+a100等于.

解析：由題意得a1+a2+a3+…+a100=12-22-22+32+32-42-42+52+…+992-1002-1002+1012=-(1+2)+(3+2)+…-(99+100)+(101+100)=-(1+2+…+99+100)+(2+3+…+100+101)=-1+101=100.

評注：通過對前100項和的分析發(fā)現(xiàn)每相鄰兩項都是平方差，通過應(yīng)用公式化簡再分類后發(fā)現(xiàn)是兩組有規(guī)律的數(shù)分別求和，這就找到了解題的關(guān)鍵．由于是求特殊項的和，還需對特別的項如首項、末項的情況進行重點關(guān)注．

例2 數(shù)列{an}滿足an+1+(-1)nan=2n-1，則{an}的前60項和為.

評注：由于本題的內(nèi)在規(guī)律非常隱蔽，通過對三個連續(xù)的四項進行求值驗算，終于發(fā)現(xiàn)其中隱含著一個等差數(shù)列，這樣只需運用等差數(shù)列的求和公式解題就行了．

二、求前2n項和

由已知條件或遞推公式求出通項公式是解決此類問題的前提．在求出數(shù)列的通項公式后，需要把握好前后兩項和的特點，再找出規(guī)律解決問題．

評注：首先根據(jù)已知條件求出了數(shù)列的通項公式，抓住題目中有2n項的特點，充分利用了(-1)n的特殊性，通過相鄰兩項的重新分組，找到了一個新數(shù)列的求和問題，這樣完成解題就順理成章．

(2)根據(jù){an}的關(guān)系式及遞推式可求得a1=

評注：本題也是求一個數(shù)列的前2n項和問題，但無法直接求出數(shù)列的通項公式，而通過求出-a2n-1+a2n關(guān)于n的表達式，然后再尋找其中規(guī)律成功地達到解題目的.找到相鄰兩項的關(guān)系式就是抓住了數(shù)列的前2n項求和問題的特點．

三、求前n項和

此類問題相比較求前2n項求和要復(fù)雜一些，其解法也可能與之不同.常規(guī)的方法是先對n為偶數(shù)時進行求和運算，然后再尋找n為奇數(shù)時它的前n-1項和與n為偶數(shù)時的關(guān)系得到表達式，再加上n項就是n為奇數(shù)時的表達式，最后再列出綜合表達式．還可以是通過對n為偶數(shù)時及n為奇數(shù)時分別就其特點求出表達式．

例5 已知數(shù)列{an}的通項公式為an=(-1)n-1·(4n-3)，求它的前n項和Sn．

評注：由于題中所給的數(shù)列是一個正負相間的數(shù)列，每兩項的符號規(guī)律是一致的，所以通過對幾組兩個相鄰兩項的和進行驗證，就能發(fā)現(xiàn)規(guī)律，迅速解題．在此求和時是對自然數(shù)n分偶數(shù)、奇數(shù)討論，分別列式求和，然后再合并呈現(xiàn)出前n項和Sn的表達式．

評注：此題采取的求解方法是先求出n為偶數(shù)時和的表達式，而當n為奇數(shù)時，則前n-1項和可仿照前面n為偶數(shù)時的求和，然后再加上最后的第n項就得到n為奇數(shù)時的表達式了．這個解題方法也是常用，而處理好n-1時與n時的關(guān)系是解題關(guān)鍵．