盧毅輝， 胡恒春

（上海理工大學(xué) 理學(xué)院，上海 200093）

1 問題的提出

非線性發(fā)展方程可以描述自然界中的各種非線性現(xiàn)象，并且在物理、化學(xué)和生物等學(xué)科中都有廣泛的應(yīng)用。因此，研究這些非線性發(fā)展方程的解及解的性質(zhì)具有重要的理論和現(xiàn)實(shí)意義。到目前為止，學(xué)者們已經(jīng)提出許多有效的方法來研究非線性模型的可積性質(zhì)和精確解，例如：反散射方法、Hirota雙線性方法、擴(kuò)展的tanh方法、指數(shù)展開法、Painlevé分析法等[1-10]。

4 結(jié) 論

通過經(jīng)典李群方法對七階KK方程進(jìn)行了研究，得到了該方程對應(yīng)的無窮小，進(jìn)而得到了不同形式的約化方程。最后，通過求解約化方程得到了多種形式的精確解，包括有理解、橢圓函數(shù)解、三角函數(shù)解、雙曲函數(shù)解、冪級數(shù)解，且給出了冪級數(shù)解收斂性的證明。

通過本文的分析可以看出，在解決非線性發(fā)展方程時，可以通過李群變換法巧妙地對原偏微分方程進(jìn)行約化，進(jìn)而通過對約化方程的求解來獲得原方程的解。但是隨著方程維數(shù)的增加，其約化難度將會變得困難許多。另外，如何對得到的約化方程進(jìn)行有效處理使其轉(zhuǎn)化為我們熟知的方程，亦即探討約化方程與已知方程的聯(lián)系是一個難點(diǎn)問題。目前對約化方程的處理大多借助于函數(shù)展開，例如，擴(kuò)展的tanh展開法、Riccati展開法、微分方程展開法、冪級數(shù)法等。但是，能否通過某些適當(dāng)?shù)淖儞Q將約化方程巧妙地轉(zhuǎn)化為我們?nèi)菀捉鉀Q的方程或者是否有更為有效的方法來處理約化方程值得今后深入研究。