浙江 余繼光 施 崢

研究2020年新高考數(shù)學(xué)命題情況，發(fā)現(xiàn)五新：新理念(立德樹人、核心素養(yǎng)、學(xué)科特色)、新評價(三大情境評價、新題型評價、不同層次評價)、新題型(數(shù)據(jù)題、多選題、結(jié)構(gòu)不良題)、新應(yīng)用(數(shù)學(xué)文化、最新情境、實(shí)踐能力)、新結(jié)構(gòu)(整卷結(jié)構(gòu)、基礎(chǔ)應(yīng)用、科學(xué)調(diào)控)，面對新高考數(shù)學(xué)命題的五新特點(diǎn)，數(shù)學(xué)教學(xué)需要創(chuàng)新教學(xué)實(shí)踐，落實(shí)數(shù)學(xué)基本功的訓(xùn)練(學(xué)會閱讀、學(xué)會運(yùn)算、邏輯推理、提出問題、實(shí)驗(yàn)探究、變式提升等)，提升“未來勞動者”的核心素養(yǎng).

一、2020年新高考數(shù)學(xué)命題“新”在哪兒

從試題外表看，2020年新高考幾份數(shù)學(xué)試卷：北京卷、天津卷、新高考Ⅰ卷(供山東省使用)與新高考Ⅱ卷(供海南省使用)，后兩份第3，6，7，9，13，18，20(2)，21不同，但整個框架是相同的，命題專家根據(jù)各地學(xué)情采取相應(yīng)命題策略，以下以山東卷為例，分析試題亮點(diǎn)，指導(dǎo)教學(xué)實(shí)踐.

1.新理念

1.1立德樹人

新高考數(shù)學(xué)命題從數(shù)學(xué)角度落實(shí)“立德樹人”的教育目標(biāo)，引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會“用數(shù)學(xué)眼光觀察世界”，用數(shù)學(xué)語言表達(dá)觀察，建立數(shù)學(xué)模型，解決實(shí)際情境中的數(shù)學(xué)問題，比如，第3題的志愿者服務(wù)，第5題的體育鍛煉，第15題的勞動實(shí)習(xí)等，都在充分滲透數(shù)學(xué)應(yīng)用題的德育教育功能.

1.2核心素養(yǎng)

新高考數(shù)學(xué)命題體現(xiàn)2017年版2020年修訂的《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》評價中的核心素養(yǎng)，比如第11題邏輯推理，第19題數(shù)據(jù)分析，第22題數(shù)學(xué)運(yùn)算，第6題數(shù)學(xué)建模，第12題抽象思維，第4題直觀思維等，高考數(shù)學(xué)命題逐步進(jìn)入科學(xué)評價領(lǐng)域.

1.3學(xué)科特色

數(shù)學(xué)學(xué)科的新高考命題有自己的特色，一是復(fù)雜的運(yùn)“算”；二是智慧的“思”考；三是綜合的應(yīng)“用”；比如，6道解答題的運(yùn)算量都不小，雖然都是常規(guī)的基本運(yùn)算，但只有運(yùn)算基本功強(qiáng)，才能獲得成功；又如，第17題選擇性的思考，第一年不良結(jié)構(gòu)命題選擇解三角形下手，還比較簡單；再如，一大六小7道數(shù)學(xué)應(yīng)用題，貼近現(xiàn)實(shí)背景與文化背景，再加上多項(xiàng)選擇題中的綜合應(yīng)用，可謂數(shù)學(xué)命題“應(yīng)用”之天下.

2.新評價

2.1三大情境下評價

高考數(shù)學(xué)評價體系中三大評價水平：數(shù)學(xué)的情境，如第14題，考查子數(shù)列等；科學(xué)的情境，如第12題，給出信息熵的概念等；現(xiàn)實(shí)的情境，如第6題，新冠肺炎疫情的感染規(guī)律等，面對這些情境時，檢驗(yàn)考生的“算”“思”“用”的能力.

2.2用新題型來評價

2015年教育部考試中心命題專家以新題型進(jìn)入高考為課題研究結(jié)題，2020年，4道多項(xiàng)選擇題以特有的方式面世，第17題不良結(jié)構(gòu)題給考生以多種選擇，條件開放題滲透高考數(shù)學(xué)命題之中，評價考生的發(fā)散性思維能力，以概率統(tǒng)計(jì)為核心的數(shù)據(jù)題也早已進(jìn)入高考.

2.3不同層次的評價

設(shè)計(jì)基礎(chǔ)題，包括多項(xiàng)選擇題，檢測考生的基本功，為第一層次；設(shè)計(jì)不良結(jié)構(gòu)題，檢測考生的發(fā)散性思維水平，為第二層次；設(shè)計(jì)綜合應(yīng)用題，檢測考生的綜合實(shí)踐能力，為第三層次，檢驗(yàn)不同層次的數(shù)學(xué)思維水平.

3.新題型

3.1多項(xiàng)選擇題溫柔入列

多項(xiàng)選擇題的引入，避免了單項(xiàng)選擇題的弊端——25%猜的命中率，為數(shù)學(xué)基礎(chǔ)和能力在不同層次的學(xué)生都提供了發(fā)揮空間，更好地體現(xiàn)區(qū)分選拔功能.

3.2結(jié)構(gòu)不良題的選擇性

3.3未來會增加新題型

2020年新高考數(shù)學(xué)命題還處在過渡期，2015年教育部考試中心的新題型研究成果，還有舉例題、邏輯題等，在未來高考數(shù)學(xué)命題中也會逐步面世，以特有形式正式進(jìn)入高考.

4.新應(yīng)用

4.1數(shù)學(xué)文化滲透

了解數(shù)學(xué)文化是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的任務(wù)之一，最近幾年全國卷及各地單獨(dú)命題卷，一道數(shù)學(xué)文化題成為標(biāo)配，今年新高考數(shù)學(xué)命題把我國古代的一項(xiàng)發(fā)明：“日晷”與立體幾何的聯(lián)系挖掘出來，反映我國古代勞動人民的數(shù)學(xué)智慧.

4.2最新情境滲透

高考數(shù)學(xué)命題開始引入類似政治的“時事”題，以最新的國情為背景來命制數(shù)學(xué)應(yīng)用問題，突出數(shù)學(xué)應(yīng)用的教育功能，25年以來，這一特點(diǎn)一直持續(xù)著，2020年最新情境就是新冠肺炎疫情的傳染與傳播，第6題將病毒傳播的最核心問題編制成題.

4.3實(shí)踐能力滲透

培養(yǎng)中學(xué)生的創(chuàng)新意識與實(shí)踐能力一直是基礎(chǔ)教育的一大任務(wù)，第15題“學(xué)生加工制作零件”正是體現(xiàn)這一點(diǎn)，回顧立體幾何教學(xué)，引導(dǎo)學(xué)生制作空間圖形模型，正是在培養(yǎng)學(xué)生的動手實(shí)踐能力.

5.新結(jié)構(gòu)

5.1整卷結(jié)構(gòu)設(shè)置新

新高考卷包括單項(xiàng)選擇題、多項(xiàng)選擇題、填空題、解答題四部分，其中單項(xiàng)選擇題8題40分，多項(xiàng)選擇題4題20分，填空題4題20分，解答題部分取消了選考題內(nèi)容，共6題70分，全卷總題量為22題，試卷結(jié)構(gòu)逐步完善.

5.2基礎(chǔ)應(yīng)用比例新

新高考卷數(shù)學(xué)應(yīng)用題(含數(shù)學(xué)文化題)設(shè)計(jì)了六小一大共7道題，具體有科學(xué)情境、實(shí)際情境、文化情境三類，遠(yuǎn)遠(yuǎn)超過以前及同年其他試卷比例，強(qiáng)化了數(shù)學(xué)應(yīng)用意識的培養(yǎng)，與當(dāng)代科技發(fā)展環(huán)境相吻合.

5.3科學(xué)調(diào)控策略新

新高考數(shù)學(xué)命題科學(xué)調(diào)控試卷難度，貫徹了“低起點(diǎn)、多層次、高落差”的調(diào)控策略，發(fā)揮了高考數(shù)學(xué)的選拔功能和良好的導(dǎo)向作用，“低起點(diǎn)”體現(xiàn)為試卷在選擇題、填空題、解答題部分進(jìn)行了系統(tǒng)設(shè)計(jì)，起始題部分起點(diǎn)低、入口寬，面向全體學(xué)生.“多層次”體現(xiàn)為試題的難度設(shè)計(jì)上重視難度和思維的層次性.“高落差”體現(xiàn)為重視數(shù)學(xué)高考的綜合性、創(chuàng)新性.在試題的難度設(shè)計(jì)上不僅有層次性，而且在思維的靈活性、深刻性，方法的綜合性、探究性和創(chuàng)造性等方面，科學(xué)把握試題的區(qū)分度，發(fā)揮數(shù)學(xué)高考的選拔性功能.

二、面對新高考數(shù)學(xué)命題教學(xué)需要創(chuàng)新實(shí)踐

1.落實(shí)數(shù)學(xué)基本功的訓(xùn)練

不論高考數(shù)學(xué)命題改革如何進(jìn)行，數(shù)學(xué)基本功永遠(yuǎn)是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的頭等大事，掌握審題基本功，運(yùn)算基本功，畫圖基本功，技術(shù)基本功，策略基本功，命題基本功等，沒有這些基本功，掌握再多的方法、技巧、公式都是空中樓閣，在具體實(shí)踐或應(yīng)用中都會落空.

1.1教生數(shù)學(xué)閱讀

用心閱讀數(shù)學(xué)教材是一件難事，對于高一學(xué)生教師應(yīng)引導(dǎo)閱讀，特別是教材中的《主編寄語》《閱讀與思考》《章頭圖與章引言》等欄目，不能只是“死”刷題，通過閱讀至少使學(xué)生了解數(shù)學(xué)符號語言，文字語言，以及數(shù)學(xué)文化，幫助學(xué)生突破數(shù)學(xué)文化題.

1.2關(guān)注數(shù)學(xué)運(yùn)算

引導(dǎo)學(xué)生對于數(shù)字計(jì)算、分?jǐn)?shù)分式運(yùn)算、解方程(組)、代數(shù)式變形等要達(dá)到熟練程度，數(shù)學(xué)運(yùn)算要優(yōu)化運(yùn)算程序，把握運(yùn)算方向，簡化運(yùn)算過程，比如，求解下列問題：

以上兩問題采自圓錐曲線問題求解片斷，學(xué)生在運(yùn)算戰(zhàn)場上不能當(dāng)逃兵.

1.3重在邏輯推理

數(shù)學(xué)教學(xué)注重邏輯推理是常識，但在概念內(nèi)涵與外延、解題表達(dá)、綜合應(yīng)用中真正做到不是一件容易的事，比如下列一道測試題：

問題3：數(shù)列{an}滿足a1=0.5，an=1+lnan+1，設(shè)Tn為數(shù)列{an}的前n項(xiàng)之積，則T2019的取值范圍是

( )

上述邏輯推理的痛點(diǎn)很多，一開始想直接找到通項(xiàng)關(guān)系式，缺少從特殊入手，尋找規(guī)律的邏輯推理意識，另外學(xué)生不了解泰勒不等式知識ex≥1+x，教學(xué)中引導(dǎo)學(xué)生觀察代數(shù)式結(jié)構(gòu)是第一重要的事.

1.4觀察提出問題

數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)與應(yīng)用實(shí)踐是數(shù)學(xué)教學(xué)的一個組成部分，也是很多教師的薄弱點(diǎn)，引領(lǐng)學(xué)生提出問題并解決問題是一個重要的學(xué)習(xí)方式，德國物理學(xué)家海森堡說過：“提出正確的問題，往往等于解決了問題的大半”.培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)建模意識應(yīng)該從提出問題開始.從數(shù)學(xué)角度而言，學(xué)會用數(shù)學(xué)的眼光觀察自然、風(fēng)光、社會、經(jīng)濟(jì)等，提出有數(shù)學(xué)價值的實(shí)際問題，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用意識是重要的，這體現(xiàn)一個人的數(shù)學(xué)應(yīng)用素養(yǎng)，比如，下列問題探究：

問題4：羅浮宮廣場上有兩個大小不同的金字塔，如圖，有人從某個角度看，認(rèn)為是一個大四棱錐與一個小四面體，于是創(chuàng)作了下面的數(shù)學(xué)應(yīng)用題：

在平面α上放置一個正四棱錐P-ABCD與一個正四面體Q-B1C1E，正方形ABCD與正三角形B1C1E均在平面α上，

(Ⅰ)如果兩個幾何體的高相等，BC=B1C1，讓△QB1C1圍繞BC旋轉(zhuǎn)，當(dāng)平面PBC與平面QB1C1重疊時，△PBC與△QB1C1是否重合？

(Ⅱ)BC=B1C1，讓△QB1C1旋轉(zhuǎn)，當(dāng)△PBC與△QB1C1重合時，兩個幾何體構(gòu)成的面數(shù)為多少？

(Ⅲ)BC=B1C1，讓△QB1C1旋轉(zhuǎn)，當(dāng)△PBC與△QB1C1重合時，正四棱錐P-ABCD的高與正四面體Q-B1C1E的高之比是多少？

(Ⅱ)當(dāng)△PBC與△QB1C1重合時，兩個幾何體構(gòu)成的面數(shù)為5，因?yàn)榇藭r△PAB與△QB1E共面，△PDC與△QC1E共面.

解讀：學(xué)生生活的空間內(nèi)外有大量與數(shù)學(xué)相關(guān)的現(xiàn)象，學(xué)會觀察，學(xué)會提問題，學(xué)會提有數(shù)學(xué)意義的問題，這本身就是培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用意識與數(shù)學(xué)建模能力，高考數(shù)學(xué)命題專家也是通過觀察來編制數(shù)學(xué)應(yīng)用問題的.

1.5變式提升思維

變式教學(xué)是數(shù)學(xué)基礎(chǔ)教育的一個王牌，也是提升學(xué)生數(shù)學(xué)思維的重要手段，更是解除學(xué)生思維痛點(diǎn)的一劑良藥，比如，二元二次方程求解是學(xué)生的一個薄弱點(diǎn)，對高一優(yōu)秀學(xué)生設(shè)計(jì)下列問題串：

問題5：與學(xué)生一起思考下列一組解方程組問題：

經(jīng)過上述解二元二次方程組的訓(xùn)練后，高二求解圓錐曲線問題時就會輕松很多.

1.6養(yǎng)育核心素養(yǎng)

由具體到抽象，由特殊到一般，整個過程是學(xué)生在數(shù)學(xué)建?；顒又兄鸩叫纬苫蝠B(yǎng)育的.比如，2019年版人民教育出版社A版數(shù)學(xué)必修第1冊，P141第13題(2)，如果學(xué)生經(jīng)歷以下過程會終生難忘.

問題6：比較log23，log34，log45的大小.

變式1.比較大?。簂oga(a+1)與log(a+1)a，a為正整數(shù).

變式2.比較大?。簂oga(a+1)與log(a+1)a，a>0，a≠1.

探究后得到的結(jié)論：

結(jié)論1.當(dāng)a>1時，loga(a+1)>logaa=1，log(a+1)a

所以loga(a+1)>log(a+1)a；

然后引申到冪指數(shù)的比較：

變式3：比較aa+1與(a+1)a(a>0，a≠1)的大小.

結(jié)論4.當(dāng)0

養(yǎng)育指導(dǎo)：以上問題的抽象表達(dá)是在數(shù)學(xué)探究學(xué)習(xí)中形成的概括，這一能力也是在此探尋過程中養(yǎng)育的.

2.增加數(shù)學(xué)應(yīng)用問題教學(xué)

數(shù)學(xué)應(yīng)用問題教學(xué)在某些學(xué)校還比較薄弱，數(shù)學(xué)教師怕麻煩，自1995年數(shù)學(xué)應(yīng)用題進(jìn)入高考數(shù)學(xué)試卷以來，教師的重視程度在不斷提升，2017年版2020年修訂的《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》基本理念第2條中指出“提升學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)解決實(shí)際問題的能力”，第3條中也明確提出“不斷引導(dǎo)學(xué)生感悟數(shù)學(xué)的科學(xué)價值、應(yīng)用價值、文化價值和審美價值”，在學(xué)業(yè)水平與高考命題建議中也明確指出：“命題時，應(yīng)有一定數(shù)量的應(yīng)用問題”.

2.1不僅僅是數(shù)學(xué)應(yīng)用題教學(xué)

數(shù)學(xué)應(yīng)用題的教學(xué)具有兩方面的功能：一方面是數(shù)學(xué)知識應(yīng)用能力的培養(yǎng)；另一方面是社會責(zé)任感的潛意識教育，如環(huán)境保護(hù)意識、流行病預(yù)防意識等的教育，在學(xué)科教學(xué)中滲透現(xiàn)代科學(xué)意識的教育，因此充分挖掘數(shù)學(xué)應(yīng)用問題這一教育功能是數(shù)學(xué)應(yīng)用問題教學(xué)的一個重要課題.

問題7：數(shù)學(xué)模型顯示：有關(guān)“2019—nCoV急性呼吸傳染病”的流行病調(diào)查發(fā)現(xiàn)，地區(qū)A新增新冠病例人數(shù)規(guī)律近似于圖形f(n)(人)(如圖，n表示第n天，12月18日記為n=0)，由于地區(qū)A的病毒攜帶者傳染到地區(qū)B，導(dǎo)致地區(qū)B新增新冠病例人數(shù)規(guī)律近似于f(n-14)(人)，現(xiàn)有下列判斷：

①1月31日地區(qū)B新增新冠病例人數(shù)達(dá)到100人；

②預(yù)測3月2日左右地區(qū)B新增新冠病例人數(shù)將進(jìn)入下降趨勢；

③預(yù)測地區(qū)B累計(jì)新冠病例人數(shù)不會超過6 000人；

④預(yù)測地區(qū)B累計(jì)新冠病例人數(shù)一定不超過地區(qū)A累計(jì)新冠病例人數(shù)；

則符合上述規(guī)律的判斷有________.

問題思考關(guān)鍵是把握地區(qū)A與地區(qū)B有關(guān)新增新冠病例的規(guī)律是由f(n)到f(n—14)，只是時間推遲了14天，新增新冠病例人數(shù)并沒有變化，然后做出判斷，地區(qū)A與地區(qū)B有關(guān)新增新冠病例的規(guī)律是一致的，所以符合上述規(guī)律的判斷有①②③.

2.2提升建立數(shù)學(xué)模型的能力

2020年高考數(shù)學(xué)命題加大數(shù)學(xué)建模的測試力度，特別是根據(jù)實(shí)際情境加工的數(shù)學(xué)問題.

(Ⅰ)求橋AB的長度；

【答案】(Ⅰ)AB=120(米)；(Ⅱ)當(dāng)O′E為20米時，橋墩CD與EF的總造價最低.