廣東 閆 偉

直線與拋物線交匯問(wèn)題是高考和?？贾械闹攸c(diǎn)考查對(duì)象，其內(nèi)涵豐富，靈活多變，具有較高的研究?jī)r(jià)值.本文對(duì)武漢市2020屆高中畢業(yè)生質(zhì)量檢測(cè)試題中的第19題進(jìn)行深入研究，探究試題本質(zhì)，并對(duì)結(jié)論進(jìn)行拓展及延伸應(yīng)用，以此指導(dǎo)高三復(fù)習(xí)備考，實(shí)現(xiàn)高效復(fù)習(xí).

1. 試題呈現(xiàn)與分析

(1)求拋物線Γ的方程；

(2)已知經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(3,-2)的直線交拋物線Γ于M,N兩點(diǎn)，經(jīng)過(guò)定點(diǎn)B(3,-6)和M點(diǎn)的直線與拋物線Γ交于另一點(diǎn)L，問(wèn)直線NL是否恒過(guò)定點(diǎn)，如果過(guò)定點(diǎn)，求出該定點(diǎn)，否則說(shuō)明理由.

試題分析：試題表面常規(guī)、內(nèi)涵深刻，給人以“題在書外，根在書內(nèi)”的感覺(jué)，從知識(shí)層面看主要考查拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程、幾何性質(zhì)、直線和拋物線的位置關(guān)系及直線過(guò)定點(diǎn)問(wèn)題，均是解析幾何中的熱點(diǎn)和難點(diǎn)；從能力層面看主要考查學(xué)生運(yùn)算求解、推理論證等能力，試題較好地檢測(cè)了學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)和學(xué)習(xí)潛能.

2. 解法探究

(1) 拋物線Γ的方程為y2=4x，過(guò)程略；

評(píng)注：本解法通過(guò)設(shè)M點(diǎn)坐標(biāo)表示直線MA,ML的方程，進(jìn)而與拋物線方程聯(lián)立得N,L兩點(diǎn)坐標(biāo)，并求得直線NL的方程，從而得到定點(diǎn)坐標(biāo)，解題思路清晰明了，但是運(yùn)算極其繁雜，對(duì)學(xué)生的運(yùn)算能力要求較高.

評(píng)注：本解法相對(duì)于解法1，運(yùn)算量就小很多，通過(guò)求設(shè)M,N,L坐標(biāo)并表示出直線MN，ML的方程，結(jié)合已知點(diǎn)A,B坐標(biāo)求得N,L兩點(diǎn)縱坐標(biāo)之積，這是突破本題的關(guān)鍵，雖說(shuō)變量較多，只要牢牢把握N,L兩點(diǎn)坐標(biāo)這一本質(zhì)就不難得到結(jié)果，學(xué)生應(yīng)重視相關(guān)結(jié)論的積累.

3 .基于GeoGebra的探究及反思

通過(guò)以上的分析和解答，得知直線NL恒過(guò)定點(diǎn)(-3,0)，那么該定點(diǎn)和題目中的拋物線參數(shù)p以及點(diǎn)A,B的坐標(biāo)有關(guān)系嗎？如果將參數(shù)p以及點(diǎn)A,B的坐標(biāo)一般化，定點(diǎn)又會(huì)是什么呢？由于涉及的運(yùn)算和直線NL的直線方程較為復(fù)雜，探尋定點(diǎn)有一定的難度，因此筆者借助于GeoGebra平臺(tái)進(jìn)行探究，通過(guò)實(shí)驗(yàn)演示找到與上述參數(shù)相關(guān)的定點(diǎn)，同時(shí)為后面的代數(shù)證明提供更加直觀形象的思路支持.

圖1

圖2

通過(guò)實(shí)驗(yàn)探究可知：只有當(dāng)A,B兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)乘積等于參數(shù)p與橫坐標(biāo)m的乘積的2倍，即ns=2pm時(shí)，直線NL恒過(guò)定點(diǎn)(-m,0). 于是我們可以將試題結(jié)論一般化.

4. 推廣結(jié)論，揭示本質(zhì)

通過(guò)以上證明可知，試題條件中的A,B點(diǎn)似乎有些多余，因?yàn)橹本€NL恒過(guò)的定點(diǎn)(-m,0)僅僅和N,L兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)之積以及參數(shù)p相關(guān)，即yNyL=2pm；于是上述結(jié)論可以繼續(xù)優(yōu)化.

結(jié)論2：已知拋物線Γ:y2=2px(p>0)，N(x1,y1),L(x2,y2)是拋物線上異于原點(diǎn)的兩個(gè)點(diǎn)，若滿足y1y2=2pm，則直線NL恒過(guò)定點(diǎn)(-m,0).

結(jié)論2的證明過(guò)程與結(jié)論1一樣，此處不再贅述. 由結(jié)論2可知，要想解決試題中直線NL過(guò)定點(diǎn)問(wèn)題必須先要求解N,L兩點(diǎn)縱坐標(biāo)的積，這才是試題的本質(zhì)；相對(duì)于試題中先給出兩個(gè)定點(diǎn)A,B，再過(guò)A,B的直線與拋物線相交產(chǎn)生M,N,L三點(diǎn)，條件繁冗，干擾性較大，很多學(xué)生對(duì)于條件中諸多參變量之間的轉(zhuǎn)化關(guān)系較陌生，其根源在于沒(méi)有把握好試題的本質(zhì)，對(duì)于隱藏在題目背后的意圖沒(méi)有理解到位，這就需要學(xué)生在平時(shí)重視常用結(jié)論和方法的積累，善于鉆研和思考問(wèn)題的本質(zhì)規(guī)律，從而提高復(fù)習(xí)備考效率.

我們?cè)谔骄恳粋€(gè)問(wèn)題時(shí)應(yīng)該從多角度分析，充分挖掘其潛在的價(jià)值，現(xiàn)對(duì)結(jié)論2進(jìn)行逆向探究可以得到：

結(jié)論3：已知拋物線Γ:y2=2px(p>0)，若過(guò)點(diǎn)M(m,0)的直線交拋物線于N(x1,y1),L(x2,y2)兩點(diǎn)，則有y1y2=-2pm，且x1x2=m2.

5. 追根溯源，總結(jié)提升

蘇教版普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書《數(shù)學(xué)(選修2-1)》第54頁(yè)習(xí)題2.4第12題如下：

設(shè)過(guò)拋物線y2=2px的焦點(diǎn)的一條直線和拋物線有兩個(gè)交點(diǎn)，且兩個(gè)交點(diǎn)的縱坐標(biāo)為y1,y2，求證：y1y2=-p2.

本題實(shí)質(zhì)是上述質(zhì)檢試題的源頭，茫茫題海，問(wèn)解何處覓，課本尋根、課本探源.因此在平時(shí)的教學(xué)過(guò)程中，要學(xué)會(huì)對(duì)問(wèn)題的深入探究以及對(duì)同根同源同宗問(wèn)題的延續(xù)及推理.

直線與拋物線、橢圓的位置關(guān)系一直是高考和模擬考中的熱點(diǎn)和難點(diǎn)，在很多圓錐曲線題目中都是探求一些特殊結(jié)論(如定點(diǎn)、定值問(wèn)題)，這些結(jié)論看似特殊，實(shí)則都具有普遍性，它們的背景往往是某種圓錐曲線的一個(gè)特定性質(zhì)，由這些性質(zhì)可以衍生出許多形式不同但本質(zhì)相同的試題，研究這類試題不僅能夠更好地把握解析幾何的本質(zhì)，還能擴(kuò)展視野、提升解題能力以及核心素養(yǎng).在平時(shí)的學(xué)習(xí)過(guò)程中，不僅要學(xué)會(huì)推理，尋找聯(lián)系，還要學(xué)會(huì)對(duì)一些結(jié)論進(jìn)行整理、推廣及應(yīng)用.

6. 延展應(yīng)用，拾級(jí)而上

上述結(jié)論雖說(shuō)不難求證，但是若能合理地運(yùn)用在解決一些直線與拋物線相交的問(wèn)題上，則可以減少大量的運(yùn)算過(guò)程，避免繁冗的推理，實(shí)現(xiàn)高效解題，下面舉例說(shuō)明.

評(píng)注：本題的解題關(guān)鍵在于由斜率結(jié)果轉(zhuǎn)化到A，B兩點(diǎn)縱坐標(biāo)的乘積為定值，再結(jié)合上述結(jié)論2鎖定直線AB恒過(guò)的定點(diǎn)，從而可知當(dāng)直線AB與定點(diǎn)和原點(diǎn)的連線垂直時(shí)，距離最大；借助結(jié)論我們可以迅速找到問(wèn)題的突破口，抓住本質(zhì)，有效地降低了試題難度.

【例2】若拋物線C:y2=4x的焦點(diǎn)為F，過(guò)點(diǎn)P(2,0)的直線交拋物線于A(x1,y1),B(x2,y2)兩點(diǎn)，直線AF,BF與拋物線交于M,N兩點(diǎn).

評(píng)注：由于直線AM,BN都過(guò)焦點(diǎn)，解題的關(guān)鍵在于借助結(jié)論3將M,N坐標(biāo)關(guān)系轉(zhuǎn)化為A,B的坐標(biāo)關(guān)系，從而得到兩直線斜率的等量關(guān)系式；在解題時(shí)合理使用結(jié)論能簡(jiǎn)化推理和運(yùn)算過(guò)程，具有簡(jiǎn)潔、直觀的特點(diǎn)，極大地提高了解題效率.

7. 結(jié)束語(yǔ)

高考和模擬考中的試題大部分都是源于課本但又高于課本，結(jié)論雖然陌生，但又有據(jù)可依.因此在平時(shí)的課堂教學(xué)中，要多把教材上的知識(shí)點(diǎn)、例題以及練習(xí)題作為學(xué)習(xí)的第一資源，多加探究、聯(lián)想、類比、拓展,串聯(lián)一些相關(guān)的知識(shí),讓考試回歸課本，讓解決問(wèn)題變成水到渠成的事情，這樣我們的數(shù)學(xué)課堂才會(huì)更高效.