安徽 石新星 王成功

導(dǎo)數(shù)是高考的必考考點(diǎn)，主要考查方向是導(dǎo)數(shù)的概念、導(dǎo)數(shù)的幾何意義、導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性、導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的極值和最值、導(dǎo)數(shù)與不等式以及導(dǎo)數(shù)與方程等.足見導(dǎo)數(shù)在高考中比重大、考查角度廣、難度大、對學(xué)生綜合素質(zhì)要求高.很多學(xué)生會因?yàn)檎也坏接行У慕忸}方法而放棄導(dǎo)數(shù)題.其實(shí)解決導(dǎo)數(shù)問題的方法是多種多樣的，這給原本就有很大難度的導(dǎo)數(shù)問題披上了更加神秘的面紗.然而，萬變不離其宗，高考立足于課本基礎(chǔ)知識、基本定義，考查的是學(xué)生的綜合能力.本文筆者將從巧用導(dǎo)數(shù)的定義出發(fā)，給出破解導(dǎo)數(shù)問題的一般方法，以饗讀者.意在讓我們的高三師生，在高考復(fù)習(xí)的時候能夠正確開啟復(fù)習(xí)之門，立足課本，把握知識的本質(zhì)，掌握以不變應(yīng)萬變的解題策略.

一、試題呈現(xiàn)

【例1】(2018·全國卷Ⅰ文·21)已知函數(shù)f(x)=aex-lnx-1.

(Ⅰ)設(shè)x=2是f(x)的極值點(diǎn)，求a，并求f(x)的單調(diào)區(qū)間；

【例2】(2019·全國卷Ⅰ文·20)已知函數(shù)f(x)=2sinx-xcosx-x，f′(x)為f(x)的導(dǎo)數(shù).

(Ⅰ)證明：f′(x)在區(qū)間(0,π)存在唯一零點(diǎn)；

(Ⅱ)若x∈[0,π]時，f(x)≥ax，求a的取值范圍.

二、問題探究

【例1分析】(Ⅰ)求出導(dǎo)函數(shù)f′(x)，由f′(2)=0，求出a，并驗(yàn)證x=2是f(x)的極值點(diǎn)，進(jìn)而求出f(x)的單調(diào)區(qū)間；(具體解析略)

以上兩個思路都是解決導(dǎo)數(shù)與不等式問題的常規(guī)思路，思路一,無需過多的對函數(shù)進(jìn)行變形，但是需要對導(dǎo)函數(shù)的一部分繼續(xù)求導(dǎo)，計算量大，處理起來較為麻煩.思路二,利用單調(diào)性和放縮思想，重新構(gòu)造函數(shù)，結(jié)合不等式的傳遞性來求解，這種思路把函數(shù)具體化了，避免了繁雜的計算.橫觀這兩個解題思路，總有一種為了解題而解題的感覺，這樣做也未能體現(xiàn)出高考題立足課本知識，是對課本知識的延續(xù)和拓展的特點(diǎn).翻開課本(人教A版高中數(shù)學(xué)選修2-2第19頁)，課后習(xí)題B組第2題：

設(shè)函數(shù)f(x)=1-ex的圖象與x軸相交于點(diǎn)P，求曲線在點(diǎn)P處的切線的方程.

那么本題第二問會不會也與切線有關(guān)系呢？能否從切線的角度來尋找破題方法呢？

【解析】(Ⅰ)f′(x)=2cosx-cosx+xsinx-1=cosx+xsinx-1,

令g(x)=cosx+xsinx-1，則g′(x)=-sinx+sinx+xcosx=xcosx,

綜上所述，f′(x)在區(qū)間(0,π)存在唯一零點(diǎn).

(Ⅱ)若x∈[0,π]時，f(x)≥ax，即f(x)-ax≥0恒成立,

①當(dāng)a≤-2時，h′(x)min=h′(π)=-2-a≥0，即h′(x)≥0在[0,π]上恒成立,所以h(x)在[0,π]上單調(diào)遞增,所以h(x)≥h(0)=0，即f(x)-ax≥0，此時f(x)≥ax恒成立;

【嘗試切線法思路】因?yàn)閥=ax過原點(diǎn)，且h(x)=2sinx-xcosx-x的圖象也過(0,0)點(diǎn)，設(shè)曲線h(x)在(0,0)處的切線斜率為k，因此a≤k成立即可.

【解析】令h(x)=2sinx-xcosx-x，所以h′(x)=2cosx-cosx+xsinx-1，所以h′(0)=2cos0-cos0+0-1=0，所以若x∈[0，π]時，f(x)≥ax，則a∈(-∞,0].

通過以上兩道高考試題的解題過程比較，我們不難發(fā)現(xiàn)，從導(dǎo)數(shù)的定義入手，巧用切線思想，不僅能夠快速找到解題方法，而且會讓很多復(fù)雜的問題變得更加簡單.這也就要求教師在高三復(fù)習(xí)的時候，不能帶著學(xué)生沉浮于題海中，而是要站在課本定義和概念的瞭望塔上，找到解題的方向.

三、拓展推廣——切線是破解導(dǎo)數(shù)題的利刃

用切線來解決導(dǎo)數(shù)問題，不是以上兩例的專屬方法.也不是我們所想的“巧合”，而是各類試題命制的角度，更是“新課程標(biāo)準(zhǔn)”和高考“考試說明”對課本基礎(chǔ)知識的要求.也是高考對學(xué)生基本能力的考查.所以，用導(dǎo)數(shù)的切線來尋找解決問題的方法是可以在一定范圍內(nèi)推而廣之的，并且是行之有效的.

(1)求實(shí)數(shù)a的值以及切點(diǎn)坐標(biāo)；

(2)求證：g(x)≥f(x).

解法三:作為選擇題，本題可以通過比較選項(xiàng)，利用排除法只需要驗(yàn)證a=1和a=4時是否滿足題意即可.

利用切線解決導(dǎo)數(shù)問題，不是只適用于特殊問題，而是具有一般性的，可以解決的是一類問題,只是有的題目利用切線來解決可能構(gòu)造的函數(shù)較復(fù)雜或者是計算繁雜.