肖麗麗，谷繼品，靳峰雷，浦恩山，劉秀亭

(中國原子能科學研究院 反應堆工程技術研究部，北京 102413)

控制棒驅動機構(CRDM)是反應堆本體中重要的核安全設備，其功能是通過改變控制棒在堆芯中的位置來調節(jié)反應堆的反應性[1]。作為反應堆控制保護系統(tǒng)的重要組成部分，CRDM能實現(xiàn)對反應堆指定功率水平的保持、停堆和再次臨界狀態(tài)的轉換。在事故工況下，CRDM必須能完成快速落棒，實現(xiàn)安全停堆[2]。CRDM能否安全、可靠地運行對反應堆的可運行性具有重要影響。

為保證反應堆的安全、穩(wěn)定運行，核電站對CRDM的落棒失效率提出較高的要求，一般在10-4量級。對于新研發(fā)的CRDM，需通過試驗來驗證落棒失效率是否滿足給定的指標要求。CRDM落棒的結果有兩種：成功或失敗，屬于成敗型產品。設計落棒失效率驗證試驗方案屬于成敗型產品可靠性的研究范圍。

近年來，國內有關部門和科研人員非常關注成敗型產品可靠性試驗方案設計方面的研究，進行了許多理論分析[3-8]，為成敗型產品進行可靠性試驗研究提供了良好的理論基礎。針對成敗型產品的可靠性試驗主要分為兩類，一類是基于傳統(tǒng)統(tǒng)計學的截尾序貫試驗及定數(shù)試驗[3-5]，另一類是基于Bayes統(tǒng)計學的試驗方案[6-8]。Bayes方法較經(jīng)典方法在設計成功率的驗證試驗方案時，一般具有所需要的試驗次數(shù)較小的特點。然而，先驗分布的確定至關重要，直接影響試驗方案的確定。在實際的工程應用中，常常無法得到先驗分布信息，更傾向于使用傳統(tǒng)的截尾試驗。文獻[3]提出將與生產方風險和使用方風險相關的公式轉化為等價的積分形式，然后再求解，由于積分函數(shù)沒有原函數(shù)，在實際應用中，不便于計算。

目前，關于成敗型產品的驗證試驗，可參照的試驗標準有GB/T 2828.1—2012[4]和GB 5080.5—85[5]。其中，GB/T 2828.1—2012給出了生產方風險在0.001～0.20之間、規(guī)定成功率為1-AQL(AQL為接收質量限)時所要求的試驗數(shù)以及接收和拒收數(shù)，并未采用使用方風險作為確定試驗數(shù)的基礎風險。GB 5080.5—85同時考慮了生產方風險和使用方風險，以表格形式列出一些試驗方案，包含做出接收判決時所需試驗次數(shù)和做出拒收判決時所需的失效數(shù)。然而，僅當實際要求的成功率在表格中數(shù)據(jù)的范圍內，并且生產方風險和使用方風險相同時，才能通過查表或內插法得到相應的試驗方案。該標準未給出設計算法及超過其表格范圍的成功率指標的試驗方案，也無法處理生產方風險和使用方風險不同的情況。CRDM的落棒失效率指標要求已超出GB 5080.5—85的表格范圍，如何設計試驗方案是一個亟需解決的問題。

為滿足實際的工程需求，本文提出一種基于二分法的算法，可對任意給定的落棒失效率、風險值及鑒別比進行計算，給出相應的定數(shù)截尾試驗方案。

1 問題描述

設CRDM的單次落棒試驗成功率為R，則做n次試驗，落棒失效次數(shù)不多于r次的概率為：

(1)

為描述問題的方便，引入1個新的參數(shù)：接收失效數(shù)a，顯然有a=rRE-1。

按照生產方風險和使用方風險的定義，利用式(1)，可知：

(2)

(3)

故針對CRDM落棒失效率的驗證試驗，可簡化為問題：已知α、β、R0、R1，給出相應的定數(shù)截尾試驗方案。

在計算中，由于要求試驗次數(shù)nf和失效數(shù)rRE均為非負整數(shù)，上面兩個方程僅能近似滿足。

2 算法流程

關于CRDM落棒失效率的驗證試驗方案設計算法的具體流程如圖1所示。圖1中，α′為實際的生產方風險，β′為實際的使用方風險。

圖1 算法流程Fig.1 Algorithm flow

該算法中比較關鍵的步驟是如何通過式(3)計算得到可能的最小試驗次數(shù)，即如何求下面這個函數(shù)的近似非負整數(shù)解：

(4)

注意到，上式涉及到階乘計算：

(5)

文獻[3]中指出當產品的成功率很高時，相應試驗次數(shù)n也較大，因此涉及到的階乘值就會非常大，以至于計算機可能無法進行計算。實際上，式(4)中每項不僅含有階乘，還有關于成功率和非成功率的乘積，在計算中，可將式(4)改寫為如下形式：

(6)

這樣，乘積中每項的數(shù)值均不大，即使成功率要求再高，也不會出現(xiàn)計算機無法計算的情況。

由于上面的函數(shù)涉及到復雜的組合計算，無解析解。從GB 5080.5—85的表2中可查到：當α=0.05、β=0.05、DR=3、R0=0.999 5時，接收所要求的固定試驗數(shù)nf=108 002，拒收失效數(shù)rRE=67。如果通過枚舉法求解，計算量較大，需尋求適當?shù)慕夥?，本文給出了二分法求解方法。

3 二分法求解

根據(jù)式(4)，對于任意的n≥a，有：

(7)

CRDM不可接收的落棒失效率F1為：

k=0,1,…,a

(8)

將式(8)代入式(7)，f(n+1)-f(n)≤0，故f(n)關于n遞減。

根據(jù)R0及R1的定義，有：

(9)

求解上述不等式組，得到：

(10)

由于nf為非負整數(shù)，故有：

(11)

其中，[x]為最接近于x的整數(shù)，即nf是與f(n)和n軸交點最接近的那個整數(shù)值。

4 算法驗證

計算精度公式及計算精度的選取會影響到最終結果。若計算精度公式中含有絕對值，則可能得到α′>α的結果。實際上，要求風險值盡可能小，計算風險值最好小于名義風險值。GB 5080.5—85列舉的240個定數(shù)截尾試驗中，所有生產方風險計算值均小于名義值，僅有6個方案中使用方風險計算值大于名義值。針對任意1組給定的α、β、R0、R1，通過多次運行程序，結果顯示：計算精度在一定范圍內，nf和rRE有唯一確定的解；當計算精度小于某一數(shù)值時，無解。即計算精度取值不宜過小，否則無解；而計算精度可取值的最小值又與α、β、R0、R1有關，無法通過數(shù)學推導得到確定表達式或數(shù)值。

經(jīng)過反復嘗試，為得到與GB 5080.5—85盡可能多相同的定數(shù)截尾試驗方案，可設置如下。

二分法中的精度為ω=1，由于f(n)單調遞減，最后取右端點值為nf，此時，所求的β′≤β。

主算法中計算精度公式及計算精度分別為：

s=α-α′

(12)

(13)

同時，為保證生產方風險計算值小于名義值，要求s≥0，即僅滿足0≤s≤ε，則可停止迭代。

在上面的設置下，除了6個方案外均能得到與GB 5080.5—85完全相同的結果，6個不同的方案列于表1。

表1 定數(shù)截尾試驗方案Table 1 Fixed-end censored test scheme

對于編號1～5，兩個方案的差別僅在于接收所要求的固定試驗數(shù)不同，本文給出的方案均較GB 5080.5—85方案多1次試驗，計算的實際風險值均較名義風險值小，如果在迭代時未要求β′≤β，也能得到與GB 5080.5—85相同的方案，然而無法保證迭代停止準則始終不變。

對于編號6，GB 5080.5—85中拒收失效數(shù)為9，相應的使用方風險值較名義風險值大0.1，生產方風險值較名義風險值小0.1，該方案的精度與其他方案不一致；本文方案給出的拒收失效數(shù)為8，相應的實際風險值與名義風險值也比較接近；在IEC標準 61123—1991[10]的表格2中相應的方案為：nf=28，c=7，c為可接收的拒絕數(shù)，即前面提到的a，故rRE=a+1=8，與本文提供的方案一致。

通過在相同的輸入條件下，用本文算法得到定數(shù)截尾試驗方案，與GB 5080.5—85方案進行對比，驗證了本文算法的正確性。

設計可靠性試驗方案時，風險值是生產方和使用方共同協(xié)商確定的，雙方風險值未必完全相同。上述算法不要求α=β，給定α、β，即可計算，適用范圍廣泛。

5 實例分析

基于國內外已有相同堆型反應堆的運行經(jīng)驗，某核反應堆要求CRDM的落棒失效率不大于4.5×10-4，即落棒成功率的最低可接受值R1=1-4.5×10-4=0.999 55。給定不同的DR、α、β，利用上述算法，約需要3 min可計算出一系列試驗方案(表2)。綜合考慮試驗的時間、費用等條件，從中選取適合的方案。

表2 實例的試驗方案Table 2 Test scheme of example

試驗中，模擬實際工況的溫度、濕度等條件，并參照實際任務剖面設計試驗剖面，如在提升時，按10 mm/s速度運行；在上部停0.5 min；快速落棒；下部停0.5 min。每個循環(huán)時間在3 min左右。針對新研發(fā)的產品，技術成熟度不高，采用的風險值可相對高一些。選用16號方案，需進行5 420次試驗，合計271 h。經(jīng)與制造廠家溝通，試驗次數(shù)、時間及費用均在廠家可接受范圍內，該試驗方案是實際可行的。

可靠性試驗對象為該型號CRDM設備研制樣機，先進行整機功能試驗，在設備的功能和性能滿足設計要求的前提下，才能開展可靠性試驗。

試驗過程中，故障判據(jù)為：1) 無法升降；2) 無法保持位置；3) 控制棒意外脫落；4) 落棒停止位置不在指定的高度范圍內；5) 無法在指定的時間范圍內到達落棒考核位置。

進行5 420次落棒試驗，滿足上述故障判據(jù)的次數(shù)不大于1，即認為該CRDM落棒失效率滿足可靠性指標要求。

6 結論

1) 本文給出了CRDM落棒失效率驗證試驗方案的設計算法和基于二分法思想的求解方法，迭代次數(shù)少，計算時間短；

2) 補充了GB 5080.5—85中關于成敗型產品成功率的驗證試驗方案設計算法，無需要求生產方風險和使用方風險相同，對于任意給定的成功率、風險值及鑒別比，均可給出相應的試驗方案；

3) 通過在相同的輸入條件下，用該算法給出定數(shù)截尾試驗方案，與GB 5080.5—85方案進行對比，驗證了該算法的正確性；

4) 隨著科學技術的發(fā)展，對成敗型產品可靠性要求越來越高，該算法可用于一般成敗型產品的成功率驗證試驗方案設計。