袁偉斌,許雷池

(浙江工業(yè)大學(xué) 土木工程學(xué)院，浙江 杭州 310023)

1910年， Chicago Bridge & Iron Company首先開發(fā)了蜂窩構(gòu)件，與材料用量相等的實(shí)腹構(gòu)件相比，前者的截面高度更高，繞強(qiáng)軸的慣性矩更大。腹板開孔鋼拱(簡(jiǎn)稱蜂窩拱)是一種新型的鋼結(jié)構(gòu)構(gòu)件，結(jié)合了蜂窩梁和拱的特點(diǎn)，也開始在大跨度空間中應(yīng)用開來，如航站樓、體育館、展覽館等。蜂窩構(gòu)件因其腹板孔洞的存在，其剛度沿軸長(zhǎng)方向不再具有連續(xù)性，導(dǎo)致其理論分析難度陡增。早先假定蜂窩梁的結(jié)構(gòu)性能和實(shí)腹梁相同，取其最薄弱空腹截面的抗彎剛度作為計(jì)算剛度[1]。但此方法誤差過大且不能反映蜂窩梁的受力特點(diǎn)。Altfillisch等[2]較早提出了空腹桁架理論，其將蜂窩梁比擬為剛節(jié)點(diǎn)桁架來計(jì)算蜂窩梁的正應(yīng)力和撓度。此方法至今仍為通用，后來的學(xué)者在此基礎(chǔ)上不斷改進(jìn)[3-5]。隨著計(jì)算機(jī)技術(shù)的發(fā)展，數(shù)值分析方法逐漸受到廣泛應(yīng)用。朗婷等[6]用有限元法研究了蜂窩梁的受力性能和應(yīng)力分布特點(diǎn)。鄭懿等[7]也采用有限元法對(duì)蜂窩梁的撓度影響因素進(jìn)行了分析。袁偉斌等[8-10]采用能量法對(duì)蜂窩構(gòu)件進(jìn)行了理論研究，其中提出可將蜂窩構(gòu)件當(dāng)作夾層構(gòu)件來進(jìn)行分析。

上述的研究均是針對(duì)蜂窩直梁或柱，對(duì)于蜂窩拱的研究相對(duì)較少，目前對(duì)蜂窩拱的分析主要通過數(shù)值模擬和實(shí)驗(yàn)研究[11-13]，缺少理論研究。筆者借鑒文獻(xiàn)[9]的方法，建立了蜂窩拱的總勢(shì)能方程，對(duì)均布徑向荷載作用下的兩鉸蜂窩拱的撓度公式進(jìn)行了推導(dǎo)，并采用ABAQUS有限元軟件進(jìn)行了求解驗(yàn)證，為蜂窩拱的結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)提供了重要的參考價(jià)值。

1 相關(guān)研究

蜂窩構(gòu)件由于腹板存在孔洞，構(gòu)件的剛度沿軸長(zhǎng)方向呈現(xiàn)非連續(xù)性，導(dǎo)致不能直接使用相應(yīng)的實(shí)腹計(jì)算公式。由于蜂窩構(gòu)件與夾層構(gòu)件受力機(jī)理相似，所以可以將蜂窩構(gòu)件當(dāng)作夾層構(gòu)件考慮，將其上下兩層連續(xù)部分作為承受彎矩和軸力的表層，中間腹板不連續(xù)部分當(dāng)作承受剪力的夾層。筆者認(rèn)為對(duì)于蜂窩鋼拱的分析亦可采用上述方法，采用圖1(a)所示的坐標(biāo)系，O為拱的圓心，R為拱軸線的初始曲率半徑；w為徑向撓度，v為切向位移。作如下假設(shè)：1) 拱截面高度遠(yuǎn)小于初始曲率半徑，則截面上的每個(gè)點(diǎn)的曲率半徑都相同；2) 表層橫截面變形后仍然保持平面，且與總軸線垂直，受彎矩和軸力作用；3) 夾層橫截面上各點(diǎn)的切向位移沿截面高度呈線性分布，受剪力作用；4) 橫向的正應(yīng)變?yōu)榱恪?/p>

圖1 結(jié)構(gòu)計(jì)算簡(jiǎn)圖Fig.1 The structural calculation diagram

圖2 截面受力狀態(tài)Fig.2 The forced state of cross-section

根據(jù)圖2(b)可以得到截面上任意一點(diǎn)(φ,z)的切向位移分別為

1) 上部T形截面，即-(hw/2+tf)≤z≤-a時(shí)，有

(1)

2) 下部T形截面，即a≤z≤(hw/2+tf)時(shí)，有

(2)

3) 中間截面，即-a≤z≤a時(shí)，有

(3)

得到的上下T形截面上任一點(diǎn)的切向位移公式，與文獻(xiàn)[14]得到的拱截面上任一點(diǎn)的切向位移公式相同。由于假設(shè)了橫向的正應(yīng)變?yōu)榱?，所以截面上任一點(diǎn)的徑向位移uρ=-w。接著由極坐標(biāo)中的幾何方程[15]得到相應(yīng)的應(yīng)變表達(dá)式為

1) 上部T形截面，即-(hw/2+tf)≤z≤-a時(shí)，有

(4)

2) 下部T形截面，即a≤z≤(hw/2+tf)時(shí)，有

(5)

3) 中間截面，即-a≤z≤a時(shí)，有

(6)

由應(yīng)變表達(dá)式可得圖2(c)截面上的內(nèi)力分別為

(7)

(8)

(9)

(10)

(11)

式中：E為彈性模量；G為剪切模量；Atee，Itee分別為T形截面的面積和慣性矩。

拱的應(yīng)變能表達(dá)式為

(12)

式中：l為蜂窩拱的弧長(zhǎng)；ksh為腹板不連續(xù)部分的剪切修正系數(shù)，由于截面高度遠(yuǎn)小于曲率半徑，此處認(rèn)為初始曲率對(duì)該系數(shù)影響可略去不計(jì)。

圖3 腹板剪切應(yīng)變能計(jì)算模型示意圖Fig.3 Simple models used for calculating strain energy of web

將式(4～6)代入式(12)得

(13)

當(dāng)蜂窩拱在均布徑向荷載作用下時(shí)，外力做功為

(14)

(15)

通過觀察式(15)可發(fā)現(xiàn)第4項(xiàng)與第3項(xiàng)相似且有數(shù)量級(jí)上的差距，為簡(jiǎn)化計(jì)算可忽略第4項(xiàng)。如圖1(b)所示，雙鉸支蜂窩拱在均布徑向荷載下發(fā)生正對(duì)稱變形，由a位置向b位置變形，設(shè)拱在均布徑向荷載下的位移函數(shù)為

(16)

式中：A，B，C均為待定常數(shù)。

顯然式(16)滿足位移邊界條件：v0(0)=v0(α)=0，w(0)=w(α)=0，w″(0)=w″(α)=0。將式(16)帶入式(15)，根據(jù)最小勢(shì)能原理由δΠ=0可得

(17)

式(17)的解過于復(fù)雜，對(duì)得到的解再作簡(jiǎn)化，認(rèn)為在一般工程中常用尺寸(矢跨比大于0.1)的雙鉸蜂窩拱在均布徑向荷載下，其上下T形截面自身的彎矩M1和M2相比于軸力N1和N2產(chǎn)生的彎矩可忽略不計(jì)。將解略去K2，得到經(jīng)簡(jiǎn)化后的徑向撓度表達(dá)式為

(18)

(19)

(20)

經(jīng)計(jì)算分析，對(duì)于蜂窩拱常用尺寸(矢跨比在0.1～0.5)的P值一般徘徊在-0.18附近，于是由式(18)可知：對(duì)于均布徑向荷載下的兩鉸蜂窩拱撓度的主要影響因素是蜂窩拱的初始曲率半徑以及截面上下T形部分的面積。

2 有限元模型

使用ABAQUS有限元軟件對(duì)均布徑向荷載下的兩鉸蜂窩拱的正對(duì)稱變形進(jìn)行模擬分析。為了驗(yàn)證公式的適用性，對(duì)不同模型尺寸下的蜂窩拱進(jìn)行了模擬，以孔洞大小、矢跨比和長(zhǎng)細(xì)比作為變量考慮，將截面高度、板厚以及孔間距作為定值，其中長(zhǎng)細(xì)比通過改變跨度和翼緣寬度間接考慮。采用20×20的S4R殼體單元建立模型，為了計(jì)算結(jié)果的準(zhǔn)確性在孔洞周圍加密網(wǎng)格分布。將端部截面耦合到形心，并限制該點(diǎn)的面內(nèi)平動(dòng)來達(dá)到鉸支的邊界條件，見圖4。

圖4 基本模型示意圖Fig.4 The basic model diagram

上述模型的彈性模量E=210 GPa，泊松比ν=1/3。通過ABAQUS求得不同模型尺寸下的頂點(diǎn)撓度有限元值F與式(18)計(jì)算得到的理論值T分別列于表1之中。表1中所有模型的hw=180 mm，tw=10 mm，tf=10 mm，s=πr，q=10 kN/m。

表1 不同模型尺寸下兩鉸蜂窩拱的頂點(diǎn)撓度理論解T和有限元解FTable 1 The theoretical analyses T and FEA F of two-hinged castellated steel arch beams vertex deflection with different sizes

3 分析與對(duì)比

圖5，6分別為不同尺寸模型下蜂窩拱的頂點(diǎn)撓度示意圖和理論解與有限元解對(duì)比圖，結(jié)果表明：當(dāng)矢跨比在0.1～0.5時(shí)，筆者提出的式(18)與有限元數(shù)據(jù)吻合較好，兩者的相對(duì)誤差基本在5%以內(nèi)，可以滿足常用尺寸的蜂窩拱的實(shí)際工程應(yīng)用，也驗(yàn)證了筆者對(duì)蜂窩拱所采用的假設(shè)具有一定的可行性，能有效應(yīng)用到對(duì)蜂窩拱的小撓度理論分析中。圖6中理論解/ABAQUS解的比值隨著矢跨比增大而下降，是由于較大矢跨比的雙鉸拱在均布徑向荷載作用下，其撓曲線偏離筆者所假設(shè)的位移函數(shù)所致，但仍具有一定精度。圖6還顯示bf=100 mm時(shí)孔洞的大小對(duì)公式準(zhǔn)確性的影響大于bf=200 mm時(shí)的影響，說明上下T形截面過小會(huì)放大對(duì)不連續(xù)腹板部分等效產(chǎn)生的誤差，而對(duì)正常高寬比的截面計(jì)算分析證明筆者采用的等效缺陷并不會(huì)導(dǎo)致過大的誤差。由圖5可看出：在均布徑向荷載作用下雙鉸蜂窩拱的孔洞越大、構(gòu)件越細(xì)長(zhǎng)，矢跨比越小，則其撓度越大；為減小蜂窩拱的撓度，參考式(18)，在跨度不變的情況下，可以采取提高矢跨比或增大上下T形截面面積的措施。

圖5 不同尺寸下頂點(diǎn)撓度示意圖Fig.5 Diagram of vertex deflection with different sizes

圖6 理論與有限元頂點(diǎn)撓度對(duì)比圖Fig.6 Comparison of vertex deflection between the theoretical analyses and FEA

4 結(jié) 論

對(duì)均布徑向荷載下的雙鉸蜂窩拱的撓度進(jìn)行了研究，將夾層梁理論應(yīng)用到蜂窩拱中，根據(jù)最小勢(shì)能原理推導(dǎo)了出相應(yīng)的撓度公式。并采用ABAQUS有限元軟件對(duì)公式的適用性進(jìn)行了探討，結(jié)果顯示兩者吻合較好，其精度可滿足實(shí)際工程使用。同時(shí)也驗(yàn)證了筆者對(duì)蜂窩拱分析中所采用的一系列假設(shè)的可行性，能有效應(yīng)用到蜂窩拱的小撓度理論分析中。最后，提出在跨度不變的情況下，可采取提高矢跨比或增大上下T形截面面積的措施來減小均布徑向荷載作用下雙鉸蜂窩拱的撓度。