□唐永

（江陰市第一中學，江蘇江陰214400）

“深度學習”是一個與“淺層學習”相對的概念，反對孤立記憶、機械訓練和非批判性接受知識，重視知識的關聯(lián)、整合與批判性建構，重視學習遷移與問題解決，是一種以發(fā)展高階思維、關鍵能力為價值取向的學習方式[1].

思維始于問題，而追問能引領思維，助推實現(xiàn)深度學習.“追問”是追根究底地查問，多次地問.這就需要教師運用智慧，對學生初始問題的回答做出準確的判斷，及時捕捉契機，設計一系列問題提問.教學中通過“環(huán)環(huán)相扣”“步步推進”的追問，促使學生改變被動應付的淺層學習方式，引領學生積極思維、持續(xù)思維、深度思維，促進學生探究知識本質(zhì)，從而走向基于理解、遷移應用的深度學習狀態(tài)，最終達到發(fā)展學生思維的目的.

一、在概念建構中追問：把握本質(zhì)，促進整體理解

深度學習是有意義的學習，不是簡單被動的接受，而是積極主動的同化；深度學習更是理解性學習，通過切身的體驗和深入的思考，實現(xiàn)對知識意義的深度理解.數(shù)學概念是思維的重要形式之一，概念的理解是數(shù)學理解的基礎，數(shù)學概念學習呼喚深度學習.當我們完成概念的引入，學生對概念還處于一個感性認識階段，沒有在同化的基礎上實現(xiàn)概念的順應，沒有上升到理性認識，還談不上理解.此時就需要“趁熱打鐵”，對學生進行一系列的追問，倒逼、點燃他們的思維，促使他們把握概念的本質(zhì)，實現(xiàn)對概念的深度建構和整體理解.

案例1“函數(shù)的單調(diào)性”教學片段

追問1：在區(qū)間I內(nèi)取兩個值x1，x2，如x1=1，x2=2，有f(1)＜f(2)，則函數(shù)f(x)在區(qū)間I上是增函數(shù)嗎？

意圖：讓學生通過舉反例來說明.假如f(1)＜f(2)＜f(1.5)，函數(shù)圖象在[1，2]上有可能凸起，也可能先凸后凹等多種可能，但圖象是不會一致上升的.用反例來揭示單調(diào)性概念的“任意性”，從正、反兩個方面理解“任意性”，有助于培養(yǎng)學生思維的深刻性.

追問2：對于區(qū)間I上的任意的x1,x2，當x1＜x2時，都有f(x1)＜f(x2)，則f(x)在區(qū)間I上單調(diào)遞增.反之，成立嗎？

意圖：單調(diào)性概念形成過程中，缺少逆向問題，概念的形成不完備.從反面角度說明這個概念即可以作為判定定理，也可以作為性質(zhì)定理，是充要條件，具有完備性，它有利于知識的拓展遷移和應用.

追問3：“函數(shù)f(x)在區(qū)間I上單調(diào)遞增”和“＞0”及“(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]＞0”等價嗎？

意圖：挖掘概念的內(nèi)涵，尋找概念的其他變形、等價形式.

追問4：若定義在區(qū)間[a,b]上的函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,c]上是增函數(shù)，在區(qū)間[c,b]上也是增函數(shù)，則函數(shù)在區(qū)間[a,b]上是增函數(shù).這個說法正確嗎？若把區(qū)間[c,b]改成區(qū)間(c,b]，上述說法又會怎樣呢？

意圖：讓學生畫圖觀察，從“形”的角度，建立或健全與增函數(shù)或減函數(shù)相對應的圖象特征.尤其是對一類特殊函數(shù)——分段函數(shù)的單調(diào)性判斷做鋪墊，而這恰是學生后期最容易犯錯的地方.

[評析]單調(diào)性是函數(shù)的重要性質(zhì)，其形式化定義是教學的難點.借助追問，把抽象定義具體化、直觀化，促進學生從“正”和“反”、“數(shù)”和“形”，多角度地把握單調(diào)性概念的數(shù)學本質(zhì)，實現(xiàn)整體理解.

二、在公式（定理）推導中追問：搭建思維支架，促進遷移應用

深度學習提倡學生把學過的知識、方法遷移應用到新的問題情境之中，形成解決問題的策略和方案，在問題解決中批判性地學習新知識、掌握新方法，并整合到原有的認知結構中.這就是思維過程中的“感知—決策—行動”，如此循環(huán)往復，從而推動認知思維以迭代的方式不斷向前發(fā)展或是升級.

案例2“等差數(shù)列前n項和公式”的教學片段

問題：如何計算S=1+2+…+100=？

生1：利用高斯加法，S=1+2+…+100=（1+100）+（2+99）+…+（50+51）=101×50=5050.

追問1：高斯加法是一種什么算法？它的本質(zhì)又是什么？

師生互動：高斯加法就是首尾配對法，將不同數(shù)的求和問題轉(zhuǎn)化為相同數(shù)的求和問題，這時加法運算就上升到乘法的運算，是一種飛躍.

追問2：如何計算Sn=1+2+3+…+n=？

生2：當n是偶數(shù)，Sn=1+2+3+…+n=.當n是奇數(shù)，Sn=1+2+3+…+n=[1+2+3+…+n+(n+1)]-.

追問3：不討論能計算嗎？

師生活動：當n是偶數(shù)，Sn=1+2+3+…+n可以通過配對分組計算，但是，n是奇數(shù)時就無法直接配對分組，所以，必須對Sn=1+2+3+…+n進行加工改造，確保是偶數(shù)個數(shù)的和.學生經(jīng)過思考、討論，發(fā)現(xiàn)兩邊再加一個（1+2+3+…+n），即2Sn=(1+2+3+…+n)+(1+2+3+…+n)=(1+n)+(2+n-1)+…+（n+1），實現(xiàn)了配對分組，轉(zhuǎn)化為n個(n+1)的和.

追問4：你能利用上述方法求一般等差數(shù)列{an}的前n項和嗎？能給它起個名字嗎？

追問5：從通項公式an=a1+(n-1)d出發(fā)，你能利用倒序相加法再次求等差數(shù)列的前n項和嗎？

[評析]“遷移與應用”是判斷深度學習是否真正發(fā)生的主要依據(jù)之一.等差數(shù)列前n項和公式的推導教學中，針對學生對高斯加法的認知窄化，設計了5個恰時恰點的追問，搭建思維的支架，讓學生“知其一也要知其二”，使學生在深刻理解高斯加法本質(zhì)（配對分組）的基礎上，自主遷移應用到等差數(shù)列的求和問題中，形成新的方法——倒序相加法.

三、在性質(zhì)探究中追問：溯本探源，構建深度聯(lián)系

奧蘇貝爾的認知同化學習理論認為，深度學習是對認知結構中現(xiàn)有的信息要素進行重新組合的過程，是構建內(nèi)在聯(lián)系的過程[2].這一理論告訴我們，在數(shù)學教學過程中，要注重尋找核心知識與思想方法之間的內(nèi)在邏輯線索，并構建深度聯(lián)系.

案例3“橢圓的幾何性質(zhì)——離心率”的引入片段

生1：一個圓一點，一個扁一點.

追問1：可以用什么量刻畫橢圓的圓與扁的程度？

追問2：很有道理！但是橢圓定義中只涉及a、c兩個原始量，是本源的參數(shù)，而b是后來推導橢圓標準方程時引入的參數(shù)，能否用含a和c的一個量刻畫橢圓的“扁”的程度？

教師用幾何畫板演示，設置兩種按鈕：（1）固定2a，變化2c；（2）固定2c，變化2a.

[評析]在這種“追問”式的教學過程中，引導學生溯本探源，分析探尋到刻畫橢圓“扁圓”程度的本源量，同時揭示和之間的邏輯關系，形成完整的知識鏈，建構深度的聯(lián)系.

四、在問題解決中追問：啟發(fā)探究，促進思維進階

布魯姆的教育目標分類學把教學目標分為六大層次，即識記、理解、應用、分析、綜合、評價.其中后面四層對應著深度學習的認知水平，體現(xiàn)問題解決、批判性思維和創(chuàng)造性思維等高階思維.在問題解決中通過連續(xù)的追問，開發(fā)出一些本源性數(shù)學問題，圍繞這些問題將探究引向深入，增強學生思維的深刻性，發(fā)展學生的高階思維能力.

案例4在△ABC中，BC為定長，，若△ABC面積的最大值為2，則邊BC的長為________.

師：大部分同學通過建系，計算得到點A的軌跡是一個圓，這是解題的關鍵.能否不建系，發(fā)掘等式直接獲得點A的軌跡呢？

生1：如圖1，延長AC至D使C為AD中點，取BD中點E，連接AE.設AE∩BC=G，則G為△ABD的重心.根據(jù)平行四邊形法則，.由得，則，因為為定長，所以點A的軌跡是以G為圓心，|長為半徑的圓.

圖1

追問2：從向量的系數(shù)來看1+2=3，還可作怎樣變形？

生2：模的平方處理.

圖2

[評析]問題是深度學習的載體，深度學習的過程往往是圍繞著具有挑戰(zhàn)性的問題開展的探究性活動過程.從不同的角度對條件“ |”展開追問，生成三個本源性問題，啟發(fā)學生探究，獲取更多的方法，在提升學生綜合運用知識能力的同時發(fā)展創(chuàng)造性思維.

總之，追問是教師和學生之間的深度對話.要在充分理解教材、理解學生、理解教學的基礎上設計追問，要在學生思維的瓶頸堵塞點、轉(zhuǎn)化鏈接點、拓展放射點上適時、適度地追問，不斷將課堂學習推向更深層次的有意義、理解性學習，這樣才能讓課堂更加充滿活力，才能讓深度學習更有燃點和沸點.□◢