李軍成,劉成志

(湖南人文科技學(xué)院數(shù)學(xué)與金融學(xué)院,湖南 婁底 417000)

1 引言

在計(jì)算機(jī)輔助設(shè)計(jì)與計(jì)算機(jī)圖形學(xué)中，數(shù)據(jù)插值一直都是重要的研究課題。由于三次Cardinal樣條[1]不僅無(wú)需求解方程組即可直接插值于給定的數(shù)據(jù)點(diǎn)，而且當(dāng)數(shù)據(jù)點(diǎn)保持不變時(shí)還可通過(guò)所含的自由參數(shù)對(duì)插值曲線(xiàn)的形狀進(jìn)行調(diào)控，這些優(yōu)點(diǎn)使其被應(yīng)用在許多工程領(lǐng)域[2,3]。近年來(lái)，為了進(jìn)一步擴(kuò)展多項(xiàng)式形式的三次Cardinal樣條，研究者們構(gòu)造了基于三角函數(shù)的Cardinal樣條[4,5]、基于雙曲函數(shù)的Cardinal樣條[6]以及五次多項(xiàng)式Cardinal樣條[7]等。這些擴(kuò)展型的三次Cardinal樣條雖然在某些方面要優(yōu)于傳統(tǒng)的三次Cardinal樣條，但其表示形式的復(fù)雜度也隨之提高。因此，傳統(tǒng)三次Cardinal樣條仍具有較高的研究?jī)r(jià)值。

雖然在利用三次Cardinal樣條進(jìn)行插值時(shí)，可通過(guò)所含的自由參數(shù)對(duì)插值效果進(jìn)行任意修改，但若要使得插值曲線(xiàn)能滿(mǎn)足某些特定的幾何要求，則需要合理地選定自由參數(shù)的取值。然而，在實(shí)際應(yīng)用中，往往很難對(duì)自由參數(shù)進(jìn)行合理的選擇，此時(shí)則需要給出自由參數(shù)的選取方案。為了使得構(gòu)造的平面三次Cardinal樣條曲線(xiàn)盡可能光順，文獻(xiàn)[8,9]提出利用曲率變化極小化選取自由參數(shù)。在插值問(wèn)題中，往往需要構(gòu)造具有良好的形狀保持效果或逼近效果的插值函數(shù)，因此如何選定自由參數(shù)的最優(yōu)取值使得構(gòu)造的三次Cardinal樣條函數(shù)具有良好的形狀保持效果或較好地逼近給定的函數(shù)也是值得研究的問(wèn)題。為此，本文討論了插值問(wèn)題中數(shù)據(jù)插值與函數(shù)逼近這2種情形下三次Cardinal樣條函數(shù)所含自由參數(shù)最優(yōu)取值的計(jì)算方案。分別通過(guò)極小化二次平均振蕩與逼近誤差，獲得三次Cardinal樣條函數(shù)所含自由參數(shù)的唯一解，從而使得構(gòu)造的插值曲線(xiàn)能具有良好的形狀保持效果或較好地逼近給定的函數(shù)。

2 三次Cardinal樣條函數(shù)

給定平面上一列數(shù)據(jù)點(diǎn)(xi,yi)(i=0,1,…,n)，設(shè)xi+1-xi=h(即相鄰節(jié)點(diǎn)間等距)，對(duì)于xi≤x≤xi+1，t=(x-xi)/h，三次Cardinal樣條[1]對(duì)應(yīng)的函數(shù)可表示為:

Si(t)=b0(t)yi-1+b1(t)yi+

b2(t)yi+1+b3(t)yi+2

(1)

(2)

其中，i=1,2,…,n-2，α∈R為自由參數(shù)。

由式(1)計(jì)算可得:

(3)

(4)

由式(3)可知，除數(shù)據(jù)點(diǎn)(x0,y0)與(xn,yn)外，三次Cardinal樣條函數(shù)插值于其他給定的數(shù)據(jù)點(diǎn)(xi,yi)(i=1,2,…,n-1)。若要求三次Cardinal樣條函數(shù)也插值于數(shù)據(jù)點(diǎn)(x0,y0)與(xn,yn)，則需要添加2個(gè)輔助數(shù)據(jù)點(diǎn)(x-1,y-1)與(xn+1,yn+1)。為方便起見(jiàn)，在實(shí)際應(yīng)用中常將添加的2個(gè)輔助數(shù)據(jù)點(diǎn)取為(x-1,y-1)=(x0,y0),(xn+1,yn+1)=(xn,yn)。

進(jìn)一步地，由式(3)與式(4)可得Si(xi+1)=Si+1(xi+1),S′i(xi+1)=S′i+1(xi+1)，即三次Cardinal樣條函數(shù)滿(mǎn)足C1連續(xù)。

顯然，當(dāng)給定數(shù)據(jù)點(diǎn)(xi,yi)(i=-1,0,…,n+1)時(shí)，三次Cardinal樣條函數(shù)的形狀將完全由自由參數(shù)α決定。

例1設(shè)數(shù)據(jù)點(diǎn)為xi=iπ/2,yi=cos(xi),i=0,1,2,3,4。圖1所示為補(bǔ)充2個(gè)輔助數(shù)據(jù)點(diǎn)后參數(shù)α取不同值時(shí)的三次Cardinal樣條函數(shù)曲線(xiàn)，其中長(zhǎng)虛線(xiàn)對(duì)應(yīng)的參數(shù)為α=-0.2，短虛線(xiàn)對(duì)應(yīng)的參數(shù)為α=-0.5，實(shí)線(xiàn)對(duì)應(yīng)的參數(shù)為α=-0.8。

Figure 1 Cubic Cardinal spline curves with different parameters圖1 不同參數(shù)對(duì)應(yīng)的三次Cardinal樣條函數(shù)曲線(xiàn)

由圖1可知，當(dāng)數(shù)據(jù)點(diǎn)保持不變時(shí)，可通過(guò)修改參數(shù)α的取值對(duì)三次Cardinal樣條函數(shù)的插值效果進(jìn)行修改。然而，在實(shí)際應(yīng)用中，往往要求插值曲線(xiàn)能滿(mǎn)足特定的幾何要求。此時(shí)，則需要合理地選定參數(shù)α的取值。下面給出插值問(wèn)題中2種不同情形下，如何合理地選取三次Cardinal樣條函數(shù)中參數(shù)α的取值。

3 Cardinal樣條函數(shù)的自由參數(shù)優(yōu)化方案

3.1 具有極小二次平均振蕩的三次Cardinal樣條函數(shù)

在插值問(wèn)題中，數(shù)據(jù)插值是一種常見(jiàn)的情形。而在數(shù)據(jù)插值中，保形插值一直都是重要的研究課題[10 - 13]。下面討論如何選取參數(shù)α的最優(yōu)取值，使得三次Cardinal樣條函數(shù)曲線(xiàn)具有良好的形狀保持效果。

對(duì)于給定的數(shù)據(jù)點(diǎn)(xi,yi)(i=0,1,…,n)，令xi=x0+hi(h為步長(zhǎng)，且h>0)，若設(shè)L(x):=Li(x)=(1-t)yi+tyi+1,t=(x-xi)/h，顯然線(xiàn)性插值函數(shù)L(x)是最簡(jiǎn)單的保形插值。因此，為了使得添加2個(gè)輔助點(diǎn)(x-1,y-1)與(xn+1,yn+1)后的三次Cardinal樣條函數(shù)Si(x)(i=0,1,…,n-1)具有良好的形狀保持效果，可定義目標(biāo)函數(shù):

(5)

由文獻(xiàn)[14,15]可知，通過(guò)極小化式(5)構(gòu)造出的三次Cardinal樣條函數(shù)與L(x)最為接近。本文將通過(guò)極小化式(5)所構(gòu)造出的三次Cardinal樣條函數(shù)稱(chēng)為具有極小二次平均振蕩的三次Cardinal樣條函數(shù)。

為討論方便，將式(1)改寫(xiě)為:

Si(x)=ui(x)α+vi(x)

(6)

其中，

ui(x):=-(t3+2t2-t)yi-1-(t3-t2)yi+

(t3-2t2+t)yi+1+(t3-t2)yi+2

vi(x):=(2t3-3t2+1)yi-

(2t3-3t2)yi+1

由式(6)得：

(7)

將式(7)代入式(5)，可得:

I1(α)=A1α2+2B1α+C1

(8)

其中，

由式(8)有:

(9)

(2) 當(dāng)A1=0時(shí)，I1(α)=2B1α+C1，此時(shí)函數(shù)I1(α)沒(méi)有極值點(diǎn)。在這種情況下，可通過(guò)適當(dāng)調(diào)整部分樣本點(diǎn)yi的取值以使得A1>0成立。

于是,可得如下定理：

定理1對(duì)于給定的數(shù)據(jù)點(diǎn)(xi,yi)(i=0,1,…,n)，令(x-1,y-1)=(x0,y0)，(xn+1,yn+1)=(xn,yn)，當(dāng)A1≠0時(shí)，要使插值于數(shù)據(jù)點(diǎn)(xi,yi)(i=0,1,…,n)的三次Cardinal樣條函數(shù)具有極小二次平均振蕩，則參數(shù)應(yīng)取為α=-B1/A1。

例2將數(shù)據(jù)點(diǎn)取為(x0,y0)=(0,0)，(x1,y1)=(1,1)，(x2,y2)=(2,3)，(x3,y3)=(3,4)，(x4,y4)=(4,7)，(x5,y5)=(5,8)，補(bǔ)充2個(gè)輔助數(shù)據(jù)點(diǎn)(x-1,y-1)=(0,0)，(x6,y6)=(5,8)。利用具有極小二次平均振蕩的三次Cardinal樣條函數(shù)進(jìn)行插值時(shí)，經(jīng)計(jì)算可得參數(shù)α約為0.038 0。繪制的具有極小二次平均振蕩的三次Cardinal樣條函數(shù)曲線(xiàn)(實(shí)線(xiàn))、參數(shù)α=1.2時(shí)的三次Cardinal樣條函數(shù)曲線(xiàn)(短虛線(xiàn))以及數(shù)據(jù)多邊形(長(zhǎng)虛線(xiàn))如圖2所示。

Figure 2 Cubic Cardinal spline curve with minimal quadratic average oscillation圖2 具有極小二次平均振蕩的三次Cardinal樣條函數(shù)曲線(xiàn)

由圖2可知，相對(duì)于參數(shù)取α=1.2時(shí)的三次Cardinal樣條函數(shù)曲線(xiàn)，具有極小二次平均振蕩的三次Cardinal樣條函數(shù)曲線(xiàn)明顯能更好地保持?jǐn)?shù)據(jù)多邊形的形狀。因此，在實(shí)際應(yīng)用中，當(dāng)需要構(gòu)造具有良好形狀保持效果的三次Cardinal樣條函數(shù)時(shí),可通過(guò)所提出的方案選取自由參數(shù)的最優(yōu)取值。

3.2 具有極小逼近誤差的三次Cardinal樣條函數(shù)

在插值問(wèn)題中，函數(shù)逼近是另一種常見(jiàn)的情形。下面討論如何選取參數(shù)α的最優(yōu)取值，使得三次Cardinal樣條函數(shù)能較好地逼近給定的函數(shù)。

給定函數(shù)y=f(x)(a≤x≤b)，設(shè)xi=a+hi，h=(b-a)/n，yi=f(xi)(i=0,1,…,n)。添加2個(gè)輔助點(diǎn)(x-1,y-1)與(xn+1,yn+1)后，為了使得三次Cardinal樣條函數(shù)Si(x)(i=0,1,…,n-1)能較好地逼近函數(shù)y=f(x)，可將式(5)中的Li(x)替換為f(x)，即定義目標(biāo)函數(shù):

(10)

顯然，通過(guò)極小化式(10)構(gòu)造出的三次Cardinal樣條函數(shù)逼近函數(shù)y=f(x)的效果最好。 本文將通過(guò)極小化式(10)所構(gòu)造出的三次Cardinal樣條函數(shù)稱(chēng)為具有極小逼近誤差的三次Cardinal樣條函數(shù)。

與定理1類(lèi)似，可得如下定理：

定理2對(duì)于給定的函數(shù)y=f(x)(a≤x≤b)，設(shè)xi=a+h′i，h′=(b-a)/n，yi=f(xi)(i=0,1,…,n)，令(x-1,y-1)=(x0,y0)，(xn+1,yn+1)=(xn,yn)。當(dāng)A2≠0時(shí)，要使插值于函數(shù)y=f(x)的三次Cardinal樣條函數(shù)具有極小逼近誤差，則參數(shù)應(yīng)取為α=-B2/A2，其中,

例3給定函數(shù)y=1/(1+x2)，取xi=-5+i，i=0,1,…,10，補(bǔ)充2個(gè)輔助數(shù)據(jù)點(diǎn)(x-1,y-1)=(x0,y0)，(x11,y11)=(x10,y10)。利用具有極小逼近誤差的三次Cardinal樣條函數(shù)逼近給定的函數(shù)時(shí)，經(jīng)計(jì)算可得參數(shù)α約為-0.000 9。繪制的具有極小逼近誤差的三次Cardinal樣條函數(shù)曲線(xiàn)(實(shí)線(xiàn))、參數(shù)α=1.4時(shí)的三次Cardinal樣條函數(shù)曲線(xiàn)(短虛線(xiàn))以及原函數(shù)曲線(xiàn)(長(zhǎng)虛線(xiàn))如圖3所示。

Figure 3 Cubic Cardinal spline curve with minimal approximation error圖3 具有極小逼近誤差的三次Cardinal樣條函數(shù)曲線(xiàn)

由圖3可知，相對(duì)于參數(shù)α=1.4時(shí)的三次Cardinal樣條函數(shù)曲線(xiàn)，具有極小逼近誤差的三次Cardinal樣條函數(shù)曲線(xiàn)明顯能更好地逼近給定的函數(shù)。因此，在實(shí)際應(yīng)用中，當(dāng)需要構(gòu)造能較好地逼近給定函數(shù)的三次Cardinal樣條函數(shù)時(shí)，可通過(guò)本文提出的方案選取自由參數(shù)的最優(yōu)取值。

4 結(jié)束語(yǔ)

在利用三次Cardinal樣條函數(shù)進(jìn)行插值時(shí)，為了使得插值曲線(xiàn)能滿(mǎn)足某些特定的幾何要求，需要合理地選定三次Cardinal樣條函數(shù)所含自由參數(shù)的取值。本文分別給出了通過(guò)極小化二次平均振蕩與逼近誤差來(lái)選取三次Cardinal樣條函數(shù)所含自由參數(shù)最優(yōu)取值的方案，所獲得的插值曲線(xiàn)具有良好的形狀保持效果或能較好地逼近給定的函數(shù)。在實(shí)際應(yīng)用中，當(dāng)需要構(gòu)造滿(mǎn)足相應(yīng)幾何要求的三次Cardinal樣條曲線(xiàn)時(shí)，可利用本文所提出的方案選取自由參數(shù)的最優(yōu)取值。