胡錦銘，韋篤取

(廣西師范大學(xué) 電子工程學(xué)院，廣西 桂林 541004)

混沌系統(tǒng)最基本的特點(diǎn)是對初值的敏感依賴性，這一特點(diǎn)會(huì)導(dǎo)致系統(tǒng)長期運(yùn)動(dòng)不可預(yù)測，混沌同步是指2個(gè)或多個(gè)混沌系統(tǒng)由于耦合作用將各個(gè)混沌系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)調(diào)節(jié)至一個(gè)共同行為的過程。自1990年被提出以來，混沌同步一直是國內(nèi)外非線性科學(xué)研究的熱點(diǎn)課題之一。經(jīng)過30年的發(fā)展，如今混沌同步在保密通信、自動(dòng)控制、生物醫(yī)學(xué)和化學(xué)等領(lǐng)域都發(fā)揮著重要的作用[1-4]。整數(shù)階非線性系統(tǒng)的混沌同步研究成果已有許多，隨著分?jǐn)?shù)階微積分的深入研究，以及分?jǐn)?shù)階非線性系統(tǒng)穩(wěn)定性理論的發(fā)展，越來越多有關(guān)分?jǐn)?shù)階非線性系統(tǒng)的混沌同步方法被提出，例如：滑?？刂仆?、間歇同步、投影同步等[5-8]。

廣義同步是指2個(gè)混沌系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)的軌跡曲線在時(shí)間的推移下漸漸趨于一個(gè)無關(guān)時(shí)間的變換關(guān)系，即在驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)與響應(yīng)系統(tǒng)的狀態(tài)向量之間建立一個(gè)函數(shù)關(guān)系yi(t)=φ(xi(t))，通過這種函數(shù)關(guān)系使驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)和響應(yīng)系統(tǒng)達(dá)到同步，這種函數(shù)關(guān)系有可能是確定的，也有可能是不確定的[9-11]。在關(guān)系確定時(shí)，通常是在設(shè)計(jì)的控制器中利用這樣的函數(shù)關(guān)系使驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)與響應(yīng)系統(tǒng)達(dá)到同步[12]。另一方面，永磁同步電機(jī)(permanent magnet synchronous motor, PMSM)是電力傳動(dòng)系統(tǒng)重要組成部分。已有研究表明，分?jǐn)?shù)階PMSM在某些參數(shù)條件下會(huì)出現(xiàn)混沌運(yùn)動(dòng)，這將嚴(yán)重影響電力傳動(dòng)系統(tǒng)的穩(wěn)定運(yùn)行，因此分?jǐn)?shù)階PMSM的混沌同步研究對保證電力傳動(dòng)系統(tǒng)的穩(wěn)定運(yùn)行十分重要。當(dāng)前，將廣義同步應(yīng)用到分?jǐn)?shù)階PMSM研究的工作尚屬少見[13-16]。

本文根據(jù)分?jǐn)?shù)階永磁同步電機(jī)的動(dòng)力學(xué)模型特性，采用主動(dòng)控制的方法，結(jié)合分?jǐn)?shù)階系統(tǒng)的穩(wěn)定性理論，提出了一種實(shí)現(xiàn)分?jǐn)?shù)階PMSM的廣義同步方法，并給出了該方法的理論證明過程。結(jié)果表明，在選取適當(dāng)函數(shù)關(guān)系的情況下，加入控制器能夠?qū)崿F(xiàn)分?jǐn)?shù)階PMSM的廣義同步。

1 分?jǐn)?shù)階微積分概述

Caputo分?jǐn)?shù)階積分定義為

(1)

式中：Xm(t)是m階導(dǎo)數(shù)，m為整數(shù)且不小于p。

(2)

式中：Jq(q>0)是q階Reimann-Liouville積分運(yùn)算符；Γ是γ函數(shù)。

引理1[17]設(shè)f(t)在[0,t](k∈N,t>0)上有連續(xù)的k階導(dǎo)數(shù)，存在l∈N且l≤k，p,q>0，p∈[l-1,l ]，p+q∈[l-1,l ]則

(3)

引理2[18]分?jǐn)?shù)階混沌系統(tǒng)

(4)

2 分?jǐn)?shù)階廣義同步理論

驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)定義為

(5)

響應(yīng)系統(tǒng)定義為

(6)

定義驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)和響應(yīng)系統(tǒng)的同步誤差為

ei(t)=yi(t)-φ(xi(t))，1≤i≤n。

(7)

式中φ是廣義同步函數(shù)。

定理1設(shè)計(jì)如式(8)的控制器，即

(8)

當(dāng)K是負(fù)定矩陣時(shí)，在控制器(8)的作用下，誤差系統(tǒng)(13)的零點(diǎn)漸近穩(wěn)定，可實(shí)現(xiàn)驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)(5)和響應(yīng)系統(tǒng)(6)的廣義同步。

證明分?jǐn)?shù)階的誤差公式可以表達(dá)為

(9)

根據(jù)誤差式(6)和引理1，可以對響應(yīng)系統(tǒng)的階次進(jìn)行改寫。

(10)

將式(8)、(10)代入式(6)，可以將響應(yīng)系統(tǒng)重新表達(dá)為

(11)

p-q需要滿足p-q∈(0,1]，1≤i≤n。將式(11)代入式(9)可以得到同步誤差公式，即

(12)

根據(jù)式(12)，分?jǐn)?shù)階誤差系統(tǒng)公式可以重新表達(dá)為

(13)

(14)

3 分?jǐn)?shù)階PMSM的廣義同步

PMSM整數(shù)階數(shù)學(xué)模型為：

(15)

式中：x1、x2、x3分別是轉(zhuǎn)子角速度、q和d軸的定子電流；a、b是PMSM系統(tǒng)的無量綱系數(shù)且均為正數(shù)。系統(tǒng)參數(shù)取(a,b)=(10,40)，使得永磁同步電機(jī)系統(tǒng)呈現(xiàn)混沌行為。

分?jǐn)?shù)階PMSM的驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)為：

(16)

本文中，驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)的階次取p=0.98，系統(tǒng)參數(shù)取(a,b)=(10,40)。階次取分?jǐn)?shù)0.98, 區(qū)別于整數(shù)階系統(tǒng)的階次，也能使分?jǐn)?shù)階PMSM系統(tǒng)呈現(xiàn)完整的混沌運(yùn)動(dòng)軌跡，此時(shí)驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)(16)呈混沌狀態(tài)，其混沌吸引子如圖1所示。

p=0.98，(a,b)=(10,40)，(x1(0),x2(0),x3(0))=(4,7,8)圖1 分?jǐn)?shù)階永磁同步電機(jī)驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)的混沌吸引子Fig. 1 The attractors of themaster system

分?jǐn)?shù)階PMSM的響應(yīng)系統(tǒng)為：

(17)

式中ui(i=1,2,3)是控制器。本文中，階次取(q1,q2,q3)=(0.95,0.96,0.97)；通過設(shè)計(jì)控制器ui(i=1,2,3)，使分?jǐn)?shù)階PMSM的驅(qū)動(dòng)和響應(yīng)系統(tǒng)達(dá)到同步。

首先設(shè)定φ(x1,x2,x3)=(x1+x3,-2x1+x2,-x1-x2+x3)，驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)(16)和響應(yīng)系統(tǒng)(17)間的誤差公式可以表示為：

(18)

令

(19)

所設(shè)計(jì)的控制器ui(i=1,2,3)為：

(20)

根據(jù)式(19)，所設(shè)計(jì)的控制器滿足定理1中的條件，因此，加入控制器后驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)(16)和響應(yīng)系統(tǒng)(17)可以達(dá)到廣義同步。

將控制器(20)代入響應(yīng)系統(tǒng)(17)中，可以得到：

(21)

根據(jù)式(12)和(21)，誤差公式可以表示為：

(22)

4 數(shù)值仿真

用Matlab軟件進(jìn)行數(shù)值仿真，步長h=0.001，此步長完全可以滿足模擬仿真的精度要求，模擬時(shí)間T=30 s，該時(shí)間長度可以清楚地呈現(xiàn)系統(tǒng)的實(shí)驗(yàn)現(xiàn)象。驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)和響應(yīng)系統(tǒng)的初始值分別取(x1(0),x2(0),x3(0))=(4,7,8)、 (y1(0),y2(0),y3(0))=(5,6,-9)。誤差系統(tǒng)的初始狀態(tài)為(e1(0),e2(0),e3(0))=(-4,7,-5)。圖2(a)～(c)是未加入控制器時(shí)分?jǐn)?shù)階PMSM的誤差狀態(tài)曲線。由圖2可知，在未加入控制器時(shí)，驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)(16)和響應(yīng)系統(tǒng)(17) 狀態(tài)變量之間的誤差不為零，顯然處于不同步狀態(tài)。圖3為分?jǐn)?shù)階PMSM的廣義同步誤差狀態(tài)曲線。由圖3可知，系統(tǒng)加入控制器2 s后同步誤差曲線迅速趨于零，即驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)(16)和響應(yīng)系統(tǒng)(17)實(shí)現(xiàn)了廣義同步，證明了理論的正確性和有效性。

(a)誤差系統(tǒng)e1的狀態(tài)曲線

(b)誤差系統(tǒng)e2的狀態(tài)曲線

(c)誤差系統(tǒng)e3的狀態(tài)曲線圖2 未加入控制器的分?jǐn)?shù)階永磁同步電機(jī)誤差狀態(tài)曲線Fig. 2 Synchronization errors of fractional-order PMSM without controller

圖3 分?jǐn)?shù)階永磁同步電機(jī)的廣義同步誤差狀態(tài)曲線Fig. 3 Generalized synchronization of fractional-order PMSM

為了驗(yàn)證所采用的控制策略的優(yōu)越性，對分?jǐn)?shù)階PMSM混沌系統(tǒng)采用傳統(tǒng)的Q-S同步方法進(jìn)行同步控制，控制器設(shè)計(jì)為

u=-g(Y(t))+Jp-q(DQ-1(-(Q(yi(t))-S(xi(t)))+DS(xi(t))f(X(t))))，

式中：Q(yi(t))表示響應(yīng)系統(tǒng)狀態(tài)向量間建立的函數(shù)關(guān)系，S(xi(t))表示驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)狀態(tài)向量間建立的函數(shù)關(guān)系。在上述系統(tǒng)參數(shù)和各狀態(tài)向量初始值不變的情況下進(jìn)行仿真，結(jié)果如圖4所示，由圖可見采用傳統(tǒng)Q-S同步方法，達(dá)到同步時(shí)間為5 s，表明本文所采用的控制方法可以更快地實(shí)現(xiàn)同步。

圖4 分?jǐn)?shù)階永磁同步電機(jī)的Q-S同步誤差狀態(tài)曲線Fig. 4 Q-S synchronization of fractional-order PMSM

5 結(jié)語

針對分?jǐn)?shù)階PMSM混沌同步問題，根據(jù)廣義同步方法和分?jǐn)?shù)階穩(wěn)定性原理，本文從理論上對PMSM的每一維都設(shè)計(jì)了控制器，使得加入控制器后的PMSM驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)和響應(yīng)系統(tǒng)實(shí)現(xiàn)了混沌同步。利用數(shù)值仿真驗(yàn)證了控制器設(shè)計(jì)的正確性和有效性。本文使用廣義同步方法實(shí)現(xiàn)了分?jǐn)?shù)階PMSM的混沌同步，不僅對電力傳動(dòng)系統(tǒng)的同步控制研究具有重要意義，而且為其他領(lǐng)域的分?jǐn)?shù)階系統(tǒng)同步控制提供了方法參考。