李澔民 陸向艷

摘? 要： 為實(shí)現(xiàn)在Unity引擎中使用任意階貝塞爾曲線繪制三維物體的軌跡，本文提出了一種靈活繪制N階貝塞爾曲線的方法。該方法設(shè)計(jì)了一種可以降階的插值計(jì)算函數(shù)來(lái)實(shí)現(xiàn)自定義控制點(diǎn)數(shù)的N階貝塞爾曲線。對(duì)比實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明該方法有效且簡(jiǎn)化了三維物體的運(yùn)動(dòng)軌跡的參數(shù)定義，為應(yīng)用貝塞爾曲線來(lái)控制三維物體的運(yùn)動(dòng)軌跡提供了方法參考。

關(guān)鍵詞： Unity;N階貝塞爾曲線;三維物體;運(yùn)動(dòng)軌跡

中圖分類號(hào)： TP391.7? ? 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼： A? ? DOI：10.3969/j.issn.1003-6970.2020.09.001

本文著錄格式：李澔民，陸向艷. 基于Unity的N階貝塞爾曲線繪制三維物體運(yùn)動(dòng)軌跡[J]. 軟件，2020，41（09）：0104

【Abstract】： In order to use the Bessel curve of arbitrary order in the Unity engine to draw the trajectory of 3d objects， this paper presents，? a flexible method for drawing N-order Bessel curve. This method designs an interpolation calculation function which can reduce the order of Bessel curve and support the custom amounts selection of control point of N-order Bessel curve. The comparative experimental results show that this method is effective and simplifies the parameter definition of motion trajectory of 3d objects. This paper provides a method for controlling the motion trajectory of 3d objects with Bessel curve.

【Key words】： Unity; N-order Bessel curve; Three-dimensional objects; Motion trajectory

0? 引言

Unity3D引擎是大多數(shù)虛擬現(xiàn)實(shí)項(xiàng)目選擇的開發(fā)工具[1]，應(yīng)用Unity實(shí)現(xiàn)物體運(yùn)動(dòng)軌跡繪制，會(huì)受到諸多的外界干擾因素。為避免干擾，可以在Unity中使用貝塞爾曲線提前計(jì)算出路徑，再使用適當(dāng)?shù)倪\(yùn)動(dòng)方法沿路徑進(jìn)行移動(dòng)，使得到的路徑固定且運(yùn)動(dòng)軌跡穩(wěn)定。已有相當(dāng)多的研究將貝塞爾曲線應(yīng)用于Unity3D引擎，例如用來(lái)對(duì)三維物體進(jìn)行彎曲[2]，控制足球射門運(yùn)動(dòng)曲線等。貝塞爾曲線也在很多二維繪圖軟件（如微軟繪圖軟件、PhotoShop等）中得到應(yīng)用。使用物理公式的方法繪制物體運(yùn)動(dòng)軌跡往往參數(shù)較多，后期調(diào)整軌跡需要繁雜的計(jì)算和驗(yàn)證，而貝塞爾曲線則只需調(diào)節(jié)中間控制點(diǎn)就可以快速調(diào)整整條軌跡路線。然而，將貝塞爾曲線應(yīng)用于Unity3D環(huán)境需要進(jìn)行算法設(shè)計(jì)和編程才能使其應(yīng)用于三維坐標(biāo)，最終實(shí)現(xiàn)對(duì)三維物體運(yùn)動(dòng)的控制。為此，本文提出一種繪制N階貝塞爾曲線的方法，該方法可以自定義控制點(diǎn)的數(shù)量，繪制出復(fù)雜的物體運(yùn)動(dòng)軌跡。

1? 貝塞爾曲線

貝塞爾曲線，也稱為貝茲曲線或貝濟(jì)埃曲線，是在制作二維圖形的應(yīng)用程序中廣泛應(yīng)用的數(shù)學(xué)曲線。1962年，貝塞爾曲線由法國(guó)工程師Pierre Bezier對(duì)伯恩斯坦多項(xiàng)式進(jìn)行擴(kuò)展用于汽車工業(yè)輔助設(shè)計(jì)而產(chǎn)生，之后推廣而得到廣泛應(yīng)用。貝塞爾曲線的優(yōu)點(diǎn)是繪制曲線簡(jiǎn)便易行，只需要定義曲線的起始點(diǎn)、終止點(diǎn)以及兩個(gè)相互分離的中間點(diǎn)（控制點(diǎn)）即可完成。用貝塞爾曲線繪制復(fù)雜曲線可以先分段定義多段曲線，然后再將這些曲線段連接起來(lái)形成所需要的曲? 線或曲面圖形[3]。貝塞爾曲線的簡(jiǎn)單性特點(diǎn)，使很多? 圖形工作者選擇用它來(lái)繪制形狀較為復(fù)雜的圖形或模型[4-15]。貝塞爾曲線的數(shù)學(xué)表達(dá)如下：

2? 方法描述

在實(shí)際應(yīng)用中，繪制三維物體平滑運(yùn)動(dòng)軌跡，主要是應(yīng)用貝塞爾曲線2階公式或貝塞爾曲線3階公式。本文的問題是擬在Unity3D環(huán)境下，用GetBezierList函數(shù)實(shí)現(xiàn)應(yīng)用貝塞爾曲線繪制三維物體平滑運(yùn)動(dòng)軌跡。解決問題的核心思想是應(yīng)用GetBezierList函數(shù)來(lái)繪制任意中間控制點(diǎn)（N取2或3均可）的三維貝塞爾曲線軌跡。解決方法是首先分析二階和三階貝塞爾的插值點(diǎn)關(guān)系，導(dǎo)出GetBezierList函數(shù)實(shí)現(xiàn)貝塞爾曲線的N階公式的插值的計(jì)算函數(shù);然后設(shè)計(jì)Unity中的實(shí)現(xiàn)貝塞爾曲線N階公式插值的計(jì)算函數(shù)代碼;最后用剛體Rigidbody組件和本文設(shè)計(jì)的貝塞爾曲線N階公式法進(jìn)行物體運(yùn)動(dòng)軌跡實(shí)現(xiàn)的效果和參數(shù)復(fù)雜度對(duì)比。

3? 方法設(shè)計(jì)與實(shí)現(xiàn)

3.1? 函數(shù)設(shè)計(jì)

本文通過GetBezierList函數(shù)獲得貝塞爾曲線的線段點(diǎn)列表，其參數(shù)為：GetBezierList（List PiList， float pointsNum）;PiList代表包括起點(diǎn)和終點(diǎn)的所有控制點(diǎn)，pointsNum代表通過多少個(gè)點(diǎn)來(lái)描述貝塞爾曲線，這些采樣點(diǎn)根據(jù)式（1）中的參數(shù)t平均分布在貝塞爾曲線的路徑上。

式（25）中，j代表{Pi}控制點(diǎn)集降了多少次維，由于每降一次維，控制點(diǎn)數(shù)量就減少一個(gè)，故i的取值范圍是（0，n–j）。當(dāng)降了n次維以后，最后得到B（t）點(diǎn)的位置。

3.2? 方法實(shí)現(xiàn)

///

/// 包括起點(diǎn)和終點(diǎn)在內(nèi)的所有控制點(diǎn)

/// 描述貝塞爾曲線的點(diǎn)數(shù)量

///

public static List GetBezierList（List PiList， float num）

{

List beizerPath = new List（）;

for （int i = 1; i <= num; i++）

{

float t = i / num;

Vector3 pixel = GetBeizerPoint（PiList， t）;

beizerPath.Add（pixel）;

}

return beizerPath;

}

//根據(jù)PiList各點(diǎn)插值遞歸得到貝塞爾曲線B（t）值

public static Vector3 GetBeizerPoint（ List PiList， float t）

{

if （PiList.Count <= 1）

return PiList[0];

List newPiList = new List（）;

for （int i = 0; i < PiList.Count - 1; i++）

{

Vector3 pp = （1 - t） * PiList[i] + t * PiList[i + 1];

newPiList.Add（pp）;

}

return GetBeizerPoint（newPiList， t）;

}

4? 實(shí)驗(yàn)與對(duì)比分析

繪制運(yùn)動(dòng)軌跡我們使用unity的LineRenderer組件，LineRenderer線渲染器組件主要是用于在3D中渲染線段，使用LineRenderer我們可以對(duì)繪制線段進(jìn)行很多操作，例如設(shè)置顏色、寬度等。本文中我們?cè)谝豢钇古仪蛴螒蛑欣蒙蒒階貝塞爾曲線的方法繪制乒乓球運(yùn)球的一條預(yù)判軌跡，來(lái)展示本文提出的方法是如何在實(shí)際項(xiàng)目中應(yīng)用的。

LineRenderer組件可以定義一段由多個(gè)采集點(diǎn)構(gòu)成的曲線，然后在相鄰兩個(gè)采集點(diǎn)之間渲染出一條直線，只要繪制的時(shí)候生成的采集點(diǎn)足夠多就能繪制出相對(duì)來(lái)說更平滑的曲線。所以我們將GetBezierList方法生成出來(lái)的描述曲線的點(diǎn)坐標(biāo)組代入LineRenderer組件中去。

4.1? 使用Rigidbody控制物體運(yùn)動(dòng)實(shí)驗(yàn)

控制unity3D里面物體的物理運(yùn)動(dòng)一般使用剛體Rigidbody組件來(lái)控制，賦有剛體屬性的對(duì)象可以施加力，并且可以設(shè)置物體的質(zhì)量，初速度等物理運(yùn)動(dòng)初始屬性。我們控制一個(gè)乒乓球在乒乓球桌上進(jìn)行一次運(yùn)球運(yùn)動(dòng)，并設(shè)置乒乓球的兩段運(yùn)動(dòng)屬性如表1所示。第一段運(yùn)動(dòng)為乒乓球從被擊出后到接觸到乒乓球桌上的運(yùn)動(dòng)，第二段運(yùn)動(dòng)為乒乓球從桌上彈起后到落地的運(yùn)動(dòng)，設(shè)置好上表1中的屬性后繪制出的運(yùn)動(dòng)軌跡如圖3所示。

4.2? 使用貝塞爾曲線控制物體運(yùn)動(dòng)實(shí)驗(yàn)

由于乒乓球在運(yùn)球的過程中會(huì)與桌面發(fā)生一次碰撞交互形成第二段運(yùn)動(dòng)，所以需要繪制兩條貝塞爾曲線來(lái)描述乒乓球的整個(gè)運(yùn)球路線，第二條貝塞爾曲線的起點(diǎn)即為第一條曲線的終點(diǎn)，調(diào)節(jié)控制點(diǎn)的屬性屬性如表2所示。

在圖3的基礎(chǔ)上生成貝塞爾曲線，其曲線用紅色線條繪制，可以對(duì)比使用剛體形成的運(yùn)動(dòng)軌跡曲線，如圖4所示。

4.3? 實(shí)驗(yàn)結(jié)果分析

（1）通過圖4的對(duì)比可以看到使用貝塞爾曲線生成的運(yùn)動(dòng)軌跡和使用剛體的物理學(xué)控制形成的運(yùn)動(dòng)軌跡幾乎重合，可以看出貝塞爾曲線已經(jīng)可以繪制三維物體，模擬真實(shí)的物理運(yùn)動(dòng)。

（2）從表1和表2的對(duì)比來(lái)看，使用剛體中的物理屬性控制物體運(yùn)動(dòng)時(shí)，需要同時(shí)考慮到重力加速度、物體質(zhì)量、物體初速度、物體初速度向量等比較多的系數(shù)，這樣使得后期調(diào)整物體運(yùn)動(dòng)軌跡的時(shí)候調(diào)試步驟繁雜，調(diào)試成本高。而使用貝塞爾曲線控制物體的運(yùn)動(dòng)軌跡時(shí)，只需要考慮控制對(duì)應(yīng)線段的控制點(diǎn)，即可方便快捷的修改運(yùn)動(dòng)曲線，后期維護(hù)成本較低。

（3）對(duì)于物體做一些比較特殊的運(yùn)動(dòng)，或者是不受重力和其他物理因素影響的運(yùn)動(dòng)這些情況，使用貝塞爾曲線來(lái)生成和配置物體的運(yùn)動(dòng)路徑相當(dāng)簡(jiǎn)單高效。

5? 結(jié)束語(yǔ)

使用物理公式的方法繪制物體運(yùn)動(dòng)軌跡往往參數(shù)較多，后期想要調(diào)整軌跡需要繁雜的計(jì)算和驗(yàn)證，而使用貝塞爾曲線則只需調(diào)節(jié)少量的中間控制點(diǎn)就可以快速調(diào)整條軌跡路線。在Unity中使用貝塞爾曲線可以提前計(jì)算出路徑，進(jìn)而使用適當(dāng)?shù)倪\(yùn)動(dòng)方法沿路徑進(jìn)行移動(dòng)，繪制的路徑固定且運(yùn)動(dòng)軌跡穩(wěn)定。本文提出一種基于Unity的靈活繪制N階貝塞爾曲線的方法來(lái)控制三維物體的運(yùn)動(dòng)軌跡。該方法設(shè)計(jì)了一種可以降階的插值計(jì)算函數(shù)來(lái)實(shí)現(xiàn)自定義控制點(diǎn)數(shù)的N階貝塞爾曲線。對(duì)比實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明該方法有效且簡(jiǎn)化了三維物體的運(yùn)動(dòng)軌跡的參數(shù)定義，為應(yīng)用貝塞爾曲線來(lái)控制三維物體的運(yùn)動(dòng)軌跡提供了方法參考。

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